湖南省衡阳市四校2025-2026学年八年级下学期7月期末 数学试题（含解析）

这是一份湖南省衡阳市四校2025-2026学年八年级下学期7月期末 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列代数式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点A的坐标为，若点A与点 B关于坐标原点O 中心对称，则点 B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，下列结论不一定成立的是（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，在中，已知，若，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
7. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 四边相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形D. 对边相等的平行四边形是矩形
8. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
9. 正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（ ）
A. 2B. 4C. 8D.
10. 某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（ ）
A. 102B. 98C. 114D. 106
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：______．
12. 已知，是直线上的两个点，则，的大小关系是_______．
13. 如图，M，N分别是的边，的中点．若，则______．
14. 如图，在中，，则它斜边上的中线为___________cm．
15. 如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为______．
16. 如图所示的是某射击运动员连续射击20次的射击成绩的折线统计图，则该运动员此训练周期内的平均成绩为______环．
三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分）
17. 计算：．
18. 化简：．
19. 已知点在反比例函数的图象上，求和的值．
20. 甲、乙两块试验田里种植了一新品种大麦，为了了解大麦的生长情况，农业科研人员从甲、乙试验田里各随机抽取了10株，量得其麦穗长度（单位：）如下表：
根据以上数据，解答下列问题：
（1）甲试验田里的这10个麦穗长度的众数为______；
（2）乙试验田里的这10个麦穗长度的中位数为______；
（3）一般情况下，一块田里麦穗的平均长度越长，大麦的整体生长情况就越好，请估计这两块试验田中，哪一块试验田里的大麦整体生长情况好一些？
21. 如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：．
22. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．

（1）求k的值；
（2）根据图象，直接写出当时，关于x的不等式的解集；
（3）将直线向上平移个单位后与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，求的面积．
24. 将一矩形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴正半轴上，点，点．

（1）如图1，在上取一点E，将沿折叠，使O点落至边上的D点，求的长度；
（2）如图2，在边上选取适当的点M、F，将沿折叠，使点O落在边上的处，过点作于点G，交于点T．
①求证：；
②设，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）．
（3）在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
数学
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列代数式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解：选项A、的分母5是常数，不含字母，属于整式，不是分式；
选项B、是常数，属于整式，不是分式；
选项C、中是固定常数，不是字母，分母不含字母，属于整式，不是分式；
选项D、的分母是字母，符合分式的定义，是分式．
2. 要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：分式有意义的条件是分母不为，对于分式，分母为，
，
解得，
故选：B．
3. 已知点A的坐标为，若点A与点 B关于坐标原点O 中心对称，则点 B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解：关于坐标原点中心对称的点的坐标特征为横，纵坐标均互为相反数，
∵点A的坐标为，
∴点B的坐标为.
4. 一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据，，再进一步判断图象经过的象限即可．
解答过程：解：对于一次函数，
∵，，
∴函数的图象经过第一、三、四象限．
∴B符合题意．
5. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，下列结论不一定成立的是（ ）．
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据平行四边形的边、对角线的性质逐一判断选项即可．
解答过程：解：四边形是平行四边形，
根据平行四边形性质：平行四边形的对边平行且相等，
有，，故B、D选项一定成立；
平行四边形的对角线互相平分，则，故A选项一定成立；
平行四边形的对角线不一定互相垂直，只有菱形的对角线才互相垂直，即不一定成立，C不一定成立．
6. 如图，在中，已知，若，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等，可知，，再根据平行四边形的周长公式计算出结果即可．
解答过程：解：四边形是平行四边形，
，，
的周长为．
故选：D．
7. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 四边相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形D. 对边相等的平行四边形是矩形
答案：C
解析：
思路：根据菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可．
解答过程：解：A选项，四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A错误．
B选项，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B错误．
C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，故C正确．
D选项，对边相等是所有平行四边形都具有的性质，无法判定该平行四边形是矩形，故D错误．
8. 如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可．
解答过程：解：四边形是平行四边形，
当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形，
逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意．
故选：D．
9. 正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（ ）
A. 2B. 4C. 8D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了正方形的性质．根据正方形的两条对角线长度相等，即可求解．
解答过程：解：∵正方形的两条对角线相等，且已知一条对角线长为，
∴另一条对角线长也为．
故选：C．
10. 某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（ ）
A. 102B. 98C. 114D. 106
答案：A
解析：
思路：根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可．
解答过程：解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102．
方法提示：解题的关键是掌握箱线图相关的定义．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：______．
答案：
解析：
解答过程：解：.
12. 已知，是直线上的两个点，则，的大小关系是_______．
答案：
解析：
思路：根据增减性可得y随x的增大而增大，比较出两点的横坐标的大小即可得到答案．
解答过程：解：∵在中，，
∴y随x的增大而增大，
∵，是直线上的两个点，且，
∴．
13. 如图，M，N分别是的边，的中点．若，则______．
答案：##60度
解析：
思路：由中位线定理得，再由平行线的性质即可求得结果，由中点想到中位线，进而想到中位线定理的平行结论是解题的关键．
解答过程：解：∵M，N分别是的边，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
14. 如图，在中，，则它斜边上的中线为___________cm．
答案：1
解析：
思路：本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质．
根据直角三角形斜边中线的性质进行求解即可．
解答过程：解：∵，且为斜边的中线，
∴，
故答案为：1．
15. 如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为______．
答案：
解析：
思路：本题考查了正方形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是正方形，则，则有，然后通过四边形的面积为即可求解．
解答过程：解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点分别为边的中点，
∴，
∴四边形的面积为
，
故答案为：．
16. 如图所示的是某射击运动员连续射击20次的射击成绩的折线统计图，则该运动员此训练周期内的平均成绩为______环．
答案：8.4
解析：
解答过程：解：该运动员此训练周期内的平均成绩为
．
三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分）
17. 计算：．
答案：
解析：
思路：本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方、绝对值，再算加减即可．
解答过程：
．
18. 化简：．
答案：
解析：
解答过程：解：
19. 已知点在反比例函数的图象上，求和的值．
答案：，
解析：
思路：本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先将代入，求出，再把代入计算，即可作答．
解答过程：解：依题意，将代入，
得，
．
依题意，将代入，
得，
．
20. 甲、乙两块试验田里种植了一新品种大麦，为了了解大麦的生长情况，农业科研人员从甲、乙试验田里各随机抽取了10株，量得其麦穗长度（单位：）如下表：
根据以上数据，解答下列问题：
（1）甲试验田里的这10个麦穗长度的众数为______；
（2）乙试验田里的这10个麦穗长度的中位数为______；
（3）一般情况下，一块田里麦穗的平均长度越长，大麦的整体生长情况就越好，请估计这两块试验田中，哪一块试验田里的大麦整体生长情况好一些？
答案：（1）6.3 （2）6.3 （3）乙
解析：
思路：本题考查了众数、中位数、平均数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用众数的定义解答；
（2）利用中位数的定义解答；
（3）利用平均数的定义解答．
（1）解：甲试验田里的这10个麦穗的长度数据中出现次数最多，
∴众数为 ；
故答案为：；
（2）解：乙试验田里的这10个麦穗长度数据从小到大依次为：，，，，，，，，，；第5个和第6个数据的平均数是：，
∴中位数为；
故答案为：；
（3）解：甲试验田：，
乙试验田：，
∵，
∴乙试验田里的大麦整体生长情况好一些．
21. 如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：．
答案：见解析
解析：
思路：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，则有，再证出，根据全等三角形的性质即可证明．
解答过程：证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
22. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
答案：（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形
∴，
∴四边形是矩形；
（2）．
解析：
思路：（1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题．
（2）如图，首先证明，；运用勾股定理求出，即可解决问题．
（1）略
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
由（1）得四边形是矩形，
∴四边形的周长．
方法提示：本题考查了矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质并能灵活运用．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．

