小学数学苏教版（2024）六年级上册（2024）七 确定位置精品课时训练

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第一部分 用数对确定位置
一、知识要点梳理
【核心概念】在日常生活中，我们经常需要确定物体的位置。用数对确定位置是一种简洁、准确的方法。
【列与行】通常把竖排叫作列，横排叫作行。确定第几列要从左向右数，确定第几行要从前向后数。
【数对表示】用数对表示位置时，先写列数，再写行数，中间用逗号隔开，外面用小括号括起来。如：第3列第4行 → (3, 4)。
【数对的特点】数对中第一个数表示第几列，第二个数表示第几行。顺序不能调换，不同的顺序表示不同的位置。
【围棋文化】围棋棋盘上共有361个交叉点，棋盘上画出的9个点叫"星"，最中间的星又称"天元"。左上角的星用"4·四"表示，"天元"用"10·十"表示。
二、典型例题
【例题1】认识列和行
下图是教室的座位图。严军的座位在第3组第4个，也可以说在第4排第3个。
（1）通常把竖排叫作什么？横排叫作什么？
（2）严军坐在什么位置？用数对怎样表示？
【解题思路】竖排叫列，横排叫行。确定第几列从左向右数，确定第几行从前向后数。严军在第3列第4行，用数对表示为(3, 4)。
【答案】（1）竖排叫作列，横排叫作行。确定第几列要从左向右数，确定第几行要从前向后数。（2）严军坐在第3列第4行，用数对(3, 4)表示。
【易错提醒】用数对表示位置时，必须先说列数（第一个数），再说行数（第二个数），顺序不能颠倒。(3, 4)和(4, 3)表示不同的位置。
【例题2】用数对表示同学位置
在上面的教室座位图中：
（1）张兰的座位在第5列第2行，用数对怎样表示？
（2）黄芳的座位在第2列第4行，用数对怎样表示？在方格图中找到表示黄芳座位的点。
【解题思路】根据"先列后行"的规则：张兰的座位 → (5, 2)；黄芳的座位 → (2, 4)。在方格图中，找到第2列与第4行的交叉点即可。
【答案】（1）张兰的座位用数对(5, 2)表示。（2）黄芳的座位用数对(2, 4)表示。在方格图中，第2列与第4行的交点就是黄芳的座位。
【易错提醒】在方格图中找位置时，要先沿横方向（列）找到对应列，再沿纵方向（行）找到对应行，两个方向的交叉点才是正确位置。
【例题3】用数对表示图形顶点
在下面的方格图中，平行四边形的四个顶点分别在：
（1）用数对表示A、B、C、D各点的位置。
（2）表示点A和点D的数对有什么相同和不同的地方？表示点B和点C的数对呢？
（3）你能从数对中看出线段AD和BC相等吗？
【解题思路】依次读出每个点在方格图中的列数和行数。A在第2列第2行 → (2, 2)；B在第6列第2行 → (6, 2)；C在第7列第5行 → (7, 5)；D在第3列第5行 → (3, 5)。
【答案】（1）A(2, 2)，B(6, 2)，C(7, 5)，D(3, 5)。（2）A和D的数对：行数相同（都是5），列数不同（A是2，D是3）——说明AD是水平线段。B和C的数对：行数不同（B是2，C是5），但它们的列数之差相同（7-6=1，3-2=1），说明BC也是水平方向等长的线段。（3）从数对计算：AD = |3-2| = 1（列差），BC = |7-6| = 1（列差），列差相等，所以AD = BC。
【易错提醒】在方格图中读位置时，注意数准格数。数对中前一个数是列数（从左到右），后一个数是行数（从下到上），不要混淆。
【例题4】鲜花布置中的规律
学校艺术节，同学们在方格纸上设计鲜花布置方案。
（1）用数对表示图中每朵红花的位置。
（2）观察红花位置的排列，你发现了什么规律？
