中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型09逆等线最值模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型09逆等线最值模型(原卷版+解析)，共39页。

模型介绍
两线段和的最值问题, 大家首先想到的都是 “将军饮马”问题， 即要求的两条线段有公共端点,或者平移后有公共端点.
除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中, 两条动线段始终保持着相等, 我们可以在等线段处构造全等, 从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是今天咱们要说的逆等线最值问题.
讲逆等线模型之前我们先来一波回忆：
下图大家应该很熟：

D为动点！特殊化证明：DE+DF的和为定值.
一般化证明：DE+DF的和为定值
只要保证DE，DF与腰的夹角相等，总会有：DE+DF的和为定值的结论！
证明思路：
作AG∥FD，HD∥BC易得红蓝全等，黄色平四
∴DE＋DF＝AH＋HG＝AG（定长）
另证易得：△DEA∽△DFB ∵AD＋BD为定值∴DE＋DF为定值
引申：D在线段AB外时差为定值（证明同理）
然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！
此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！
例题精讲
考点一:等腰三角形中的逆等线模型
【例1】．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E分别是AB、AC上两动点，且AD＝CE，连接CD、BE，CD+BE最小值为 ．
变式训练
【变式1-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值是 ．
【变式1-2】．如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（ ）
A．（0，4）B．（0，5）C．D．
考点二:等边三角形中的逆等线模型
【例2】.如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝ °．
变式训练
【变式2-1】．如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为 ．
【变式2-2】．在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值为 ．
考点三：直角三角形中逆等线模型
【例3】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为 ．
变式训练
【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为 ．
【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB＝．当AM+BN的值最小时，CM的长为 ．
考点四：一般三角形中的逆等线模型
【例4】．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 ．
变式训练
【问题背景】（1）如图（1），E为△ABC的边AB上的一点，AE＝BC，过点A作AD∥BC，且AD＝AB，连接DE，求证：△ADE≌△BAC；
【变式迁移】（2）如图（2），在△ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，点E在AB上，且AE＝CD，若点C分别到AB，BD的距离之比为m，求证：；
【拓展创新】（3）如图（3），在△ABC中，∠ABC＝45°，，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且AE＝CD，直接写出CE+BD的最小值.
考点五：正方形中的逆等线模型
【例5】.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、BC上，且AE＝BF，CE与DF交于点P，连接BP，求BP的最小值．
变式训练
【5-1】已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为 ．
考点六：矩形中的逆等线模型
【例6】.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AB、CD上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 ．
变式训练
【6-1】.如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是 ．
【6-2】.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是 ．
考点七：菱形中的逆等线模型
【例7】．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．
变式训练
【7-1】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为 ．
【7-2】．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．

实战演练
1．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE＝AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△ ，BP的最小值为 ．
3.如图，AD为等腰△ABC的高，AB＝AC＝5，BC＝3，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 ．
4．如图，ABCD是⊙O内接矩形，半径r＝2，AB＝2，E，F分别是AC，CD上的动点，且AE＝CF，则BE+BF的最小值是（ ）
A．B．2C．3D．4
5.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．
6．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 ．
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于点D，点E、F分别是线段AB、AD上的动点，且BE＝AF，则BF+CE的最小值为 ．
8．如图，等边△ABC内部有一点D，DB＝3，DC＝4，∠BDC＝150°，在AB、AC上分别有一动点E、F，且AE＝AF，则DE+DF的最小值是（ ）
A．5B．3C．2D．7
9.如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，过点C的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且CD＝BE，则OC的最小值为 ．
10．如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为 ．
逆等线最值模型
大 招
模型介绍
两线段和的最值问题, 大家首先想到的都是 “将军饮马”问题， 即要求的两条线段有公共端点,或者平移后有公共端点.
除了将军饮马问题外，还有一类两线段和的最值问题，两个动点的运动过程中, 两条动线段始终保持着相等, 我们可以在等线段处构造全等, 从而将要求的两条线段拼接到一起，这就是今天咱们要说的逆等线最值问题.
讲逆等线模型之前我们先来一波回忆：
下图大家应该很熟：

