湖南省衡阳市四校2025-2026学年七年级下学期7月期末 数学试题（含解析）

这是一份湖南省衡阳市四校2025-2026学年七年级下学期7月期末 数学试题（含解析）试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列常用手机的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列方程为一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如果，那么下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，为估计池塘岸边、的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是（ ）
A. 23米B. 7米C. 10米D. 18米
7. 下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A. 正六边形和正方形B. 正五边形和正八边形
C. 正六边形和正三角形D. 正十边形和正三角形
8. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在方程中，，则的值是_________．
12. 由“的3倍与的和是正数”用不等式表示为________．
13. 一个直角三角形的一个锐角为度，则另一个锐角的度数是________度．
14. 如图，小亮从点出发前进，向右转，再前进，又向右转……这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了__________．
15. 如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为________．

16. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，若，则___________．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 解方程：
18. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
19. 已知关于，的方程组．
（1）用含的式子表示方程组的解；
（2）若，且，求的取值范围．
20. 如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，三个顶点都在格点上．
（1）将向右平移5格，得到，在左图中画出；
（2）以直线为对称轴，在右图中画出关于直线对称的；
（3）求出的面积．
21. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
定义：如果两个一元一次方程的解的和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程的解为，方程的解为；，所以方程与方程为“美好方程”．
（1）请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由；
（2）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值．
22. 2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总进价为24元；1副春联和3个灯笼的总进价为42元．
（1）请你分别求出1副春联的进价和1个灯笼的进价；
（2）商家计划购进春联、灯笼共60件，总进货成本不超过540元，请问至少购进多少副春联？
23. 如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．
（1）求的大小；
（2）求的大小．
24. 问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则_______度，______度，______度；
（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
数学
考试时间120分钟 总分120分 共24题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列常用手机的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：此题主要考查了中心对称图形的概念，注意中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念逐一判断即可．
解答过程：解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列方程为一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查了一元一次方程，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元一次方程，据此判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
解答过程：解：、方程是一元一次方程，该选项符合题意；
、方程含有个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程中未知数的最高次数是，不是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：．
3. 如果，那么下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质逐一判断各选项即可．
解答过程：解：∵，根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加(减)同一个数，不等号方向不变，可得，，故A错误，D正确．
根据不等式的基本性质2，不等式两边同时乘(除以)同一个正数，不等号方向不变，可得，故B错误．
对于选项C，的符号不确定，当时，，当时，，当时，，故C错误．
综上，结论一定正确的是D．
4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先解一元一次不等式，再在数轴上表示解集即可.
解答过程：解： ，

在数轴上表示其解集如下：
故选C
方法提示：本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“表示解集时空心圈与实心点的使用以及大于向右拐，小于向左拐”是解本题的关键.
5. 如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解．
解答过程：解：∵是边上的中线．
∴，故A正确，
∵是的角平分线，
∴，故B正确，
∵是边上的高，
∴，故C正确，
没有条件判断，故D错误，
故选：D．
6. 如图，为估计池塘岸边、的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是（ ）
A. 23米B. 7米C. 10米D. 18米
答案：B
解析：
思路：根据三角形的三边关系即可判断结果．
解答过程：根据三角形三边关系得：，
即：，
故选：B．
7. 下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A. 正六边形和正方形B. 正五边形和正八边形
C. 正六边形和正三角形D. 正十边形和正三角形
答案：C
解析：
思路：能够铺满地面的图形，即是能够凑成360°的图形组合．
解答过程：解：A.正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m+90n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
B.正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形每个内角为135度，135m+108n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
C.正六边形的每个内角为120°，正三角形的每个内角为60°，一个正六边形和一个正三角形刚好能铺满地面；
D.正三角形每个内角为60度，正十边形每个内角为144度，60m+144n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
故选C．
方法提示：本题考查多边形的内角和.掌握好平铺的条件，算出每个图形内角和即可．
8. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设兔子有x只，鸡有y只，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据鸡的数量加上兔的数量等于35，鸡的脚的数量加上兔子的脚的数量等于94可列方程组．
解答过程：解：若设兔子有x只，鸡有y只，则兔有条腿，鸡有只脚，
根据题意，可列方程组为，
故选：D．
9. 尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据作垂线的方法进行判断即可．
解答过程：解：A选项，为角平分线，不符合要求；
B选项，为边上的垂直平分线，不符合要求；
C选项，为边上的高，符合要求；
D选项，不是边上的高，不符合要求．
10. 已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
答案：C
解析：
思路：根据三角形的内角和外角之间的关系计算．
解答过程：解：（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB）
∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
∴∠P=90°+∠A；
故（1）的结论正确；
（2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）
∠P=∠PCE-∠PBC
∴2∠P=∠A
故（2）的结论是错误．
（3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠FBC+∠ECB）
=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-（∠A+180°）
=90°-∠A．
故（3）的结论正确．
正确的为：（1）（3）．
故选C
方法提示：主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在方程中，，则的值是_________．
答案：2
解析：
解答过程：解：把代入原方程，可得，
解得．
12. 由“的3倍与的和是正数”用不等式表示为________．
答案：
解析：
思路：先表示出的倍，再写出该数与的和，根据正数大于列出不等式即可．
解答过程：解：的倍为，的倍与的和为，
因为和是正数，正数都大于，
因此可得不等式：．
13. 一个直角三角形的一个锐角为度，则另一个锐角的度数是________度．
答案：
解析：
思路：本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键，根据直角三角形两锐角互余计算即可得到答案．
解答过程：解：直角三角形的一个锐角为度，直角三角形两锐角互余，
另一个锐角的度数为．
14. 如图，小亮从点出发前进，向右转，再前进，又向右转……这样一直走下去，他第一次回到出发点时，一共走了__________．
答案：240
解析：
思路：任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数可直接让除以一个外角度数即可求出答案．
解答过程：解：小亮从点出发最后回到出发点时正好走了一个正多边形，
根据外角和定理可知正多边形的边数为，
则一共走了米．
故答案为：．
方法提示：本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和为是解题的关键．
15. 如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为________．

