2024-2025学年甘肃省平凉一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省平凉一中高二（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列求导运算中错误的是( )
A. (3x)′=3xln3B. (lnxx)′=1−lnxx2
C. (sinx+lna)′=csx+1aD. (e−x)′=−e−x
2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinB−asinA=5csinC，csA=12，则bc=( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
3.过点(−1,1)的直线l与曲线f(x)=x3−x2−2x+1相切，则直线l的斜率为( )
A. 不存在B. −1C. 3D. 3或−1
4.设f(x)是定义在[−3,3]上的奇函数，其导函数为f′(x)，当0≤x≤3时，f(x)图象如图所示，且f(x)在x=1处取得极大值，则f(x)⋅f′(x)>0的解集为( )
A. (−3,−1)∪(0,1)
B. (−3,−1)∪(1,3)
C. (−1,0)∪(0,1)
D. (−1,0)∪(1,3)
5.投掷3枚质地均匀的骰子，设事件A=“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件B=“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则P(B|A)=( )
A. 12B. 34C. 14D. 38
6.平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，∠A1AD=∠A1AB=π3，AA1=AB=1，E为C1D1的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为( )
A. 0
B. 32
C. 12
D. 34
7.已知函数f(x)=ln( x2+1+x)−2ex+1，则不等式f(x)+f(2x−1)>−2的解集是( )
A. (13,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,13)D. (−∞,1)
8.如图，在菱形ABCD中，AB=4 33，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为2 2，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则下列说法错误的是( )
A. 平面ABD⊥平面BCD
B. 线段PQ的最小值为 2
C. 当AQ=QC，4PD=DB时，点D到直线PQ的距离为 1414
D. 当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为 64
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设随机变量X的分布列为
则下列选项正确的是( )
A. m=14B. P(|X−3|=1)=512
C. E(X)=3512D. D(X)=1916
10.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在BD上，且BE=13BD；点F在CB1上，且CF=13CB1.则下列结论正确的是( )
A. 线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段
B. 异面直线AA1与BD的距离为12
C. 点D1到直线EF的距离为 143
D. 点D1到平面DEF的距离为 63
11.已知函数f(x)=x2x−1+x2−2，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的定义域为R
B. f(x)是偶函数
C. f(x)是奇函数
D. 对任意的x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，f(x)>−2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量a=(−1,x,4)与b=(2x,−8,y)共线，且方向相同，则x+y= ______．
13.某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之比为6：3：1，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为______．
14.已知f(x)=−1x+x,g(x)=x2−4x−3，若∀x1∈[−2,−1]，∃x2∈[1,a]，f(x1)b>0)过点A(−2,0)，且a=2b．
(Ⅰ)求椭圆ω的方程；
(Ⅱ)设O为原点，过点C(1,0)的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点.求证：|OM|⋅|ON|为定值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：对A：(3x)′=3xln3，故A正确；
对B：(lnxx)′=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，故B正确；
对C：(sinx+lna)′=csx，故C错误；
对D：(e−x)′=e−x⋅(−1)=−e−x，故D正确．
故选：C．
借助导数的运算法则及复合函数求导法则计算即可得．
本题考查导数的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理与余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理，化简运算，得解．
【解答】
解：由正弦定理及bsinB−asinA=5csinC得，b2−a2=5c2，
由余弦定理得，csA=b2+c2−a22bc=12，
所以5c2+c22bc=12，化简得bc=6．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=x3−x2−2x+1，∴f(−1)=1，f′(x)=3x2−2x−2，
当(−1,1)为切点时，kl=f′(−1)=3；
当(−1,1)不为切点时，设切点为(a,a3−a2−2a+1)，a≠−1，
则f′(a)=3a2−2a−2，
∴切线方程为y−(a3−a2−2a+1)=(3a2−2a−2)(x−a)，
又切线过点(−1,1)，∴1−(a3−a2−2a+1)=(3a2−2a−2)(−1−a)，
整理得a3+a2−a−1=0，
即(a+1)(a2−1)=0，解得a=1或a=−1(舍去)，
∴切点坐标为(1,−1)，∴kl=−1−11−(−1)=−1．
综上所述，直线l的斜率为3或−1．
故选：D．
分(−1,1)为切点，(−1,1)不为切点两种情况求斜率即可．
