四川凉山州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题含答案

这是一份四川凉山州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题含答案，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．甲学校有2000名学生，乙学校有2500名学生，丙学校有3000名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为75的样本，应在甲，乙，丙三校分别抽取学生（ ）
A．20人，25人，30人B．30人，25人，20人
C．25人，30人，20人D．20人，30人，25人
2．已知i为虚数单位，且复数z满足1+iz=2，则z的虚部为（ ）
A．1B．iC．−1D．−i
3．某简谐运动的函数解析式为y=sinπt−π5，则这个简谐运动的频率和相位分别为（ ）
A．12，πt−π5B．2，πt−π5C．12，−π5D．2，−π5
4．如图，一条河两岸平行，河的宽度d=300m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为v1=250m/min，水流速度v2的大小为v2=200m/min，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要的时间t=（ ）
A．1.2minB．2minC．3minD．4min
5．已知复数2+i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根，则p+q=（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
6．已知a，b为单位向量，向量a在向量b方向上的投影向量为−12b，则a−b=（ ）
A．22B．2C．32D．3
7．若函数fx=csωx+π4ω>0在区间π4,π2上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A．94,3B．2,72C．3,72D．32,52
8．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，P是平面ABC上一动点，点Q是直线B1C1上一动点，则A1P+PQ的最小值为（ ）
A．32B．19C．25D．26
二、多选题
9．下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．若a⋅b=0，则a=0或b=0B．若a⃗与b反向，则a⋅b=−a⋅b
C．若a//b，b//c，则a//cD．若存在实数λ，使得a=λb，则a//b
10．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）
A．若m//α，α//β，则m//β
B．若m⊥α，α//β，n⊂β，则m⊥n
C．若m//n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，m⊥n，则m⊥β
11．已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为1，方差为1，则该组数据的（ ）
A．中位数可能为1B．众数可能为1
C．极差可能为1D．第60百分位数可能为2
三、填空题
12．将一个长、宽、高分别是9cm，8cm，6cm的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为__________cm3．
13．已知A，B，C为单位圆上三点，∠ACB=π6，点C关于点A的对称点为M，点M关于点B的对称点为D，则CD=__________．
14．若tanβ=3tanα，sinβcsα=34，则cs2α+2β=__________．
四、解答题
15．已知向量a=1,2，b=2,3，c=−1,2．
(1)若ka−c⊥a+b，求实数k的值；
(2)已知OA=a，OB=b，OC=λc，若A，B，C三点共线，求实数λ的值．
16．（本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且AEAB=CFCB=λλ>0

(1)如图1，若λ=12，求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如图2，若λ=14，求证：直线EH，BD，FG相交于同一点．
17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c−bsinC+sinB=asinA−sinB．
(1)求角C；
(2)若△ABC的面积为32,c=3，求△ABC的周长．
18．为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）．数据的分组依次为160,180、180,200、200,220、220,240、240,260、260,280、280,300.
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)求该城市所有居民月平均用电量的众数和平均数的估计值（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(3)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，将月平均用电量从低到高分为一、二、三档，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，请确定第二档的月平均用电量范围（精确到1）．
19．（本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC与△AA1C均为等腰直角三角形，且∠ABC=∠AA1C=π2，AC=2．
(1)证明：AC⊥A1B；
(2)记二面角A1−AC−B的大小为α．
（i）若α=π2，求直线A1A和B1C1所成角的大小；
（ii）若二面角B−A1A−C的大小为β，α−β=π2，求csα．
《四川凉山州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题》参考答案
1．A
2．C
3．A
4．B
5．D
6．D
7．C
8．B
9．AC
10．BC
11．AB
12．36π
13．2
14．−1
15．(1)k=713
(2)λ=13
16．(1)证明：如图1所示，连接BD，
空间四边形ABCD中，当λ=12时，AEAB=CFCB=12，
即E、F分别是AB、BC的中点，
又H、G分别是AD、CD的中点，
所以EH//BD且EH=12BD，FG//BD且FG=12BD，
所以EH//FG且EH=FG．
即四边形EFGH是平行四边形．
(2)如图2所示，连接EF，HG，AC，
空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，
则HG//AC且HG=12AC．
又AEAB=CFCB=14，则EF//AC且EF=34AC．
即EF//HG且EF≠HG，
则EH与FG交于一点，记为P，
∵EH⊂平面ABD，P在平面ABD内，
同理P在平面BCD内，且平面ABD∩平面BCD=BD，
∴点P在直线BD上，
∴直线EH，BD，FG相交于一点．
17．(1)π3
(2)3+3
18．(1)0.0075
(2)众数为230度，平均数为225.6度
(3)247,280
19．(1)设AC的中点为M，连接BM，A1M，如图所示，
因△ABC与△AA1C均为等腰直角三角形，∠ABC=∠AA1C=π2，
所以A1M⊥AC，BM⊥AC，A1M∩BM=M，
且A1M⊂平面A1MB，BM⊂平面A1MB，
故AC⊥平面A1MB，且A1B⊂平面A1MB，即AC⊥A1B；
(2)（i）π3；（ii）2−2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
B
D
D
C
B
AC
BC
题号
11









答案
AB