【解题思路】逐一读出每个红花位置的列数和行数。然后观察这些位置之间的关系：有些在同一列，有些在同一行，还有一些呈对角线排列。
【答案】（1）红花位置：(5,9)、(5,8)、(5,7)、(5,6)、(5,5)、(5,4)、(5,3)——这7朵在同一列（第5列），形成竖直线；(1,6)、(2,6)、(3,6)、(4,6)、(6,6)、(7,6)、(8,6)、(9,6)——这8朵在同一行（第6行），形成水平线；(3,8)、(4,7)、(6,7)、(7,4)——这4朵呈对称分布。（2）规律：红花组成一个以第5列为对称轴、第6行为对称轴的十字形图案。
【易错提醒】读多个点的位置时容易数错列或行，建议用铅笔沿列和行做辅助线，逐个确认。
【例题5】公园平面图中的数对
下面是红山公园的平面图。
（1）用数对表示书报亭和盆景园的位置。
（2）儿童乐园在(2, 6)处，梅园在(6, 2)处，在图中找到并标出它们的位置。
【解题思路】读图时先确定观测的列和行的起点（通常左下角为起点），再找到各景点所在的列和行。
【答案】（1）书报亭在第3列第2行 → (3, 2)；盆景园在第7列第3行 → (7, 3)。（2）儿童乐园(2, 6)在第2列第6行的交点处；梅园(6, 2)在第6列第2行的交点处。
【易错提醒】注意公园平面图的起点位置。不同的图可能从不同的角落开始编号，要仔细看图的标注。
【例题6】由数对找位置（逆向训练）
在方格纸上，下列数对各表示什么位置？请在图中标出。
① (4, 6) ② (7, 3) ③ (1, 8) ④ (9, 1)
【解题思路】先找列（第一个数），再找行（第二个数），在交叉点标出。
【答案】① (4, 6)在第4列第6行的交点；② (7, 3)在第7列第3行的交点；③ (1, 8)在第1列第8行的交点；④ (9, 1)在第9列第1行的交点。
【易错提醒】数对中列在前、行在后，不能颠倒。(4, 6)和(6, 4)是不同的位置。
【例题7】数对的规律探究
在方格纸上依次标出以下各点：(1, 1)、(2, 2)、(3, 3)、(4, 4)、(5, 5)。
（1）这些点在位置上有什么共同特点？
（2）如果再标出(6, 6)、(7, 7)，它们是否也在这个特点上？
（3）你能说出更多这样规律特点的数对吗？
【解题思路】观察这些数对的共同特点：列数和行数相同。在方格纸上标出这些点，会发现它们排列在一条对角线上。
【答案】（1）这些点的列数和行数都相同，在方格纸上它们排列在一条从左下角到右上角的对角线上。（2）是的，(6, 6)和(7, 7)也在这条对角线上。（3）如(8, 8)、(9, 9)、(10, 10)等，列数和行数相同的数对对应的点都在同一条对角线上。
【易错提醒】注意区分"列数=行数"的规律和其他规律，如列数+行数=固定值（这些点会排列在另一条对角线上）。
【例题8】综合应用——用数对描述路线
下面是殷镇实验小学的街区平面图。
（1）用数对表示实验小学、超市、邮局、医院的位置。
（2）从实验小学到超市，经过了几列几行？
【解题思路】先读出各位置的数对，再根据两个位置的数对计算行走距离。
【答案】（1）实验小学(4, 4)、超市(2, 3)、邮局(6, 5)、医院(7, 2)。（2）从实验小学(4, 4)到超市(2, 3)：列从4变到2（向左2列），行从4变到3（向后1行），经过了2列1行。
【易错提醒】计算行走距离时，列的变化和行的变化要分开计算。列差=|列₂-列₁|，行差=|行₂-行₁|。
三、基础练习
1. 填空：
（1）通常把竖排叫作（ ），横排叫作（ ）。
（2）确定第几列要从（ ）向（ ）数，确定第几行要从前向后数。
（3）小明坐在第5列第3行，用数对表示是（ ）。
