四川凉山州西昌市2025-2026学年高一下学期期中数学试题（含解析）

这是一份四川凉山州西昌市2025-2026学年高一下学期期中数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，试题卷4页，答题卡6页.全卷满分为150分，考试时间120分钟.
2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
4．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
5．考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A. 2B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求共轭复数.
【详解】，则.
2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【详解】若两个向量、共线，则有，
而基底要求两个不共线的向量构成，
对于A，零向量与任何向量都共线，因此不能作为基底，故A错误；
对于B，，两向量共线，不能作为基底，故B错误；
对于C，，两向量共线，不能作为基底，故C错误；
对于D，，两向量不共线，可以作为基底，故D正确．
3. 在中，已知则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理，通过计算即可得到答案.
【详解】因为在中有，由余弦定理得：
所以
故选：B
本题考查余弦定理的简单运用，属基础题.
4. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【详解】，
因为与共线，故，故.
5. 在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】依题意，在中，，，，
则的面积为.
故选：C.
6. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的定义计算即得.
【详解】∵，∴，
所以在上的投影向量为：.
故选：A.
7. 某公司要测量一水塔的高度，测量人员在地面选择了，两个观测点，且，，三点在同一直线上，如图所示，在处测得该水塔顶端的仰角为，在处测得该水塔顶端的仰角为.若，，则水塔的高度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，结合正弦定理可得，进而在中解三角形即可求出结果.
【详解】由题意可知：，在中，结合正弦定理可得，又因为，所以，在中，，则，
故选：B
8. 已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】结合向量线性运算用表示，再利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由G为的重心，得，则GA→+GA→+AB→+GA→+AC→=0→，
整理得，而AB⃗=xAM⃗,AC⃗=yAN⃗，
因此AG→=x3AM→+y3AN→，而M,G,N 共线，则，
于是1x+1y=(x3+y3)(1x+1y)=23+13(xy+yx)≥23+13·2xy·yx=43，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.
9. 下列各式的值为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意结合三角恒等变换逐项分析运算即可判断.
【详解】对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误；
故选：AB.
10. 在中，（ ）
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若是锐角，，则为锐角三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦定理求得，得到，可判定A正确；由，得到或，得到为等腰或直角三角形，可判定B错误；由，结合，得到，判定C正确；由，得到，得到，得到，可判定D正确.
【详解】对于A，设的外接圆的半径为，
若，由正弦定理得，则，所以，所以A正确；
对于B中，因为，可得，且，
若，可得或，即或，
所以为等腰或直角三角形，所以B错误；
对于C中，因为，可得，
若，则，可得，即为钝角，
所以为钝角三角形，所以C正确；
对于D中，因为，可得
若，可得，
由函数在上为单调递增函数，所以，即，
又因为，则，所以为锐角三角形，所以D正确.
故选：ACD.
11. 已知复数在复平面上对应的点为，复数满足，则下列结论中正确的是（ ）.
A. 点的坐标为B.
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，以及共轭复数的定义，即可判断AB；根据复数减法的几何意义确定复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求两点间距离的最值，即可判断CD.
【详解】由在复平面内对应的点为，故A正确；
又，所以z1=22+12=5，故B正确；
设，，所以z2−i=x+y−1i=x2+y−12=1 ，
所以，所以复数在复平面内对应的点，在以圆心为圆心，半径为的圆上，
又z2−z1=x−2+y+1i=x−22+y+12，
所以表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即，
又P1C=0−22+1+12=22，
所以的最大值为P1C+r=22+1 ，故C正确；
所以的最小值为P1C−r=22−1 ，故D错误；
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设为虚数单位，则_________．
【答案】
【解析】
【详解】由题可得：1−i1+i=1−i1−i1+i1−i=1−2i+i21−i2=−2i2=−i ，
1−i1+i=−i=0+−12=1 .
13. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为______．
【答案】##
【解析】
【分析】余弦定理结合已知条件直接求解即可．
【详解】解：因为，
所以，
因此，
又因为，所以.
故答案为:
14. 函数，设为函数的最小正周期，，且函数在上单调递增，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用两角和的正弦公式对函数化简，得到，再由求出​，最后根据正弦函数的递增区间列出不等式求解即得的取值范围．
【详解】因fx=sinωx+3φ−2sinφcsωx+2φ=sinωx+2φ+φ−2sinφcsωx+2φ
=sinωx+2φcsφ+csωx+2φsinφ−2sinφcsωx+2φ
=sinωx+2φcsφ−csωx+2φsinφ
=sinωx+2φ−φ=sinωx+φ，
则，于是fT4=f(π2ω)=sinω⋅π2ω+φ=12，即sinπ2+φ=csφ=12，
因为，所以，因此，
由，得，
又因函数在上单调递增，则，解得，
又，所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
（1）已知，，求的值；
（2）已知，，求，的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【小问1详解】
由，，得，
所以．
【小问2详解】
，
．
16. 已知向量，，．
（1）若，求；
（2）若，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量平行的充要条件，求出，再利用向量数量积的坐标运算求解；
（2）根据两向量垂直数量积为求出，再利用向量夹角余弦值的公式求解；
【小问1详解】
因为，所以，即，所以
所以；
【小问2详解】
因为，所以，所以，
所以，而，
所以.
17. 在中，角A，B所对的边长分别为a，b，若．
（1）求角A的大小；
（2）若为锐角三角形，，求面积S的最大值．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理求解.
（2）利用正弦定理、三角形面积公式，结合和差角的正弦公式、二倍角的余弦公式求出最大值.
【小问1详解】
在中，由和正弦定理，可得2bsinA=2b ，
解得，而，
所以或.
【小问2详解】
由（1）及为锐角三角形，得，，
令B=3π8+θ,C=3π8−θ ，−π8