四川凉山州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份四川凉山州2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡收回等内容，欢迎下载使用。
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 甲学校有2000名学生，乙学校有2500名学生，丙学校有3000名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为75的样本，应在甲，乙，丙三校分别抽取学生（ ）
A. 20人，25人，30人B. 30人，25人，20人
C. 25人，30人，20人D. 20人，30人，25人
【答案】A
【解析】
【详解】甲，乙，丙三个学校的学生比例为，
故甲，乙，丙三校分别抽取学生人数为，
.
2. 已知为虚数单位，且复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的四则运算，求出复数，即可得答案.
【详解】因为，
所以，
故的虚部为.
3. 某简谐运动的函数解析式为，则这个简谐运动的频率和相位分别为（ ）
A. ，B. 2，C. ，D. 2，
【答案】A
【解析】
【详解】，这个简谐运动的周期为，频率为，相位为.
4. 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要的时间（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设船垂直河岸实际渡河速度的大小为，，
所以，解得，
.
5. 已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用实系数方程的虚根成对定理结合韦达定理即可求解.
【详解】由题意得方程的另外一个根为，
由韦达定理得，
，
所以.
6. 已知，为单位向量，向量在向量方向上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】因为，均为单位向量，所以，
又在方向上的投影向量为，所以，
所以
.
7. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过整体代换法，令给定区间内产生的相位范围成为余弦函数基本单调递增区间的子集，联立求解不等式组得出的取值范围.
【详解】设，，
由题意得，
即，，
，，
联立得，其中且，解得，
所以，.
8. 在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作关于底面的对称点，则，所求最小值为点到直线的垂直距离，分析出点到直线的竖直距离和水平距离，即可利用勾股定理求得结果.
【详解】由题知，作关于底面的对称点，

则，所以，
所以的最小值为点到直线的垂直距离，
因为到的距离为，
所以到平面的距离为，
又，
所以的最小值为.
即的最小值为.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A. 若，则或B. 若与反向，则
C. 若，，则D. 若存在实数，使得，则
【答案】AC
【解析】
【详解】对于A：当，则，但是或可能不成立，A选项错误；
对于B：若与反向，则，B选项正确；
对于C：若满足，，但是可能不成立，C选项错误；
对于D：若存在实数，使得，
当为零向量时，则为零向量，可得；
当不为零向量时，由向量共线的判定定理可得；
综上所述： ，D选项正确.
10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据线面、面面平行的性质判断A，根据线面垂直、面面平行的性质判断B，根据面面垂直的判定定理判断C，考虑特殊情况判断D.
【详解】当，时，可能，故A错误；
当，，可得，又，所以，故B正确；
当，时，可得，由知，故C正确；
如图，作出符合题意的图形，
当，，，时，与可以不垂直， 故D错误.
11. 已知一组数据，，，，的平均数为1，方差为1，则该组数据的（ ）
A. 中位数可能为1B. 众数可能为1
C. 极差可能为1D. 第60百分位数可能为2
【答案】AB
【解析】
【分析】对A，B举例说明，对于C，令，假设极差为1，求出的范围，进而分析，对于D，假设第60百分位数为2，根据数据的大小进行分析.
【详解】对于A，数据的平均数为，方差为，中位数为，A正确；
对于B，数据，则这组数据的平均数为1，方差为1，众数为1，B正确；
对于C，若极差为1，不妨设为最小值，为最大值，则，
又因为平均数为，则，则，
则，
与题干方差为1矛盾，C错误；
对于D，不妨假设，，
所以第60百分位数为，则，且，
所以，此时，
所以这组数据的平均数不可能为1，与题干平均数为矛盾，D错误.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 将一个长、宽、高分别是，，的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，此球是棱长为6的正方体的内切球，根据正方体的特征求得球的直径，再由球的体积公式求解即可．
【详解】要将长方体铁块磨制成一个球体，则球体直径最大不超过长方体的最短棱长，
又长方体的最短棱长为，则此球是棱长为的正方体的内切球，
根据正方体的几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为，
所以球的半径为，其体积是.