（4）数对(4, 7)表示第（ ）列第（ ）行。
【答案】（1）列，行。（2）左，右。（3）(5, 3)。（4）第4列第7行。
2. 判断对错：
（1）数对(3, 5)和(5, 3)表示同一个位置。（ ）
（2）在同一列的两个位置，它们数对的第一个数相同。（ ）
（3）在同一行的两个位置，它们数对的第二个数相同。（ ）
（4）(6, 6)表示第6列第6行。（ ）
【答案】（1）×。(3, 5)表示第3列第5行，(5, 3)表示第5列第3行，位置不同。（2）√。同一列意味着列数相同，数对的第一个数就是列数。（3）√。同一行意味着行数相同，数对的第二个数就是行数。（4）√。
3. 在方格纸上，A点在第2列第5行，B点在第5列第5行，C点在第5列第2行。
（1）用数对表示A、B、C三点的位置。
（2）A和B的数对有什么相同之处？B和C呢？
（3）连接A、B、C三点，得到的是什么图形？
【答案】（1）A(2, 5)、B(5, 5)、C(5, 2)。（2）A和B的行数相同（都是5），说明AB是水平线段；B和C的列数相同（都是5），说明BC是竖直线段。（3）连接ABC得到的是一个直角三角形，直角在B点。
4. 下面的长方形四个顶点分别是A(1, 1)、B(5, 1)、C(5, 4)、D(1, 4)。
（1）在方格图中标出这个长方形。
（2）这个长方形的长是多少格？宽是多少格？
（3）三角形EFG的顶点分别是E(7, 1)、F(9, 1)、G(8, 3)，在图中标出并判断它是什么三角形。
【答案】（1）在图中标出A、B、C、D并连接即可。（2）长 = 5-1 = 4格，宽 = 4-1 = 3格。（3）EFG中，EF = 9-7 = 2格（底边），G在第8列，恰好是EF的中点上方，所以是等腰三角形。
5. 小琳家附近有几个场所的位置如下：学校(3, 5)、公园(7, 3)、超市(3, 3)、图书馆(7, 5)。
（1）学校和超市的数对有什么相同的地方？它们在位置上有什么关系？
（2）公园和图书馆的数对有什么相同的地方？
（3）这四个场所在方格纸上组成什么图形？
【答案】（1）学校和超市的列数相同（都是第3列），说明它们在同一条竖直线上。（2）公园和图书馆的列数相同（都是第7列），也在同一列。（3）这四个场所组成一个长方形。
6. 在方格纸上有以下点：(1, 2)、(3, 4)、(5, 6)、(7, 8)。
（1）这些点的数对有什么规律？
（2）按照这个规律，下一个点是什么？
（3）这些点在方格纸上排成什么形状？
【答案】（1）规律：列数依次增加2（1, 3, 5, 7），行数也依次增加2（2, 4, 6, 8），行数总是比列数多1。（2）下一个点是(9, 10)。（3）这些点在方格纸上排列在一条直线上（斜线）。
7. 下面是小吉家附近的平面图。
（1）用数对表示小吉家、学校、商场、图书馆、体育馆的位置。
（2）从小吉家到学校，向哪个方向走？走了几列几行？
（3）商场在图书馆的什么方向？（用列和行来描述）
【答案】（1）小吉家(5, 4)、学校(3, 6)、商场(7, 5)、图书馆(2, 2)、体育馆(8, 2)。（2）从小吉家(5, 4)到学校(3, 6)：列从5到3（向左2列），行从4到6（向前2行），走了2列2行。（3）商场(7, 5)在图书馆(2, 2)的右上方——列从2到7（向右5列），行从2到5（向上3行）。
第二部分 根据方向和距离确定位置
一、知识要点梳理
【方向角表示】用"北偏东（西）"或"南偏东（西）"来描述方向。东北方向也叫北偏东方向，西北方向也叫北偏西方向，东南方向也叫南偏东方向，西南方向也叫南偏西方向。
