人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线课前预习ppt课件

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）14.3 角的平分线课前预习ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了情景引入，度量法，合作探究，如图已知∠AOB，归纳总结，例题运用，cm2，SSS，拓展延伸，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
问题1 如何平分一个角？
问题2 如果不借助度量工具，你会尺规作图平分一个角吗？
前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等. 本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上.
问题1 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，OM = ON，猜测：PM与PN有什么关系？
解：PM = PN. 证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC = ∠BOC.∴在△MOP与△NOP中，
∴△MOP≌△NOP（SAS），∴PM = PN
问题2 反过来，M，N分别是∠AOB边OB，OC上的的点，OM = ON，点P在∠AOB的内部，PM = PN.猜测：点P的位置在∠AOB的哪里？
解：点P在∠AOB的平分线上.证明：连接OP，∴在△OPM与△OPN中，
∴△OPM≌△OPN（SSS），∴∠AOC = ∠BOC.∴点P的位置在∠AOB的平分线上.
由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
根据上述结论，①先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点②再在角的内部作出与这两点距离相等的点③以角的顶点为端点，作过这个点的射线所得的射线，就是角的平分线.
（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于点M，交OB于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，大于 长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
（3）作射线OC，则射线OC为∠AOB平分线．
想一想，为什么第二步画的两个弧的弧长度要大于 ？
使画的弧有交点（交点明显）
下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形．
如图，OC是∠AOB的平分线．点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…．分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3…，你有什么发现？
可以发现，P1D1 = P1E1、P2D2 = P2E2、P3D3=P3E3…因此，我们猜想：
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
下面，我们证明这个性质.
要证明一个命题，首先，要分清其中的 “已知”和 “求证”．显然，已知为 “一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为 “这个点到这个角两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证．
OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD = PE
分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD＝PE．由题意可知，△OPD 和△OPE具备 “角角边”的条件．
证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC = ∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO = ∠PEO = 90°.
∴在△OPD和△OPE中，
语言论述：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD = PE.
证明一个命题的一般过程
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°. 用尺规作图作射线BP，交AC于D，并使D到BC，AD的距离相等．
分析：作∠B的平分线即可.
解：如图所示，射线BP即为所求.
如图，已知△ABC，利用尺规作图法在边上求作一点D，连接AD，使得 .（不写作法，保留作图痕迹）
分析：由作图知AD平分∠BAC， 作DM⊥AB,DN⊥AC, 则DM = DN，
解：如图所示，点D即为所求.（作法不唯一）
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE = 2，则DF的长是A.2 B.2.5 C.3 D.4
如图，OC是∠AOB的平分线，点D，E分别是OC，OB上的动点，OA = 4，当△AOD的面积是6时，线段DE的长不可能为A.4.5 B.4 C.3 D.2
过点D作DM⊥OA于M，
∵S△AOD = 6，OA = 4∴ ，∴OM = 3
∵OC平分∠AOB，DM⊥OA，∴点D到OB的垂线段长度等于3，∴DE ≥ 3.
如图，在△ABC中，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，AB = 6 cm，BC = 8 cm，△ABO的面积为9 cm2，则△BOC面积为__________.
（2023•甘肃T21）问题探究： （1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC = OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．
请写出OE平分∠AOB的依据：____________；
（2023•甘肃T21）类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE = DE即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM = ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
解：∵OM = ON, CM = CN, OC = OC,∴△OPD≌△OPE(SSS),∴∠AOC = ∠BOC,∴OC是∠AOB的角平分线.
（2023•甘肃T21）拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图所示，点E即为所求.
在△ABC中，AB = AC，点E在BC上，点H在AC上，连接AE和BH交于点F，∠ABH = ∠CAE．(1)如图1，求证：∠AFB = 2∠ACB；
∵ AB = AC，∴ ∠ABC = ∠ACB，∵ ∠AEB 为 △AEC 的外角，∴ ∠AEB = ∠CAE + ∠ACB，∵ ∠AFB 为 △BFE 的外角，∴ ∠AFB = ∠FBE + ∠AEB = ∠FBE + ∠CAE + ∠ACB = ∠ABC + ∠ACB = 2∠ACB；
在△ABC中，AB = AC，点E在BC上，点H在AC上，连接AE和BH交于点F，∠ABH = ∠CAE．(2)如图2，连接 FC，若 FC 平分∠EFH，求证：AH = CH；
如图2，点A作AK ⊥ BF于K，过点C作CG ⊥ FH交FH的延长线于G，作CT ⊥ AE交AE的延长线于T，则 ∠AKB = ∠ATC = ∠CGH = ∠AKH = 90°，∵ FC 平分 ∠EFH，CG⊥FH，CT ⊥ FE，∴CG = CT，∵ 在 △ABK 和 △CAT 中，∠AKB = ∠ATC，∠ABH = ∠CAE ，AB = AC，∴ △ABK ≌ △CAT (ASA)，∴ AK = CT，∴AK = CG，∵ 在 △AHK 和 △CHG 中，∠AHK = ∠CHG，∠AKH = ∠CGH ，AK = CG，∴△AHK ≌ △CHG (AAS)，∴AH = CH；
在△ABC中，如果AD是∠A的角平分线，交BC于点D，则 即：角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.
如图，在三角形ABC中，AD是它的角平分线，且BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB = FC.
如图，∠C = ∠C' = 90°，AC = AC'. 求证：(1) ∠ABC = ∠ABC'；(2) BC = BC'（要求不用三角形全等证明）.
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，AD平分∠BAC；(1)求证：BE=CF；(2)已知AC=20，BE=4，DF=8，求四边形ABDC的面积.
如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）