河北张家口市部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末巩固训练数学试题（含解析）

这是一份河北张家口市部分学校2025-2026学年高二下学期7月期末巩固训练数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了本试卷共150分，请将各题答案填在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】易知集合代表所有正整数，故.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解为，结合充分条件，必要条件的判定方法，即可求解；
【详解】由，可得，解得或，即，所以充分性成立；
反之：若，可得，即，所以必要性成立，
所以“”是“”的充要条件.
3. 已知，则的最小值为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得，，等号成立时，
故的最小值为
4. 样本数据，，…，（，，，…，不全相等）的散点图中，所有样本点都落在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A. 1B. C. D. -1
【答案】A
【解析】
【详解】所有样本点都落在直线上,斜率,所以这组样本数据正相关且相关系数为1.
5. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】对函数（）求导，得，则，
已知切点为，所以切线方程，整理得.
6. 某中学通过随机询问120名学生是否爱好阅读，得到如下列联表：
已知，，根据小概率的独立性检验，以下结论正确的是（ ）
A. 爱好阅读与性别有关
B. 爱好阅读与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C. 爱好阅读与性别无关
D. 爱好阅读与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
【答案】C
【解析】
【详解】计算卡方统计量：由列联表得，，，，，代入公式得，
.
已知，由于，
根据小概率的独立性检验，没有充分证据拒绝“爱好阅读与性别无关”的原假设，即认为爱好阅读与性别无关.
对选项逐一判断：
A、B：因，无法得出“爱好阅读与性别有关”的结论，均错误.
C：在的检验标准下，认为爱好阅读与性别无关，正确.
D：只有拒绝原假设、得出“有关”结论时，才能说犯错误概率不超过；“无关”的结论不能表述为“犯错误的概率不超过0.001”，错误.
7. 已知函数的最大值为1，则（ ）
A. 1B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】求导，设时，有最大值，进而可得，然后解得或，结合题意可得，再检验即可．
【详解】，
设时，有最大值，
所以，
整理得：，
所以或，
所以或，
当时，，不符合题意；
所以，则，，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故是的最大值，符合题意，
综上，．
8. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的3个红球和2个蓝球，现从中无放回地随机取球，每次取1个，直到把红球全部取出来为止．设随机变量为取球的次数，则的数学期望（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件列出的分布列，再求其期望.
【详解】的取值可能为.
且，，.
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设A，B为两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，只有事件独立时，才有成立；对于B，根据和事件的求解公式即可判断；对于C，由条件概率公式即可判断；对于D，由概率乘法公式即可判断．
【详解】对于A，因只有事件独立时才有成立，
而事件不能判断是否独立，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因,,
只有在时，才有，
依题不能判断是否成立，故C项错误；
对于D，因，而，，
故有，故D正确．
10. 已知随机变量服从正态分布，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 该正态曲线关于直线对称B.
C. D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【详解】因为，所以，故A正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，故C错误；
因为，所以，故D正确.
11. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，，，关于点对称，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：由的对称中心，推导出的对称中心，即可得解；对于B：对进行变形，并两边求导，结合，得到的对称轴，再结合，即可得解；对于C：结合的轴对称与中心对称关系，得到的周期，并推导出的周期，再结合，即可得解；对于D：根据已有信息，推导出，则，再结合函数的周期性，分别求和即可.
【详解】对于A：令，则关于点中心对称，则，
即，则关于中心对称，则，故A正确；
对于B：由，可得，两边同时求导得，，又因为，
故有，故关于中心对称，则关于轴对称，故，
又因为，令，得，
故，故B错误；
对于C：由A可知，关于中心对称，即，由B可知关于轴对称，即，
因此有①，可推导出②，用②式①式，得，即是以为周期的函数.
因为，可得，，
，故也是以为周期的函数，
则，
又因为，故，又因为，
因此，
故，故C正确.
对于D：由前分析，可知与都是以为周期的函数，令，则也是以为周期的函数.