【方向+距离确定位置】只说方向不能确定位置（方向相同的点有无数个），只说距离也不能确定位置（距离相同的点围成一个圆）。必须同时知道方向和距离，才能唯一确定一个物体的位置。
【描述位置的格式】"某物体在观测点的____偏____°方向____千米处"。先确定偏的方向（如北偏东），再写出角度，最后给出距离。
【在图上标位置】第一步：以观测点为起点，画出指定方向的射线（用量角器量出角度）。第二步：在射线上，根据比例尺确定距离，标出目标位置。
【比例尺的运用】图上1厘米代表实际若干千米/米。计算图上距离时：图上距离 = 实际距离 ÷ 比例尺中的倍数。例如：图上1厘米 = 10千米，实际20千米 → 图上画2厘米。
二、典型例题
【例题9】认识方向角
海上军事演习中，舰艇向北方航行，前方出现4个浮雷。
（1）东北方向还可以怎样说？
（2）浮雷2在舰艇的什么方向？浮雷3呢？
（3）西北方向还可以怎样说？
【解题思路】东北方向就是从正北向东偏转45°，所以也可以叫北偏东45°方向。西北方向 = 北偏西45°。
【答案】（1）东北方向也叫北偏东方向（或北偏东45°方向）。（2）浮雷2在舰艇的北偏东30°方向，浮雷3在舰艇的北偏东75°方向。（3）西北方向也叫北偏西方向（或北偏西45°方向）。
【易错提醒】方向角的表述要先说主要方向（北或南），再说偏转方向（东或西）。如"北偏东30°"不能写成"东偏北30°"（虽然含义相近，但教材统一用法是北偏东/南偏东/北偏西/南偏西）。
【例题10】根据方向和距离描述位置
继续观察海上演习图，已知图上1厘米代表1千米：
（1）浮雷1在舰艇的正北方向（ ）千米处。
（2）浮雷2在舰艇的北偏东30°方向（ ）千米处。
（3）只说方向能确定浮雷的位置吗？还需要什么信息？
【解题思路】需要同时知道方向和距离才能确定位置。从图中量出各浮雷到舰艇的距离，结合方向进行描述。
【答案】（1）浮雷1在舰艇的正北方向3千米处。（2）浮雷2在舰艇的北偏东30°方向2.5千米处。（3）只说方向不能确定位置，还需要知道距离。例如，北偏东30°方向的点有无数个，但加上"距离2.5千米"就能唯一确定浮雷2的位置。
【易错提醒】确定位置必须同时有方向和距离两个条件。缺少任何一个条件，位置都不确定。
【例题11】描述风景区各景点位置
下面是南山风景区的平面图，以林峰塔为观测点。
以林峰塔为观测点，荷花池、飞霞阁、玉龙潭各在什么位置？
【解题思路】
第一步：确定方向——从林峰塔向各景点画线，看线的方向是北偏东、南偏东、北偏西还是南偏西。
第二步：用量角器量出角度。
第三步：根据比例尺量出距离。
【答案】荷花池在林峰塔的北偏东60°方向约300米处；飞霞阁在林峰塔的北偏西50°方向约400米处；玉龙潭在林峰塔的南偏东40°方向约250米处。
【易错提醒】量角时要将量角器的中心对准观测点（林峰塔），0°刻度线对准正北方向，再读出目标方向线的角度。
【例题12】在图上标出指定位置
下面是黎明岛附近的平面图，图上1厘米表示10千米。
（1）清凉岛在黎明岛南偏西40°方向20千米处，在图上标出清凉岛的位置。
（2）红枫岛在黎明岛北偏东30°方向30千米处，在图上标出红枫岛的位置。
【解题思路】第一步：从黎明岛画南偏西40°方向的射线——先画正南方向，再向西偏转40°。第二步：计算图上距离 = 20÷10 = 2厘米。第三步：在南偏西40°射线上从黎明岛起量2厘米，标出清凉岛。红枫岛同理：北偏东30°方向射线上量3厘米。
【答案】（1）清凉岛：从黎明岛画南偏西40°射线，在射线上量2厘米标出清凉岛。（2）红枫岛：从黎明岛画北偏东30°射线，在射线上量3厘米标出红枫岛。