D为动点！特殊化证明：DE+DF的和为定值.
一般化证明：DE+DF的和为定值
只要保证DE，DF与腰的夹角相等，总会有：DE+DF的和为定值的结论！
证明思路：
作AG∥FD，HD∥BC易得红蓝全等，黄色平四
∴DE＋DF＝AH＋HG＝AG（定长）
另证易得：△DEA∽△DFB ∵AD＋BD为定值∴DE＋DF为定值
引申：D在线段AB外时差为定值（证明同理）
然后将这个角一路的改变也相当于做腰的平行线！
此图即产生了逆等线，所谓逆等线，逆向也相等！
例题精讲
考点一:等腰三角形中的逆等线模型
【例1】．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E分别是AB、AC上两动点，且AD＝CE，连接CD、BE，CD+BE最小值为 ．

解：过点A作AH⊥BC于H，作AM∥BC且AM＝BC，延长CB并过点M作MN⊥BC于N，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝CH＝BC＝3，
∴AH＝＝4，
∵AM∥BC且AM＝BC，AH⊥BC，
∴四边形AMNH是矩形，
∴NH＝AM＝BC＝6，NC＝NH+CH＝6+3＝9，MN＝AH＝4，
∵AM∥BC，
∴∠MAD＝∠ABC，
∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠MAD，
在△ADM和△CEB中，
，∴△ADM≌△CEB（SAS），
∴BE＝MD，∴CD+BE＝MD+CD≥CM，
∴当C、D、M三点共线时，CD+BE取最小值，
CM＝＝．故答案为：．
变式训练
【变式1-1】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，D为BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且AF＝CE，则BE+CF的最小值是 ．

解：过A作AG⊥AB且使得AG＝BC＝4，连接BF、FG、BG，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵BA⊥AG，∴∠BAG＝90°，
∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴∠GAF＝∠ABD，
∴∠GAF＝∠BCE，
又∵AF＝CE，AG＝CB，∴△AGF≌△CBE（SAS），∴GF＝BE，
∵FB＝FC，∴BE+CF＝GF+BF，
∵当点B、F、G三点共线时，GF+BF最小，
∴GF+BF的最小值时线段BG的长，
∵∠BAG＝90°，AB＝8，AG＝4，
∴BG＝＝4
即BE+CF的最小值为4，故答案为：4．
【变式1-2】．如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（ ）

A．（0，4）B．（0，5）C．D．
解：由题意A（0，），B（﹣3，0），C（3，0），∴AB＝AC＝8，
取点F（3，8），连接CF，EF，BF．
∵C（3，0），∴CF∥OA，∴∠ECF＝∠CAO，
∵AB＝AC，AO⊥BC，∴∠CAO＝∠BAD，∴∠BAD＝∠ECF，
∵CF＝AB＝8，AD＝EC，
∴△ECF≌△DAB（SAS），∴BD＝EF，∴BD+BE＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，∴BD+BE的最小值为线段BF的长，
∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，
∵直线BF的解析式为：y＝x+4，
∴H（0，4），∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），故选：A．
考点二:等边三角形中的逆等线模型
【例2】.如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝ °．

解：如图1，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH（SAS），∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故答案为：105．
变式训练
【变式2-1】．如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为 ．

解：过点C作CD⊥BC，取CD＝AB，连接BD，
∵△ABC是等边三角形，AH是BC边上的高，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAH＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠BAH＝∠ACD，
在△ABP和△CDQ中，
，∴△ABP≌△CDQ（SAS），∴BP＝DQ，∠CQD＝∠APB，
∴当B、Q、D共线时，PB+QB最小，连接BD交AC于Q，
∴∠APB＝∠AQB，∴∠PBQ＝∠QAH＝30°，故答案为：30°．
【变式2-2】．在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，CE＝CF，则AE+AF的最小值为 ．

