四川省凉山州2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省凉山州2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数满足（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．1B．C．D．
2．某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为（ ）
A．25B．30C．35D．50
3．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
4．已知四棱锥的高为2，其底面水平放置时的斜二测画法直观图为平行四边形，如图所示，已知，，则四棱锥的体积为（ ）
A．B．4C．D．12
5．若点是的外心，，则（ ）
A．1B．-1C．3D．-3
6．已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（ ）
A．B．C．D．
7．若将函数的图象向左或右平移个单位，所得的图象与的图象关于y轴对称，则的最小正值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆锥的侧面面积为，母线长为，则圆锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知中，点，，分别为，，的中点，则（ ）
A．B．
C．点A的坐标为D．的面积为4
10．某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩（单位：厘米）为：145，155，132，135，140，130，136，则（ ）
A．该组数据的极差是35B．该组数据的中位数是136
C．该组数据的40%分位数是135D．该组数据的平均数为139
11．记，，则（ ）
A．的取值范围为B．若，则
C．的最小值为D．若，则b的最大值为1
三、填空题
12．若复数满足，则的最大值为 ．
13．样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为 ．
14．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m．
四、解答题
15．在边长为1的菱形中，，，设，．
(1)用，，表示，并求；
(2)若，，求实数的值．
16．某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区．现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求的值；
(2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数（每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数）．
17．已知向量，，设函数，．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)设，且，，求的值．
18．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，．
(1)求b；
(2)若，求的面积；
(3)若为锐角三角形，且，求的取值范围.
19．如图1，图2，在正方体中，M为的中点．
(1)图1中求证：平面；
(2)图1中求二面角的正切值；
(3)图2中，已知，为的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，求三棱锥的体积的最小值．
1．B
先根据复数的除法运算确定复数，再根据复数虚部的概念确定复数的虚部.
【详解】因为，所以.
所以复数的虚部为：.
故选：B
2．C
由分层抽样的相关知识求解即可.
【详解】选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为.
故选：C.
3．A
根据向量的坐标运算求，再结合投影向量的定义运算求解.
【详解】因为向量，，则，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
4．B
由直观图可得到底面为矩形，同时可求矩形的面积，然后利用锥体体积公式计算可得答案.
【详解】由题意可知，四边形为矩形，因为直观图中，，所以，，所以矩形的面积为，所以四棱锥的体积为.
故选：B.
5．D
取的中点，连接，由外心的性质可知，即，利用向量的运算法则将 转化为即可得解.
【详解】
取的中点，连接，
因为点是的外心，所以，所以.
因为
，
因为，所以.
故选：D
6．A
先分析出角最大，角最小，再根据余弦定理求出角即可得解.
【详解】由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小.
因为，所以设，
则由余弦定理
可得，
又因为，所以；
因为，所以，
所以三角形的最大角与最小角之和为.
故选：A
7．B
先求关于轴对称的函数的解析式，再根据函数图象平移的规律求.
【详解】函数关于轴对称的函数的解析式为：
，
又，
所以将向右平移个单位可得的图象.
则的最小正值是
故选：B
8．B
求出圆锥的底面圆半径和高，找到球心的位置，根据半径相等得到方程，求出，进而求出外接球表面积.
【详解】圆锥母线长，设圆锥底面圆半径为，则，
解得，圆锥的高为，
设圆锥的外接球的球心为，则在上，设半径为，
则，，
，
即，解得，
故圆锥的外接球的表面积为.
故选：B
9．ACD
根据，两点的坐标求出向量的坐标，即可判断A，利用，再由的坐标求出的坐标，即可判断B；设，，，根据中点坐标公式列出方程组，求出三点坐标，即可判断C，分别求出，即可求出的面积，即可判断D.
【详解】
因为，，所以，故A正确；
因为分别为，的中点，
所以，故B错误；
设，，，
则有，，，
解得，故C正确；
由C可知，
所以的面积为，故D正确.
故选：ACD
10．BCD
找到该组数据的最大值及最小值，求出极差，即可判断A；将该组数据从小到大排序依次，找到中位数，即可判断B；求出该组数据的40%分位数，即可判断C；求出该组数据的平均数即可判断D.