【易错提醒】画方向射线时容易把角度搞反。南偏西40°是从南向西偏40°，不是从西向南偏40°。量角器使用时注意基准方向。
【例题13】动物园位置标注
下面是青山动物园的平面图，以猴山为观测点。
（1）熊猫馆在猴山北偏东80°方向200米处。
（2）孔雀园在猴山南偏东35°方向100米处。
（3）蛇馆在猴山北偏西75°方向150米处。
请在图中标出各场馆的位置。
【解题思路】以猴山为观测点，分别画三条射线：北偏东80°（接近正东方向）、南偏东35°、北偏西75°（接近正西方向）。再按图上比例尺计算各场馆的图上距离，在射线上标出。
【答案】（1）熊猫馆：从猴山画北偏东80°射线（几乎朝东，偏离正北80°，接近正东），按距离标出。（2）孔雀园：从猴山画南偏东35°射线，按距离标出。（3）蛇馆：从猴山画北偏西75°射线（接近正西），按距离标出。
【易错提醒】北偏东80°是偏离正北方向80°（很接近正东），不是偏离正东80°。北偏西75°也很接近正西方向，画图时注意角度大小与方向的对应关系。
【例题14】雷达屏幕上的位置
下图是飞机场雷达屏幕的一部分。
（1）飞机A在雷达中心的什么方向？距离多少千米？
（2）飞机B在雷达中心的什么方向？距离多少千米？
【解题思路】雷达屏幕上，同心圆代表等距线（每圈10千米），方向线从中心向外辐射。读取飞机位置时，先看它在哪个方向线上，再看它在第几圈。
【答案】（1）飞机A在雷达中心的北偏东30°方向30千米处（第3圈）。（2）飞机B在雷达中心的南偏东30°方向25千米处（第2.5圈）。
【易错提醒】雷达屏幕上读取位置时，要仔细判断方向线和距离圈。注意角度是从正北方向开始量的，不是从正东方向。
【例题15】跳伞落地点描述
下图是跳伞运动员的落地点分布图。
以目标点为观测点，描述A、B、C、D四个落地点的位置。
【解题思路】以目标点为观测点，分别确定各落地点的方向和距离。方向通过画线判断（北偏东/南偏东等），距离通过同心圆数出。
【答案】A点在目标点的北偏东约45°方向约2千米处；B点在目标点的北偏西约60°方向约1.5千米处；C点在目标点的南偏东约30°方向约2千米处；D点在目标点的南偏西约50°方向约1.5千米处。
【易错提醒】描述方向时注意区分"北偏东"和"东偏北"。以目标点为中心画十字方向标后，看各点在哪个象限，再测量角度。
【例题16】相对位置的互逆关系
小琳家在晓雨家北偏东45°方向500米处。晓雨家在小琳家什么方向？什么距离？
【解题思路】这是相对位置的互逆问题。如果A在B的北偏东45°方向，则B在A的南偏西45°方向。距离不变。
【答案】晓雨家在小琳家的南偏西45°方向500米处。规律：两个地点的相对位置互为反方向，角度大小不变，距离也不变。北↔南，东↔西。
【易错提醒】互逆关系中，角度数值不变，只有方向相反。北偏东→南偏西，北偏西→南偏东。容易忘记改变方向或改变角度。
三、基础练习
8. 填空：
（1）东北方向也叫（ ）方向，西南方向也叫（ ）方向。
（2）确定物体的位置需要知道（ ）和（ ）两个条件。
（3）学校在图书馆南偏西30°方向200米处，则图书馆在学校（ ）偏（ ）（ ）°方向（ ）米处。
【答案】（1）北偏东，南偏西。（2）方向，距离。（3）北，东，30，200。
9. 判断对错：
（1）知道方向就能确定一个物体的位置。（ ）
（2）北偏东30°和东偏北60°表示相同的方向。（ ）
（3）A在B的北偏西50°方向，则B在A的南偏东50°方向。（ ）
（4）南偏东方向的角度最大是90°。（ ）
【答案】（1）×。只知道方向不能确定位置，还需要距离。（2）√。北偏东30°是从北向东偏30°，东偏北60°是从东向北偏60°，两者表示同一个方向。（3）√。相对位置互逆，方向相反角度不变。（4）√。南偏东的范围是0°（正南）到90°（正东）。