因为关于轴对称，故有，
故由可得，
故有，因此有.
由B可知，，由C可知，，，则，
故，因此.
因为为以为周期的函数，令，则也是以为周期的函数.
因为关于轴对称，且，故，
因此，
，
因此，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 新高考采用“3+1+2”模式，其中“3”为统考科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理或历史中选一科；“2”为再选科目，考生从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择2科，则不同的选择方案共有_______种．（用数字作答）
【答案】12
【解析】
【分析】利用分步计数原理求解选择方案的方法数.
【详解】第一步：考生从物理或历史中选一科，有种方法；
第二步：从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择2科，有种方法；
所以，不同的选择方案共有种.
13. 展开式中项的系数为_______．（用数字作答）
【答案】15
【解析】
【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解.
【详解】根据二项式定理，的展开式通项为 ，
所以的展开式中，含的项为，
所以展开式中含的项的系数为15.
14. 甲、乙、丙、丁、戊五人分别参加数学、物理、化学、生物、信息技术五门不同学科竞赛，每人仅参加一科，每科均有一人参加．A、B、C、D、E五位裁判各说了三句话，每位裁判的三句话均恰好两真一假．裁判表述如下：
裁判A：①甲参加数学；②乙不参加物理；③丙参加生物．
裁判B：①丁参加信息技术；②戊参加生物；③丙不参加生物．
裁判C：①甲不参加物理；②乙参加化学；③丁不参加信息技术．
裁判D：①乙参加生物；②丙参加物理；③戊不参加数学．
裁判E：①甲参加信息技术；②乙不参加数学；③丁参加化学．
结合全部条件推理，丙的参赛科目为_______．
【答案】物理
【解析】
【分析】利用A的③,和B的③相互矛盾来假设验证矛盾，进而推导出正确结论.
【详解】由A的③“丙参加生物”和B的③丙不参加生物，互为矛盾，必定一真一假，假设B的③为假,则A的③“丙参加生物为真，此时裁判D的①乙参加生物和D的②丙参加物理均为假，不符合题意中每个裁判的三句话恰为两真一假，所以假设不成立；
所以可得A的③为假，那么裁判A的①甲参加数学；②乙不参加物理均为真，所以裁判E的①甲参加信息技术为假，③丁参加化学为真，那么裁判B的①丁参加信息技术为假，②戊参加生物为真，易可得裁判D的①乙参加生物为假，所以裁判D的②丙参加物理为真.
所以丙参加物理.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某中学运动会男子米接力项目，近10届（第1届到第10届）冠军成绩（单位：秒）依次为：48.1，47.9，47.7，47.5，47.3，47.1，47.1，46.8，46.5，46.2．
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在47.5以上的概率；
（3）若比赛成绩关于届数的经验回归方程为，预测第12届的冠军成绩．
【答案】（1）极差为1.9，中位数为47.2
（2）
（3）45.92秒．
【解析】
【分析】（1）首先明确极差是最大值减最小值，中位数是数据排序后中间位置的数，因为数据已经按顺序给出，所以直接找到最大值、最小值，以及第5和第6个数据计算中位数即可.
（2）先统计出47.5以上的数据个数和总数据个数，因为是古典概型，所以用组合数分别计算总选法数和满足“恰有2个数据在47.5以上”的选法数，再代入古典概型概率公式计算.
（3）先计算届数的平均值和成绩的平均值，因为经验回归直线过样本中心点，所以将样本中心点代入回归方程求出，再将代入回归方程得到预测值.
【小问1详解】
极差为，
中位数为．
【小问2详解】
从10个数据中任选3个，选法总数为，
47.5以上的数据有3个，选3个恰有2个数据在47.5以上的选法总数为，
所以恰有2个数据在47.5以上的概率．
【小问3详解】
，
．
因为回归方程过样本中心点，所以，解得，
所以经验回归方程为．
当时，，所以第12届的冠军成绩约为45.92秒．
16. 已知二项式（）的展开式中常数项为40．
（1）求的值；
（2）求展开式所有项系数之和；
（3）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）
（2）243 （3），
【解析】
【分析】（1）应用二项式定理写出展开式通项，结合已知，设，，，从而有，即可求；
（2）应用赋值法求所有项系数之和；
（3）应用不等式法求展开式中系数最大的项.