【详解】该组数据的最大值是155，最小值是130，所以极差是，故A错误；
将该组数据从小到大排序依次为130,132,135,136,140,145,155，
可知中位数是136，故B正确；
因为，所以该组数据的40%分位数是第3个数据，即135，故C正确；
因为，故D正确.
故选：BCD
11．ACD
根据正弦余弦函数的值域判断A，应用辅助角公式计算判断C，应用同角三角函数关系计算判断B，D.
【详解】因为，的取值范围为，A选项正确；
，当时，的最小值为，C选项正确；
因为，，
所以平方和为，
则
若，则，则，
当时，所以不一定是0，B选项错误；
若，则，则当时，b的最大值为1，D选项正确；
故选：ACD.
12．2
设复数，由已知得，进而可得，最后由即可求解.
【详解】设复数，
因为，
所以，即，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以时，最大为.
故答案为：2.
13．4
设第五个值为，由该样本的平均数为2，根据平均数的计算公式求出，再根据方差的公式计算即可.
【详解】设第五个值为，
则由该样本的平均数为2，可知，解得.
则样本方差.
故答案为：4
14．
由题设得，利用正弦定理求两点间的距离.
【详解】由题设，
在中，由正弦定理，得
∴m.
故答案为：.
15．(1)，；
(2).
（1）在中，根据向量加法的三角形法则表示，再根据向量模的求法计算即可；
（2）由，在中，根据向量加法的三角形法则表示出，再由，，列出方程，即可求出实数的值.
【详解】（1）
因为，所以。
因为，，所以，
则，
所以；
（2）
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，解得．
16．(1)
(2)中位数约为86.67．平均数为84.
（1）根据直方图中频率和为求参数即可；
（2）由中位数的定义，结合直方图求中位数；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出平均数.
【详解】（1）由图知：，
可得
（2）因为
所以中位数在区间内，令其为m，
则，解得．
所以满意度评分的中位数约为86.67．
由频率分布直方图可知，平均数为
．
17．(1)π
(2) ，
(3)
（1）由三角恒等变换化简函数表达式，结合周期公式计算即可；
（2）由整体代入法求解即可；
（3）首先求得，即，进一步结合的取值范围即可得解.
【详解】（1）由题意可知：
，
由，
得的最小正周期为π．
（2）由（1）知意，
令，，
即，．
所以的单调递增区间为 ，．
（3）由题意
，
又，所以，
又，
则，即．
又，即
所以，即，
故的值为．
18．(1)1
(2)
(3)
（1）根据题意利用正、余弦定理角化边运算求解即可；
（2）利用余弦定理可得，进而可得，即可得面积；
（3）利用余弦定理可得，结合锐角三角形可得，结合向量求的取值范围.
【详解】（1）因为，
由余弦定理可得，解得．
又因为，由正弦定理得，所以．
（2）由（1）可知：，，且，
由余弦定理得，
且，可得，
所以的面积．
（3）由（1）可知：，，
由余弦定理可得，
且为锐角三角形，
则，解得，
因为，可得
则，
可得，所以的取值范围为．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）
如图所示，连接，交于G，连接，
∵是正方体，∴是正方形，∴G为的中点，
又∵为的中点，则，∵平面，平面，
∴平面；
（2）
如图所示，过作交的延长线于，连结．
∵平面，∴是在平面内的射影，
∵平面，∴，∵
∴平面，∵平面，∴，
∴为二面角的平面角．
设正方体的棱长为1．
∵M是的中点，且，则在直角中，，，
，，，
∴二面角的正切值为．
（3）
如图所示，设为的中点，连接交于，
设，
∵ ，，，
∴，∴，
∴，即，∴，
又∵平面，平面，∴，
又∵，∴平面，
∵平面，∴，
又∵平面，∴就是三棱锥的高
∴，
∵，且，∴，
即，∵，
∴
当且仅当，即时取等号，
此时
，解得，即.
即三棱锥的体积的最小值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
B
D
A
B
B
ACD
BCD
题号
11









答案
ACD