10. 看图回答问题：
以小猴家为观测点：
（1）小兔家在小猴家北偏东50°方向300米处。
（2）小熊家在小猴家南偏西40°方向200米处。
（3）小鹿家在小猴家北偏西65°方向250米处。
请描述从小猴家到各动物家的方向和距离。
【答案】小兔家在小猴家北偏东50°方向300米处；小熊家在小猴家南偏西40°方向200米处；小鹿家在小猴家北偏西65°方向250米处。
11. 在地图上，以市中心广场为观测点：
（1）医院在广场北偏东20°方向800米处。
（2）学校在广场南偏东55°方向600米处。
（3）车站在广场北偏西70°方向1000米处。
请写出各位置关系，并计算医院和车站之间的直线距离。
【答案】医院位置：北偏东20°方向800米；学校位置：南偏东55°方向600米；车站位置：北偏西70°方向1000米。医院和车站之间的夹角为20°+70°=90°，可用勾股定理：d = √(800² + 1000²) = √(640000+1000000) = √1640000 ≈ 1281米，约1300米。
12. 根据描述画图：
以O点为观测点，比例尺为1厘米 = 50米。
（1）A点在O点北偏东40°方向100米处。
（2）B点在O点南偏东25°方向150米处。
（3）C点在O点南偏西60°方向200米处。
在纸上画出O点、方向标和各点位置。
【答案】图上距离：A点 100÷50=2厘米，B点 150÷50=3厘米，C点 200÷50=4厘米。从O点画北偏东40°射线量2厘米标A；南偏东25°射线量3厘米标B；南偏西60°射线量4厘米标C。
13. 综合练习图：以学校为观测点。
（1）邮局在学校的什么方向和距离？
（2）商店在学校的什么方向和距离？
（3）医院在学校的什么方向和距离？
（4）公园在学校的什么方向和距离？
【答案】（1）邮局在学校的正北方向约300米处。（2）商店在学校的北偏东约45°方向约400米处。（3）医院在学校的南偏东约45°方向约400米处。（4）公园在学校的南偏西约45°方向约400米处。
14. 小明从家出发，先向东走200米到达超市，再向北偏东30°方向走300米到达学校。
（1）学校在小明家的什么方向？
（2）学校到小明家的直线距离大约是多少？
【答案】（1）学校在小明家的东北方向。（2）将300米北偏东30°分解：向东 = 300×sin30° = 150米，向北 = 300×cs30° ≈ 260米。总共向东 = 200+150 = 350米，向北 ≈ 260米。直线距离 = √(350²+260²) = √(122500+67600) = √190100 ≈ 436米。方向为北偏东arctan(350/260) ≈ 53°。所以学校在小明家北偏东约53°方向约436米处。
第三部分 练习十四综合练习
一、知识要点回顾
【综合方法一】用数对确定位置——适用于方格纸上的精确定位，格式为(列, 行)。
【综合方法二】用方向和距离确定位置——适用于开放空间的位置描述，格式为"__偏__°方向__距离"。
【两种方法的关系】两种方法都是确定位置的有效手段。数对法更精确、简洁；方向距离法更直观、适用于实际场景。在某些场景中两种方法可以互相转换。
二、综合例题
【例题17】数对与方向距离的综合
下面是小吉家附近的平面图。
（1）用数对表示各场所位置。
（2）以学校为观测点，用方向和距离描述商场的位置。
（3）以体育馆为观测点，用方向和距离描述图书馆的位置。
【解题思路】第（1）题直接用数对表示；第（2）（3）题需要先确定方向再估算距离。