13. 已知，，为单位圆上三点，，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用正弦定理求得，再根据题意可知分别为的中点，利用中位线的性质求解．
【详解】如图，作出符合题意的图形，
由正弦定理可得，解得，
又点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，
所以分别为的中点，
，即．
14. 若，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用同角三角函数的商数关系，将已知的正切条件转化为正弦、余弦的比例关系，再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.
【详解】 由 ，得 ​，交叉相乘整理得： ，
已知 ，代入得 ，解得： .
根据正弦和角公式：
利用二倍角公式，，
代入得：
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量，，．
（1）若，求实数的值；
（2）已知，，，若，，三点共线，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示即可得解；
（2）利用向量共线的坐标运算求解即可.
【小问1详解】
，，
由已知，
得，
解得；
【小问2详解】
，，
若，，三点共线，则，
则，
解得．
16. （本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分）在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且

（1）如图1，若，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，求证：直线，，相交于同一点．
【答案】（1）证明：如图1所示，连接，
空间四边形中，当时，，
即、分别是、的中点，
又、分别是、的中点，
所以且，且，
所以且．
即四边形是平行四边形．
（2）如图2所示，连接，，AC，
空间四边形中，、分别是、的中点，
则且．
又，则且．
即且，
则与交于一点，记为，
平面，在平面内，
同理在平面内，且平面平面，
∴点在直线上，
∴直线，，相交于一点．
【解析】
【分析】（1）由中位线得到且，故四边形是平行四边形；
（2）先得到且，则与交于一点，记为，在平面内，同理在平面内，在直线上，从而得直线，，相交于一点．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
17. 已知的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求出的值，结合（1）中结论可得出的值，由此可得出的周长.
【小问1详解】
因，
由正弦定理，得，
即，
所以，又，
所以．
【小问2详解】
，所以，
由（1）知．
所以，
所以，即．
所以的周长为．
18. 为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）．数据的分组依次为、、、、、、.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求该城市所有居民月平均用电量的众数和平均数的估计值（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，将月平均用电量从低到高分为一、二、三档，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，请确定第二档的月平均用电量范围（精确到1）．
【答案】（1）
（2）众数为230度，平均数为225.6度
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求即可；
（2）根据众数、平均数的求解方式求解；
（3）分别求出75%分位数、95%分位数即可．
【小问1详解】
因为，
所以；
【小问2详解】
由频率分布直方图可知，月平均用电量众数的估计值为230度，
记、、…、的频率分别为，，…，，
则，，，，，，，
于是平均数的估计值为
，
即该城市所有居民月平均用电量的众数为230度，平均数的估计值为225.6度；
【小问3详解】
因为，，
因此，75%分位数位于内．由，
可估计样本数据的75%分位数约为247，
又，
因此，可估计样本数据的95%分位数约为280，
即第二档的月平均用电量数据范围为．
19. （本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分）如图，在三棱柱中，与均为等腰直角三角形，且，．
（1）证明：；
（2）记二面角的大小为．
（i）若，求直线和所成角的大小；
（ii）若二面角的大小为，，求．
【答案】（1）设的中点为，连接，，如图所示，
因与均为等腰直角三角形，，
所以，，，
且平面，平面，
故平面，且平面，即；
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）设的中点为，连接，，证明平面，利用线面垂直的性质即可证明；
（2）（i）根据为直线和所成的角或补角，在中，利用余弦定理即可求解；
（ii）在平面上，过点作于，连接，可得， 在中，由余弦定理化简可得：，结合即可求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
因为故，，
且，由（1）小题可知，
（i）因，
则为直线和所成的角或补角，
当时，，
因，，
则，所以，
中，由余弦定理得，
又，所以，则，
即直线和所成的角为；
（ii）如图，在平面上，过点作于，连接，
因，所以，
在菱形中，，，
所以，
因为，
所以，
在菱形中，同理可得，
又，则中，由余弦定理得，
，
即，又，
即，
即或（舍去），
所以．