解：过点C作CG⊥AC，并截取CG＝AC，连接EG，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵CD平分∠ACB．∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝30°，
∵∠ACG＝90°，∴BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACD＝∠BCG，
∴△GCE≌△ACF（SAS），
∴AF＝GE，∴AF+AE＝GE+AE，
当A、G、E三个点在同一直线上时，GE+AE的和最小，即AF+AE最小．
∴AF+AE的值最小为：＝＝4．故答案为：
考点三：直角三角形中逆等线模型
【例3】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D，E分别是AC，AB上的动点，且AD＝BE，连结BD，CE，则BD+CE的最小值为 ．

解：过B作BF∥AC，在平行线上取BF＝AB，连接EF，如上图：
∴∠EBF＝∠A，
∵BF＝AB，BE＝AD，
∴△BEF≌△ADB（SAS）， ∴EF＝BD， ∴BD+CE＝EF+CE，
当C，E，F共线时，EF+CE最小，即BD+CE最小，最小值即为CF的长度，
∵BF∥AC，∠ACB＝90°，
∴∠FBC＝90°，
∴CF＝＝＝2，
∴BD+CE最小为2， 故答案为：2．
变式训练
【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E为AB边上的两个动点，且AD＝BE，连接CD，CE，若AC＝2，则CD+CE的最小值为 ．

解：如图：
构造矩形ACBF，连接DF，EF，CF交AB于点O，
则OF＝OC，OA＝OB，AB＝CF，
∵AD＝BF， ∴OD＝OE，∴四边形CEFD为平行四边形，
∴DF＝CE， ∴CD+CE＝CD+DF≥CF，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，∴CD+CE≥4， 故答案为：4．
【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB＝．当AM+BN的值最小时，CM的长为 ．

解：过点C作CE⊥CB，使得CE＝AC，连接EM，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，
∴△BAN≌△ECM（SAS），
∴BN＝EM，
∴AM+BN＝AM+ME，
∴当A，M，E共线时，AM+BN的值最小，
∵AD∥EC， ∴＝＝，
∴CM＝×1＝2﹣． 故答案为：2﹣．
考点四：一般三角形中逆等线模型
【例4】．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 ．

解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．
∵CK∥AB，∴∠KCE＝∠A，
∵CK＝CA，CE＝AD，∴△CKE≌△CAD，∴CD＝KE，
∵CD+BE＝EK+EB≥BK，
∴CD+BE的最小值为BK的长，
在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8，
∴CG＝BC＝4，BG＝4，
在Rt△KBG中，BK＝＝＝2． 故答案为2．

变式训练
【问题背景】（1）如图（1），E为△ABC的边AB上的一点，AE＝BC，过点A作AD∥BC，且AD＝AB，连接DE，求证：△ADE≌△BAC；
【变式迁移】（2）如图（2），在△ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，点E在AB上，且AE＝CD，若点C分别到AB，BD的距离之比为m，求证：；
【拓展创新】（3）如图（3），在△ABC中，∠ABC＝45°，，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且AE＝CD，直接写出CE+BD的最小值.
（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠B，
在△ADE和△BAC中，
， ∴△ADE≌△BAC（SAS）；
（2）证明：如图2，过点C作CG∥AB交BD的延长线于G，过点C作CT⊥BG于点T，CH⊥AB于点H，连接GH．