答案：##80度
解析：
思路：根据折叠得到，根据得到，结合三角形内角和定理即可得到答案．
解答过程：解：∵沿直线折叠后，点落到点处，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
方法提示：本题考查三角形折叠有关计算，平行线性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠及平行得到角度关系．
16. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，若，则___________．
答案：2
解析：
思路：本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，根据求出，根据点是的中点，求出，最后根据计算即可得解．
解答过程：解：∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 解方程：
答案：
解析：
思路：先去括号，再移项合并同类项，把x的系数化为1即可．
解答过程：解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
把的系数化为1，得．
18. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
答案：；
解析：
解答过程：解：由①得：
由②得：
则不等式组的解集为．
解集在数轴上表示略．
19. 已知关于，的方程组．
（1）用含的式子表示方程组的解；
（2）若，且，求的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）用先算出，再代入①算出；
（2）用结合（1）即可求出的取值范围．
（1）解：
得：
③
把③代入①得，，
；
（2）解：，
由④得，
由⑤得
综上，．
20. 如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，三个顶点都在格点上．
（1）将向右平移5格，得到，在左图中画出；
（2）以直线为对称轴，在右图中画出关于直线对称的；
（3）求出的面积．
答案：（1） （2）
（3）解析：
思路：（1）根据平移的性质在网格中找到各顶点右平移5格，对应点、、，再顺次连接即可；
（2）根据轴对称的性质画出关于直线对称的；
（3）根据三角形的面积公式计算，即可求解．
（1）略
（2）略
（3）解：
21. 阅读下列材料，并完成相应的任务．
定义：如果两个一元一次方程的解的和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程的解为，方程的解为；，所以方程与方程为“美好方程”．
（1）请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由；
（2）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值．
答案：（1）是“美好方程”，理由见解析
（2）解析：
思路：（）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可；
（）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可；
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算．
（1）解：方程与方程是“美好方程”，理由如下：
解方程，得，
解方程，得，
∵，
∴方程与方程是“美好方程”；
（2）解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于的方程与方程是“美好方程”，
∴，
∴．
22. 2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家购进了一批春联和灯笼进行销售，已知2副春联和1个灯笼的总进价为24元；1副春联和3个灯笼的总进价为42元．
（1）请你分别求出1副春联的进价和1个灯笼的进价；
（2）商家计划购进春联、灯笼共60件，总进货成本不超过540元，请问至少购进多少副春联？
答案：（1）春联进价6元，灯笼12元
（2）至少购进30副春联
解析：
思路：（1）设春联进价元，灯笼元，再列二元一次方程组求解；
（2）设购进春联副，灯笼个，则，再解不等式即可．
（1）解：设春联进价元，灯笼元．
解得：
答：春联进价6元，灯笼12元．
（2）解：设购进春联副，灯笼个，
，解得：，
答：至少购进30副春联．
23. 如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．
（1）求的大小；
（2）求的大小．
答案：（1）
（2）解析：
思路：本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
（1）求出，则，，即可解决问题；
（2）由角平分线的定义得，再由三角形内角和定理即可得出结论．
（1）解：是边上的高，
，
，，
，，
；
（2）解：是的平分线，
，
．
24. 问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边上，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若，则_______度，______度，______度；
（2）类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．
答案：（1），90，35
（2） （3）判断（2）中的结论不成立，或或．
解析：
思路：（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可，掌握三角形内角和定理是解题的关键；
（2）猜想：，利用三角形内角和定理即可解决问题．掌握三角形内角和定理是解题的关键；
（3）分、、，分别画出图形并理由三角形内角和定理即可解答．掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）解：，
，
又，
，

故答案为125，90，．
（2）解：猜想：理由如下：
在中，，
，，
，
，
又在中，，
，
，
．
（3）解：（2）中的结论不成立．理由如下：
①如图中，结论：
理由：设交于

，
，

②如图中，结论：证明方法类似①

③如图中，结论：

理由：，，
，