（1）求k的值；
（2）根据图象，直接写出当时，关于x的不等式的解集；
（3）将直线向上平移个单位后与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，求的面积．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由点在直线上可得a，将点B代入即可求解．
（2）由反比例反比例函数大于一次函数时反比函数图像位于一次函数上方即可求解；
（3）直线向上平移个单位可得，联立平移后的直线与反比例函数即可得点C坐标，过B作得求解即可．
（1）解：点在直线上，
将点代入得：
．
（2）原不等式变形得：，
即可看作反比例函数大于一次函数，
，
由图可知可得：

．
（3）直线向上平移个单位得：
，
联立，
解得：或（舍去），
点C坐标为，
过B作，

点M坐标为，点N坐标为，
方法提示：本题考查了反比例函数与一次函数综合题，待定系数法求函数解析式，反比函数与一次函数的图像及性质，解题关键是“利用割补法求面积”．
24. 将一矩形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴正半轴上，点，点．

（1）如图1，在上取一点E，将沿折叠，使O点落至边上的D点，求的长度；
（2）如图2，在边上选取适当的点M、F，将沿折叠，使点O落在边上的处，过点作于点G，交于点T．
①求证：；
②设，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示（指出变量x的取值范围）．
（3）在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M、、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1），
（2）①证明：如图2中，
由折叠性质得，，
∵，
，
，
，
，
，
．
②，
（3）存在，或或
解析：
思路：（1）在中，根据，设，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）①只要证明，即可．
②如图3中，连接，在中利用勾股定理即可解决问题．
（3）分为对角线，为边两种情形讨论即可．
（1）解：如图1中，，，
,，
，，
是由翻折得到，
，，
在中，，
∴，
，
设，
在中，，
解得，即；
（2）①略
②解：如图3中，连接，
由折叠性质可得，
由勾股定理可得，
得．
结合（1）可得时，最小，从而，
当恰好平分时，最大即最大，
此时点、点与点重合，点M与点A重合，此时，，
故最大为9．从而，
．
（3）解：存在．当时，，
∴，，
∴，，
∵以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，，如图1，，重合，
∴，
由平移的性质可得，；
当为边，为对角线时，，如图1，，重合，则，
由平移的性质可得，；
当为边，为边时，，如图1，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴ 直线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴；
当点在第二象限点时，同①点坐标；
综上所述，在坐标轴上存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为或或．
方法提示：本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、等角对等边、平行四边形的判定、求一次函数解析式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．甲试验田
5.6
5.9
6.0
6.0
6.3
6.3
6.3
6.7
6.8
7.0
乙试验田
5.9
6.2
6.3
6.3
6.3
6.3
6.5
6.6
6.7
6.8
甲试验田
5.6
5.9
6.0
6.0
6.3
6.3
6.3
6.7
6.8
7.0
乙试验田
5.9
6.2
6.3
6.3
6.3
6.3
6.5
6.6
6.7
6.8