∴∠DAG＝∠A，
∵AC＝BC，AE＝CD，∴△CDG≌△AEC（SAS），
∴DG＝CE，CG＝AC，∴CE+BD＝DG+BD＝BG，
∵CA＝CB，∴CG＝CB，
∵CG∥AB，∴S△CGB＝S△CGH，∴BG•CT＝•CG•CH，
∴BG•CT＝BC•CH，∴＝＝m；
（3）解：如图3中，作CG∥AB，使得CG＝AC，连接DG，过点C作CH⊥AB于点H，过点G作GT⊥BA交BA的延长线于点T，连接BG．
∵BC＝3，∠CBH＝45°，∠CHB＝90°，
∴CH＝BH＝3，
∵四边形CGTH是矩形，∴GT＝CH＝3，CG＝AC＝HT＝6，
∴BT＝9，∴BG＝＝＝3，
由（2）可知，△CDG≌△AEC，∴DG＝EC，
∴CE+BD＝DG+DB≥BG＝3，∴CE+BD的最小值为3．
考点五：正方形中逆等线模型
【例5】.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、BC上，且AE＝BF，CE与DF交于点P，连接BP，求BP的最小值．

解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，
∵AE＝BF，∴BE＝CF，
在△BCE和△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠ECB＝∠FDC，
∵∠ECB+∠ECD＝90°，∴∠FDC+∠ECD＝90°，∴∠DPC＝90°，
∴点P在以CD为直径的圆上，
如图，以CD为直径作⊙O，连接OP，OB，
∴OP＝OC＝OD＝3，
在△OPB中，BP＞BO﹣OP，
∴当点P在OB上时，BP的最小值为BO﹣OP，
∵BO＝＝＝3，∴BP的最小值为3﹣3．
变式训练
【5-1】．已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足BE＝CF，连接AE，AF，则AE+AF的最小值为 ．

解：连接DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∵BE＝CF，
∴DF＝CE，
∴△DCE≌△ADF（SAS），
∴DE＝AF，
∴AE+AF＝AE+DE，
作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，
则AE＝A′E，
即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，
当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，
AA′＝2AB＝2，
此时，在Rt△ADA′中，由勾股定理得：DA′＝，
故AE+AF的最小值为． 故答案为：．
考点六：矩形中逆等线模型
【例6】.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为边AB、CD上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 ．

解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，
∵AE＝CF，∴BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE＝BF，
要求BF+CE的最小值，即求DE+CE的最小值，
作D点关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于E，
则DE+CE＝D′E+CE＝CD′的值最小，
∵AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，DD′＝2AD＝6，
∴CD′＝＝＝2，
即BF+CE的最小值为2，故答案为：2．
变式训练
【6-1】如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是 ．

解：如图，作点D关于BC的对称点G，连接BG，在BG上截取BH，使得BH＝AD，连接AH．作HM⊥AB交AB的延长线于M．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DBC，
∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，
∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），∴AF＝EH，
∴AE+AF＝AE+EH≥AH，
在Rt△BCD中，BD＝＝5，
由△BHM∽△DBC，可得＝＝，
∴＝＝，∴BM＝，MH＝，∴AM＝3+＝，
在Rt△AMH中，AH＝＝，
∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值为．故答案为
【6-2】.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝4，E，F分别是BD，BC上的一动点，且BF＝2DE，则AF+2AE的最小值是 ．

解：连接DF，延长AB到T，使得BT＝AB，连接DT．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC∥AD，
∴tan∠DBA＝＝，∠ADE＝∠DBF，∴∠DBA＝30°，∴BD＝2AD，
∵BF＝2DE，∴＝＝2，∴△DBF∽△ADE，∴＝＝2，
∴DF＝2AE，∴AF+2AE＝AF+DF，
∵FB⊥AT，BA＝BT，∴FA＝FT，∴AF+2AE＝DF+FT≥DT，
∵DT＝＝＝4，∴AF+2AE≥4，
∴AF+2AE的最小值为4，故答案为：4．
考点七：菱形中逆等线模型
【例7】.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．

解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，在BT上截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ADC＝30°，
∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，
∴△ADF≌△TBE（SAS），
∴AF＝ET，
∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，
∴AT＝＝＝2，
∴AE+AF＝AE+ET，
∵AE+ET≥AT，
∴AE+AF≥2，
∴AE+AF的最小值为2，故答案为2．
变式训练
【7-1】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为 ．

