2024-2025学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省凉山州高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足zi=1+ 3i(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A. 1B. −1C. − 3D. 3
2.某校高一有1000名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，语文教研组要求高一学生从四大名著中选一本阅读，其中有400人选《三国演义》，250人选《水浒传》，250人选《西游记》，100人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取100名学生分享他们的读后感，则选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为( )
A. 25B. 30C. 35D. 50
3.已知平面向量a=(−3,4)，b=(1,2)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. (−35,45)B. (−3 55,4 55)C. (15,25)D. ( 55,2 55)
4.已知四棱锥P−ABCD的高为2，其底面ABCD水平放置时的斜二测画法直观图A′B′C′D′为平行四边形，如图所示，已知A′B′=C′D′=3，A′D′=B′C′=1，则四棱锥P−ABCD的体积为( )
A. 2B. 4C. 3 2D. 12
5.若点O是△ABC的外心，AB= 6，则AC⋅BO+CB⋅BO=( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
6.已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a：b：c=5：7：8，则此三角形的最大角与最小角之和为( )
A. 2π3B. 3π5C. 3π4D. 5π6
7.若将函数f(x)=cs(2x+π6)的图象向左或右平移φ个单位，所得的图象与y=f(x)的图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
8.已知圆锥PO的侧面面积为 15π，母线长为 5，则圆锥PO的外接球的表面积为( )
A. 25π4B. 25π2C. 25πD. 33π2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知△ABC中，点D(1,2)，E(2,0)，F(3,2)分别为AB，BC，CA的中点，则( )
A. EF=(1,2)B. CF=(1,−2)
C. 点A的坐标为(2,4)D. △ABF的面积为4
10.某中学冬季田径运动会中，高一男子跳高比赛组的前七名成绩(单位：厘米)为：145，155，132，135，140，130，136，则( )
A. 该组数据的极差是35B. 该组数据的中位数是136
C. 该组数据的40%分位数是135D. 该组数据的平均数为139
11.记sinx+csy=a，csx+siny=b，则( )
A. a的取值范围为[−2,2]B. 若a=0，则b=0
C. a+b的最小值为−2 2D. 若a= 3，则b的最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z满足|z+i|=1，则|z|的最大值为______．
13.样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为______．
14.如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得BC=20m，∠ABC=75°，∠ACB=60°，则A，B两点间的距离为______m.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在边长为1的菱形ABCD中，∠A=π3，DE=2EC，设AB=a，AD=b．
(1)用a，b，表示BE，并求|BE|；
(2)若BF=tBC，AF⊥BE，求实数t的值．
16.(本小题15分)
某风景区千峰叠翠，万派环宋，山势雄奇，胜境遍布，其山脊高出4000米的山峰就有58座迂回缭绕于高山雾海之中，忽隐忽现，如苍龙遨游九天，其峰群之集中，规模之宏大，造型之奇异和离城市之近尚属罕见，是得天独厚的自然风景区.现为更好地提升旅游品质，该风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求x的值；
(2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数和平均数(每组样本平均数用矩形底边中点的横坐标代替，得数保留两位小数)．
17.(本小题15分)
已知向量a=(sinx,csx)，b=( 3csx,csx)，设函数f(x)=a⋅b−12，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)设x∈(0,π)，且tan(π6−α)=12，5f(α)=6f(x)，求x的值．
18.(本小题17分)
已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且sinA=2sinB，2−bcsC=ccsB．
(1)求b；
(2)若c=2，求△ABC的面积；
(3)若△ABC为锐角三角形，且2BD=DA，求|CD|的取值范围．
19.(本小题17分)
如图1，图2，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AB的中点．
(1)图1中求证：AC1//平面MB1C；
(2)图1中求二面角A1−CM−A的正切值；
(3)图2中，已知AB=2，N为B1C1的中点，点P是线段D1N上的动点，过MC且与DP垂直的截面α与DP交于点E，求三棱锥P−MCE的体积的最小值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：因为zi=1+ 3i，所以z=1+ 3ii=(1+ 3i)⋅(−i)i⋅(−i)= 3−i，
所以复数z的虚部为：−1．
故选：B．
先根据复数的除法运算确定复数z，再根据复数虚部的概念确定复数的虚部．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由分层随机抽样的定义可知，选《西游记》或《红楼梦》的学生抽取的人数为100×250+1001000=35．
故选：C．
由分层抽样的相关知识求解即可．
本题主要考查了分层随机抽样的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为向量a=(−3,4)，b=(1,2)，
所以a⋅b=−3×1+4×2=5，|a|= (−3)2+42=5，
所以向量b在向量a上的投影向量为a⋅ba2a=15a=(−35,45)．
故选：A．
根据向量的坐标运算求|a|,a⋅b，再结合投影向量的定义运算求解．
本题主要考查平面向量的投影向量，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知，四边形ABCD为矩形，AB=CD=3，AD=BC=2，
所以矩形ABCD的面积为3×2=6，
所以四棱锥P−ABCD的体积为13×6×2=4．
故选：B．
由直观图可得到底面ABCD为矩形，同时可求矩形ABCD的面积，然后利用锥体体积公式计算可得答案．
本题考查斜二测法的应用，四棱锥的体积的求解，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：已知点O是△ABC的外心，AB= 6，
取AB的中点M，连接OM，
因为点O是△ABC的外心，
所以OM⊥AB，
所以OM⋅AB=0．
因为AC⋅BO+CB⋅BO=(AC+CB)⋅BO=AB⋅BO
=AB⋅(BM+MO)=AB⋅BM+AB⋅MO=AB⋅(−12AB)=−12AB2=−12|AB|2
=−12×( 6)2=−3．
故选：D．
取AB的中点M，连接OM，由外心的性质可知OM⊥AB，即OM⋅AB=0，利用向量的运算法则将AC⋅BO+CB⋅BO 转化为−12|AB|2即可得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
6.【答案】A
【解析】解：根据a：b：c=5：7：8，设a=5k，b=7k，c=8k(k>0)，
由余弦定理得csB=(5k)2+(8k)2−(7k)22×5k×8k=12，结合0