【答案】（1）小吉家(5,4)、学校(3,6)、商场(7,5)、图书馆(2,2)、体育馆(8,2)。（2）以学校(3,6)为观测点，商场(7,5)在学校东偏南方向（列从3→7向右4列，行从6→5向下1行），约为东偏南约14°方向，距离约为4格。（3）以体育馆(8,2)为观测点，图书馆(2,2)在体育馆的正西方向（行相同，列从8→2），距离为6格。
【例题18】长方形顶点与平行关系
在方格纸上画一个长方形，四个顶点分别是A(1, 1)、B(6, 1)、C(6, 4)、D(1, 4)。
（1）用数对表示各顶点位置。
（2）观察A和B、D和C的数对，你发现了什么？
（3）从数对中能否看出AB∥DC且AB=DC？
【解题思路】通过数对来研究图形的性质。同一行的点行数相同→水平线平行；同一列的点列数相同→竖直线平行。
【答案】（1）A(1,1)、B(6,1)、C(6,4)、D(1,4)。（2）A和B的行数相同（都是1），D和C的行数相同（都是4），说明AB和DC都是水平线段。A和D的列数相同（都是1），B和C的列数相同（都是6），说明AD和BC都是竖直线段。（3）AB的长度=6-1=5，DC的长度=6-1=5，所以AB=DC；因为行数分别相同，所以AB∥DC。
【易错提醒】从数对判断平行关系：行数相同的两点连线是水平线（互相平行），列数相同的两点连线是竖直线（互相平行）。
【例题19】综合路线描述
从学校(5, 5)出发，依次经过以下地点：
第1站到邮局(5, 8)；第2站到商店(8, 7)；第3站到医院(8, 3)；第4站回到学校。
（1）用数对表示行走路线中各站的位置。
（2）描述从学校到邮局的方向。
（3）描述从商店到医院的方向和走了几格。
【解题思路】第（1）题直接写出数对。第（2）题通过比较两站数对确定方向。第（3）题计算列差和行差。
【答案】（1）学校(5,5)→邮局(5,8)→商店(8,7)→医院(8,3)→学校(5,5)。（2）学校到邮局：列不变（都是5），行从5到8（增加了3），方向是正北方向。（3）商店到医院：列不变（都是8），行从7到3（减少4），方向是正南方向，走了4格。
【例题20】拓展提高——综合运用
某城市以中心广场为观测点，有以下建筑：
• 图书馆在广场北偏东60°方向1200米处
• 体育馆在广场南偏东30°方向800米处
• 公园在广场正西方向600米处
（1）在图上标出这三个建筑的位置（比例尺1厘米 = 400米）。
（2）图书馆在公园的什么方向？
（3）从体育馆到图书馆，行走的方向大致是什么？
【解题思路】（1）按方向和距离依次画图标注。（2）（3）需要建立坐标系，将方向和距离转化为坐标，再计算相对位置。
【答案】（1）图上距离：图书馆 1200÷400=3厘米（北偏东60°），体育馆 800÷400=2厘米（南偏东30°），公园 600÷400=1.5厘米（正西）。（2）设广场为原点，公园在(-600, 0)，图书馆在(1200×sin60°, 1200×cs60°)≈(1039, 600)。相对位置：(1039+600, 600)=(1639, 600)，方向≈北偏东70°。（3）体育馆坐标≈(400, -693)。相对位置：(1039-400, 600+693)=(639, 1293)，方向≈北偏东约26°。
【易错提醒】综合题涉及坐标转换时，注意：北偏东θ°的坐标为(距离×sinθ, 距离×csθ)。计算相对方向时要先求出相对坐标再计算角度。
三、综合练习
15. 填空题：
（1）确定位置的方法有两种：一种是用（ ）确定位置，另一种是用（ ）和（ ）确定位置。
（2）数对(6, 3)和(3, 6)表示的位置（ ）（填"相同"或"不同"）。