解：如图，连接MN、AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝AD＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，
∴△ADC和△ABC为等边三角形，∴AC＝DC，∠ACD＝60°，
∵AM＝DN，∴△AMC≌△DNC（SAS），
∴CM＝CN，∠DCN＝∠ACM，
∴∠MCN＝∠MCA+∠ACN＝∠DCN+∠ACN＝∠ACD＝60°，
∴△CMN为等边三角形，
∵点F是CM上靠近点C的四等分点，∴S△CFN＝S△CMN，
∴△CMN的面积最小时，△CFN的面积也最小，
∵S△CMN＝，
∴当CN和CM长度最短时，S△CMN的面积最小，即CN⊥AD，CM⊥AB时△CFN的面积最小，
取BE的中点为点G，连接MG，
∵△ABC为等边三角形，CM⊥AB，∴点M是AB的中点，
∴AE＝BE，∴MG＝AE＝BE，∴BE+AE＝AE+AE＝AE，
∵点E是CM上的动点，∠AME＝90°，∴AE的最小值即为AM的长度，
∵CD＝4，∴AM＝AB＝2，∴（BE+AE）最小值＝×2＝3，故答案为：3．
【7-2】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．
解：（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝6，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
在Rt△ADH中，
DH＝AD•sin∠DAH＝6×＝3，
AH＝AD•cs∠DAH＝6×＝3，
∴BD＝＝＝6；
（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：
菱形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，
在Rt△BCM中，BM＝BC•cs∠ABC＝6×＝3，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠DBA＝ABC＝30°，
在Rt△BEM中，
ME＝BM•tan∠DBM＝3×＝，
BE＝＝＝2，
∵BE＝DF，
∴DF＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝4，
在Rt△AFN中，
∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴FN＝AF•sin∠FAN＝4×＝2，
AN＝AF•cs∠FAN＝4×＝2，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，
∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN
＝EM•BM+（EM+FN）•MN﹣AN•FN
＝3+（+2）×5﹣2×2
＝+﹣2
＝7；
②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值是最小，
理由：设DF＝x，则BE＝DF＝x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，
过点E作EY⊥CH于点Y，作EM⊥AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：
∴EY∥FG∥AB，FN∥CH，
∴四边形EMHY、FNHG是矩形，
∴FN＝GH，FG＝NH，EY＝MH，EM＝YH，
由①可知：ME＝BE＝x，
BM＝BE＝x，
AN＝AF＝（AD﹣DF）＝3﹣x，
FN＝AF＝，
CH＝BC＝3，BH＝BC＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝6﹣x，
AH＝AB﹣BH＝3，
YH＝ME＝x，
GH＝FN＝，
EY＝MH＝BM﹣BH＝x﹣3，
∴CY＝CH﹣YH＝3﹣x，
FG＝NH＝AN+AH＝6﹣，CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣x﹣x＝9﹣2x，
∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN
＝EM•BM+（EM+FN）•MN﹣AN•FN
＝x×x+（x+）•（9﹣2x）﹣（3﹣x）•
＝x2﹣x+9
＝（x﹣3）2+，
∵＞0，
∴当x＝3时，四边形ABEF的面积取得最小值，
方法一：CE+CF＝+•
＝+
＝+×
＝+×
＝+，
∵（x﹣3）2≥0，当且仅当x＝3时，（x﹣3）2＝0，
∴CE+CF＝+≥12，
当且仅当x＝3时，CE+CF＝12，即当x＝3时，CE+CF的最小值为12，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为12．
方法二：
如图：将△BCD绕点B逆时针旋转60°至△BAG，连接CG，
在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，
∵＝＝，∠CDF＝∠GBE＝60°，
∴△BEG∽△DFC，
∴＝＝＝，即GE＝CF，
∴CE+CF＝CE+GE≥CG＝12，
即当且仅当点C、E、G三点共线时，CE+CF的值最小，
此时点E为菱形对角线的交点，BD中点，BE＝3，DF＝3，
∴当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值也最小，最小值为12．
解法二：如图，在BD上截取DM，使得DM＝2，在DA上取点F，连接DF，使得△DFM∽△BEC．
则有CE＝FM，作点M关于AD阿德对称点M′，
∴CE+CF＝FM+CF＝（CF+FM）＝（CF+FM′），
∴C，F，M′共线时，最小，
此时DF＝3，可得CE+CF的值也最小，最小值为12．
实战演练
1．如图，在边长为的等边△ABC中，动点D，E分别在BC，AC边上，且保持AE＝CD，连接BE，AD，相交于点P，则CP的最小值为 ．