本题考查导数的几何意义，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：由图可得：x∈(0,1)时，f(x)>0，f(x)单调递增，则f′(x)>0，所以f(x)⋅f′(x)>0，
x∈(1,3)时，f(x)>0，f(x)单调递减，则f′(x)−2得f(x)+1>−(f(2x−1)+1)，
即g(x)>−g(2x−1)=g(1−2x)，则x>1−2x，解得x>13，
所以不等式f(x)+f(2x−1)>−2的解集是(13,+∞)．
故选：A．
构造函数g(x)=f(x)+1，判断g(x)的单调性和奇偶性，由此求得不等式f(x)+f(2x−1)>−2的解集．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：取BD的中点O，连接OA，OC，
∵在菱形ABCD中，AB=4 33,∠BAD=60°，
∴OA=OC=2，又AC=2 2，
∴OA2+OC2=AC2，所以OA⊥OC，
又易知OA⊥BD，OC⊥BD，
因为OA⊥OC，OA⊥BD，OC∩BD=O，
所以OA⊥平面BDC，
因为OA⊂平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BDC，故A正确；
以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立坐标系，
则B(2 33,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),D(−2 33,0,0)，
当AQ=QC，4PD=DB时，Q(0,1,1),P(− 33,0,0)，
PQ=( 33,1,1),DP=( 33,0,0)，
所以点D到直线PQ的距离为d= DP2−(PQ⋅DP|PQ|)2= 147，故C错误；
设P(a,0,0)，设CQ=λCA=λ(0,−2,2)，可得Q(0,2−2λ,2λ)，
|PQ|= a2+(2−2λ)2+(2i)2= a2+8(λ−12)2+2，
当a=0,λ=12时，|PQ|min= 2，故B正确；
当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，
P(0,0,0),Q(0,1,1),PQ=(0,1,1),AD=(−2 33,0,−2)，
设PQ与AD所成的角为θ，
则csθ=|PQ⋅AD||PQ|⋅|AD|=2 2× 163= 64，
所以PQ与AD所成角的余弦值为 64，故D正确；
故选：C．
取BD的中点O，易知OA⊥BD，OC⊥BD，结合条件及线面垂直的判定定理可得OA⊥平面BDC，进而有平面ABD⊥平面BDC，即可判断A；建立坐标系，利用向量法可判断BCD．
本题考查了点到直线的距离和异面直线所成的角，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由分布列的性质可得13+m+14+16=1，解得m=14，故A正确．
因为P(|X−3|=1)=P(X=2)+P(X=4)=14+16=512，故B正确．
因为E(X)=1×13+2×14+3×14+4×16=94，故C错误．
因为D(X)=(1−94)2×13+(2−94)2×14+(3−94)2×14+(4−94)2×16=1916，故D正确．
故选：ABD．
根据分布列的性质求得m，根据分布列、期望、方差的知识确定正确答案．
本题考查了离散型随机变量的分布列及性质，考查了离散型随机变量的均值与方差，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：建系如图，
则B(0,0,0)，D(1,1,0)，C(1,0,0)，B1(0,0,1)，
D1(1,1,1)，E(13,13,0)，F(23,0,13)，
∴EF=(13,−13,13)，BD=(1,1,0)，
CB1=(−1,0,1)，ED1=(23,23,1)，ED=(23,23,0)，
对A选项，∵EF⋅BD=13−13=0，EF⋅CB1=−13+13=0，
∴EF⊥BD，EF⊥CB1，∴线段EF是异面直线BD与CB1的公垂线段，∴A选项正确；
对B选项，易知AC⊥BD，AC⊥AA1，
∴异面直线AA1与BD的距离为12AC= 22，∴B选项错误；
对C选项，∵cs=ED1⋅EF|ED1||EF|=13 173× 33= 3 17，
∴sin= 1−317= 14 17，
∴点D1到直线EF的距离为：
|ED1|sin= 173× 14 17= 143，∴C选项正确；
对D选项，设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅ED=23x+23y=0n⋅EF=13x−13y+13z=0，取n=(1,−1,−2)，
∴D1到平面DEF的距离为|ED1⋅n||n|=2 6= 63，∴D选项正确．
故选：ACD．
建系，利用向量法分别求解ACD，易知AC⊥BD，AC⊥AA1，从而可求异面直线AA1与BD的距离，即可判断B．
本题考查向量法求解点到直线的距离，点面距问题，属中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：当x=0时，2x−1=0，
所以f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，A错误；
因为f(x)=x2x−1+x2−2=x⋅2x+12(2x−1)−2，
所以f(−x)=−x⋅1+2−x2(2−x−1)−2=−x⋅1+2x2(1−2x)−2=x⋅1+2x2(2x−1)−2=f(x)，
所以f(x)是偶函数，B正确，C错误；
因为f(x)是偶函数，
所以f(x)=f(|x|)=|x|(12+1−1+2|x|)−2>−2，D正确．
故选：BD．
结合函数有意义的条件检验选项A；结合函数奇偶性的定义检验选项B，C；结合偶函数的性质检验选项D．
本题主要考查了函数的奇偶性的判断及应用，属于中档题．
12.【答案】14
【解析】解：因为向量a=(−1,x,4)与b=(2x,−8,y)共线，且方向相同，
所以a=λb(λ>0)，
则(−1,x,4)=λ(2x,−8,y)，
即−1=2λxx=−8λ4=λy，解得x=−2y=16λ=14，
所以x+y=14．
故答案为：14．
根据共线得到等式，计算即可求得结果．
本题主要考查了空间向量的共线定理，属于基础题．
13.【答案】0.18
【解析】解：设这三门体育类选修课的选修人数分别为6a，3a，a，
则所求概率为P=0.2×6a+0.16×3a+0.12a6a+3a+a=0.18．
故答案为：0.18．
设这三门体育类选修课的选修人数分别为6a，3a，a，分别求出三门体育类选修课考核优秀的人数，再利用古典概型的概率公式求解，
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
14.【答案】(2+ 7,+∞)
【解析】解：由题意得，f(x)在[−2,−1]上是增函数，所以f(x1)∈[−32,0]，
因为∀x1∈[−2,−1]，∃x2∈[1,a]，f(x1)2+ 7或a