（3）甲在乙的北偏西40°方向，乙在甲的（ ）偏（ ）（ ）°方向。
【答案】（1）数对，方向，距离。（2）不同。（3）南，东，40。
16. 选择题：
（1）下面哪组数对表示的位置在同一列？（ ）
A. (3, 5)和(5, 3) B. (4, 2)和(4, 7) C. (1, 6)和(6, 1)
（2）A在B的南偏东50°方向，则B在A的（ ）方向。
A. 南偏东50° B. 北偏西50° C. 北偏东50°
（3）确定位置时，下面哪个条件是不需要的？（ ）
A. 观测点 B. 方向 C. 物体的大小
【答案】（1）B。同一列意味着第一个数（列数）相同，(4,2)和(4,7)列数都是4。（2）B。相对位置方向相反，南偏东↔北偏西，角度不变。（3）C。确定位置只需要观测点、方向和距离，与物体大小无关。
17. 综合题：下面是某街区的平面图。
以邮局(4, 4)为观测点：
（1）学校在邮局的正北方向600米处，用数对表示学校的位置。
（2）超市在邮局的南偏东45°方向400米处。
（3）图书馆在邮局的北偏西30°方向800米处。
请描述从学校到超市的行走路线。
【答案】（1）学校在邮局正北方向600米处。如果每格代表200米，则学校在第4列第7行 → (4, 7)。（2）超市在邮局南偏东45°方向400米处，约在(6, 2)位置。（3）从学校(4, 7)到超市(6, 2)：先向南走5格到(4, 2)，再向东走2格到(6, 2)，即先向南再向东。
18. 提高题：
A、B两地相距500米。以A为观测点，B在A的北偏东35°方向。
（1）以B为观测点，A在B的什么方向？
（2）如果C在A的正东方向300米处，同时C在B的南偏东20°方向，那么C的位置是否合理？
【答案】（1）A在B的南偏西35°方向500米处。（2）C在A正东300米→C的坐标为(300, 0)。B在A的北偏东35°→B的坐标为(500×sin35°, 500×cs35°)≈(287, 410)。从B(287, 410)到C(300, 0)的方向向量是(13, -410)，方向≈南偏东1.8°，与题目给的南偏东20°不一致，所以C的位置不完全合理。
19. 拓展题：
小明和小华同时从学校出发。小明向东走400米到书店，小华向北走300米到公园。
（1）书店和公园之间的直线距离是多少？
（2）书店在公园的什么方向？（用方向角表示）
（3）从公园到书店，用方向和距离怎么描述？
【答案】设学校为原点(0,0)。书店(400,0)，公园(0,300)。（1）距离 = √(400²+300²) = √(160000+90000) = √250000 = 500米。（2）从公园看书店：方向向量(400,-300)，即向东400米、向南300米，方向为南偏东arctan(400/300)≈53°。（3）书店在公园的南偏东约53°方向500米处。
20. 挑战题：
在一幅平面图上，A点的位置用数对(2, 3)表示，B点的位置用数对(8, 7)表示。
（1）A和B之间水平距离是多少格？垂直距离是多少格？
（2）从A到B的方向大约是北偏东多少度？
（3）如果每格代表100米，A和B之间的直线距离是多少米？
【答案】（1）水平距离 = 8-2 = 6格，垂直距离 = 7-3 = 4格。（2）从A到B：向东6格、向北4格。方向 = 北偏东arctan(6/4) = 北偏东arctan(1.5) ≈ 56°。（3）实际水平距离 = 600米，垂直距离 = 400米。直线距离 = √(600²+400²) = √(360000+160000) = √520000 ≈ 721米。
—— 讲义完 ——