解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵AE＝CD
∴BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠APE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠APE＝60°，
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆弧上运动，如图，
连接OC交⊙O于N，则OC⊥AB，
根据圆周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF＝AB＝，
∴OA＝＝2，
∴OC＝2OA＝4，
当点P与N重合时，CP的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，故答案为：2．
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE＝AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△ ，BP的最小值为 ．

解：如图，过点E作EK⊥AB于K，取AE的中点J，连接CJ，JK，CK．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠EKB＝90°，
∴∠KEB＝∠KBE＝45°，
∴EK＝EK，∴BE＝BK，∵BE＝AD，∴AD＝BK，
在△CAD和△CBK中，，
∴△CAD≌△CBK（SAS），∴∠ACD＝∠BCK，
∵∠ACE＝∠AKE＝90°，AJ＝JE，∴CJ＝JA＝JE＝JK，
∴A，C，E，K四点共圆，∴∠EAK＝∠ECK，∴∠DAP＝∠ACD，
∵∠ADP＝∠ADC，∴△CAD∽△APD，
∵∠CPE＝∠ACP+∠CAP＝∠EAB+∠CAE＝45°，∴∠APC＝135°，
在AC的右左侧作等腰直角三角形ACO，∠AOC＝90°，OA＝OC，连接OP，OB，过点O作OH⊥BC交BC的延长线于H．则点P在以O为圆心，OA为半径的圆上运动，
由题意OA＝OC＝AC＝2，OH＝CH＝OC＝2，BH＝CH+BC＝6，
∴OB＝＝＝2，
∵OP＝OA＝2，PB≥OB﹣OP，∴BP≥2﹣2，∴BP的最小值为2﹣2．
故答案为：APD，2﹣2．
3.如图，AD为等腰△ABC的高，AB＝AC＝5，BC＝3，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 ．

解：作CG⊥BC于C，取CG＝AC，
∵AD是高，∴∠ADC＝∠GCD＝90°，
∴AD∥CG，∴∠CAE＝∠ACG，
∵AE＝CF，AC＝CG，∴△AEC≌△CFG（SAS），
∴CE＝FG，∴BF+CE＝BF+FG，
∴点B、F、G三点共线时，BF+FG的最小值为BG，
∵BC＝3，CG＝5，
由勾股定理得，BG＝，故答案为：．
4．如图，ABCD是⊙O内接矩形，半径r＝2，AB＝2，E，F分别是AC，CD上的动点，且AE＝CF，则BE+BF的最小值是（ ）

A．B．2C．3D．4
解：作O关于CD的对称点H，连接OH，交CD于G，过H作直线BC的垂线，垂足为M，连接BH交CD于F，连接OF，此时BF+OF为最小，
∴∠ABC＝90°， ∴AC为⊙O的直径，
∵半径r＝2，AB＝2，∴OC＝AB＝OA＝OB＝2， ∴△OAB是等边三角形，
∵ABCD是⊙O内接矩形，∴AB∥CD，∴∠OCD＝∠BAO，
∵AB＝2，AC＝4，
由勾股定理得：BC＝＝2，
∵AE＝CF，∴△ABE≌△COF，∴BE＝OF，∴BE+BF＝OF+BF，
由对称性得：OF＝FH，OG＝GH，∴BE+BF＝BF+FH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥CD，∴CG＝DG＝CD＝AB＝1，
∵∠CGH＝∠GCM＝∠M＝90°，∴四边形GCMH是矩形，
∴CM＝GH＝BC＝×＝，HM＝CG＝1，
在Rt△BHM中，由勾股定理得：BH＝＝＝2，
即BF+BE的最小值为2；故选：B．
5.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝3，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．

