湖南永州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题含答案

这是一份湖南永州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题含答案，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数z=1−i，则z的虚部为（ ）
A．iB．−iC．1D．−1
2．已知向量a=2,3，b=x,−6，若a//b，则实数x=（ ）
A．9B．4C．−9D．−4
3．已知圆柱底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积为（ ）
A．39πB．15πC．30πD．48π
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m⊥α，m⊥β，则α//βB．若m//α，α//β，则m//β
C．若α⊥β，m⊥α，则m//βD．若m//α，n⊂α，则m//n
5．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线B1C，EF所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
6．已知一组数据x1，x2，x3，x4的方差为5，则2x1，2x2，2x3，2x4的方差为（ ）
A．10B．20C．30D．40
7．已知事件A,B满足PA=0.2，PB=0.5，则下列命题正确的是（ ）
A．若A⊆B，则PAB=0.1
B．若A，B互斥，则PAB=0.1
C．若A⊆B，则PA+B=0.7
D．若A，B相互独立，则PA+B=0.6
8．在△ABC中，AB=2，C=30°，D为边AB的中点，则CD的最大值为（ ）
A．1+3B．2+3C．3+3D．4+3
二、多选题
9．已知复数z=1−ii，则（ ）
A．z=2B．z=1−i
C．z在复平面内对应的点位于第二象限D．z为方程x2+2x+2=0的一个根
10．已知四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使DE=CD，点P是线段BD上的任意一点.设向量AP=mAB+nAE，则m+n的可能取值为（ ）
A．2B．2C．1D．12
11．在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为△ABD和△ABC的中心，点P在线段CM上，则下列结论正确的是（ ）
A．AP+BP的最小值为3
B．若DP⊥平面ABC，则CP=64
C．平面ABD与平面BCD所成二面角的正弦值为223
D．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P−ABC的外接球半径为368
三、填空题
12．在△ABC中,B=45°,C=30°,AB=2,则AC=________.
13．如图，圆柱OO1的底面直径和高均是2，圆柱OO1内接于圆锥PO，且PO=3PO1，则圆锥PO的体积为________.

14．已知全集U=0,1，独立随机选取U的三个子集A,B,C，满足A∪B∪C=U.记事件M：A∩B≠∅且B∩C≠∅且A∩C≠∅，则PM=_________.
四、解答题
15．已知a=1，b=2，a−b=5.
(1)求a⋅b；
(2)若a+λb⊥a−2b，求实数λ的值.
16．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点.

(1)求证：PB//平面ACE；
(2)若AP=AC=DC，AC⊥CD，求AE与平面PAC所成角的正弦值.
（注：用空间向量法求解不给分）
17．人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量.很多学校已经推出基于豆包的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用豆包解答完成100份不同的模拟试卷，统计其解答准确率，整理得到如下频数分布表：
(1)求x的值，并估计豆包解答这100份试卷准确率的第62百分位数；
(2)若按比例分配的分层随机抽样的方法从准确率在90,95，95,100的两组中抽取7份试卷，再从这7份试卷中随机抽取2份试卷，求这2份试卷来自同一组的概率.
18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，周长为L.已知S=32BC⋅BA.
(1)求B；
(2)若b2−a2−ac=0，证明：△ABC为直角三角形；
(3)若△ABC为锐角三角形，b=2，求SL的取值范围.
19．“牟合方盖”是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向相交时两圆柱公共部分形成的几何体，如图1所示，点D被称为“牟合方盖”的上顶点，点O为“牟合方盖”的中心.过点O作平面γ使得OD⊥γ，OD=2.
(1)求平面γ截“牟合方盖”所得截面的面积；
(2)点B，E为平面γ与两圆柱表面交线的交点，点A为BE的中点，过OD作平面ODSC，点S,C为“牟合方盖”表面上的点且在平面AOD同一侧，过点S作SR//平面ABC，交边界BD于点R，∠DOC=π2，设∠SOD=α0≤α≤π2，∠AOC=β.
（ⅰ）如图2所示，若OS=6，tanα=2，β=3π4，求线段CR的值；
（ⅱ）若OS//AR，点S到平面ABR的距离为d，当d∈144,142时，1tan2α+cs2β0，故c=2a，
代入b2=a2+ac，得b2=3a2，
因此a2+b2=2a2=c2，则C=π2，即△ABC为直角三角形；
(3)3−36,36
19．(1)16
(2)
（i）14；
（ii）2,+∞．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
A
C
B
D
B
AD
ABC
题号
11









答案
BCD