解：如图，在BC的下方作∠CBT＝30°，使得BT＝AD，连接ET，AT，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，
∠ADF＝，
在△ADF与△TBE中，
，∴△ADF≌△TBE（SAS），∴AF＝ET，
∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，
AB＝AD＝BT＝3，∴AT＝，∴AE+AF＝AE+ET，
∵AE+ET≥AT，∴AE+AF≥3，∴AE+AF的最小值为3，故答案为：3
6．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 ．
解：∵图象过点（0，2），
即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，
此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝1，
过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：
∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，
∴△NBE≌△CAD（SAS），
∴NE＝CD，
又∵y＝AE+CD，
∴y＝AE+CD＝AE+NE，
当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：
AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，
∴AF＝AC•sin45°＝，
\又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE ∴△NBE∽△AFE
∴，即，解得：x＝，
∴图象最低点的横坐标为：﹣1．故答案为：．
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于点D，点E、F分别是线段AB、AD上的动点，且BE＝AF，则BF+CE的最小值为 ．

解：过点B作BG⊥BC，使BG＝AB，连接GE，GC，
∵AD⊥BC∴BG∥AD，∴∠GBA＝∠BAD，
∵AB＝BG，AF＝BE，∴△ABF≌△BGE（SAS），∴GE＝BF，
∴BF+CE＝GE+CF≥CG，∴当G、E、C三点共线时，BF+CE的值最小，
∵AB＝AC＝10，∴BG＝10，∵BC＝12，在Rt△BCG中，CG＝2，故答案为：2．
8．如图，等边△ABC内部有一点D，DB＝3，DC＝4，∠BDC＝150°，在AB、AC上分别有一动点E、F，且AE＝AF，则DE+DF的最小值是（ ）

A．5B．3C．2D．7
解：如图，过C作HC⊥CD于C，使CH＝BD，连接DH，FH，
∴∠HCA+∠ACD＝90°，
∵∠BDC＝150°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣150°＝30°，
∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB），
而△ABC为等边三角形，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，AB＝AC， ∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
∴∠HCA＝∠ABD，
∵AE＝AF， ∴BE＝CF，
在△BED和△FCH中，
， ∴△BED≌△CFH（SAS），
∴FH＝DE， ∴DE+DF＝FH+DF，
∴当DE+DF的最小时，FH+DF最小，
∴当D、F、H在同一条直线时，DE+DF最小，
在Rt△DCH中，CH＝3，DC＝4，
∴DH＝＝5， DE+DF的最小值是5． 故选：A．
9.如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，过点C的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且CD＝BE，则OC的最小值为 ．

解：连接OC，OE，OD，过点E作EH⊥AC于H．设CD＝BE＝x．
∵∠DOE＝2∠ACB＝120°，OD＝OE＝OC，
∴DE＝OC，
∴当DE最小时，OC的值最小，
在Rt△CEH中，∠EHC＝90°，EC＝6﹣x，∠ECH＝60°，
∴CH＝EC＝3﹣x，EH＝EC•sin60°＝3﹣x，
∴DH＝CD﹣CH＝x﹣（3﹣x）＝x﹣3，
∴DE＝＝＝＝，
∵3＞0，∴x＝3时，DE的值最小，最小值为3，
∴OC的最小值＝DE＝，故答案为：．
10．如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为 ．

解：如右上图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠MHB＝90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝DM＝BH＝1，AB＝MH＝1，
∴EH＝1﹣2x，
∴ME+2AF＝+2＝+，
欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图），
作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值＝KJ′，
∵J′（0，﹣4），K（1，1），
∴KJ′＝＝，
∴ME+2AF的最小值为， 故答案为．