【小问1详解】
展开式的通项（）．
令，n、r为非负整数，且，所以为3的倍数，为5的倍数，
设，，，则，所以，故；
【小问2详解】
令，得所有项的系数之和为；
【小问3详解】
当时，（）．
设时系数最大，则，解得，又，则，2，
所以系数最大的项有两项，分别是，.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由（1）得，当时，．
要证，即证，即证恒成立．
令（），则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立．
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，然后分、两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（2）构造函数，通过导函数求其最小值，最小值大于零即可.
【小问1详解】
的定义域为，．
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减．
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
略
18. 设正整数，甲、乙两人进行轮流投篮练习（甲先投），单次投篮甲命中的概率为，乙命中的概率为，各次投篮相互独立．约定如下规则：某一方首次投中则本轮结束，该方得1分，另一方得0分；若连续次投篮（甲、乙交替）均未投中，则本轮结束，双方各得0分．共进行轮投篮练习，每轮独立重复上述规则，最终总得分高者获胜．记为单轮结束时投篮的总次数．
（1）当时，求的分布列与数学期望；
（2）设为正整数，当时，证明：；
（3）当，时，求甲最终获胜的概率．
【答案】（1）的分布列为
数学期望2 （2）证明：根据条件概率公式可知，．
当，即时，表示前次投篮均未投中，其中甲投篮次，乙投篮次，则．
表示前次投篮均未投中，其中甲投篮次，乙投篮次，
，
所以．
（3）
【解析】
【分析】（1）分类讨论单次投篮终止轮次的四种互斥情形，利用独立事件乘法公式计算各取值对应概率得到分布列，再结合数学期望定义式代入求值.
（2）依据条件概率公式拆分式子，结合连续投篮全部未命中的独立事件概率公式分别表示与，作比值化简完成证明.
（3）先算出单轮甲得分、乙得分、双方零分的三类互斥概率，再分类求出三轮后甲总分高于乙的全部得分组合的概率，求和得到甲最终获胜的总概率.
【小问1详解】
的可能取值为1，2，3，4．
表示第一次甲命中，，
表示第一次甲未命中，第二次乙命中，，
表示第一次甲未命中，第二次乙未命中，第三次甲命中，，
表示前三次均未命中，第四次投篮后结束（无论是否命中），，
所以的分布列为
数学期望．
【小问2详解】
略
【小问3详解】
当，时，
单轮比赛中甲得1分，即第1次甲命中或第3次甲命中，(甲1分，乙0分)，
乙得1分，即第2次乙命中或第4次乙命中，(乙1分，甲0分)，
甲、乙均为0分的概率(甲0分，乙0分)．
设3轮比赛中甲得分为，乙得分为．
当，时，表示3轮比赛甲全得分，，
当，时，表示3轮比赛甲2轮得分，乙1轮得分，，
当，时，表示3轮比赛甲2轮得分，1轮双方0分，，
当，时，表示3轮比赛甲1轮得分，另外两轮双方0分，，
所以甲最终获胜的概率．
19. 已知函数，．
（1）若，证明：当时，；
（2）若，证明：在上存在唯一一个零点，且；
（3）若时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明：当时，，则，
令，可得，
所以函数在上单调递减，所以当时，，
所以．
（2）证明：方法一：由函数，其中，且，
可得，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，可得，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
又因为，当时，，，，所以，
所以存在，使得，即，可得．
要证，需证，即证．
令，可得，
令，可得，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增．
因为，所以，所以，即．
方法二：当时，，
则在上的零点等于函数的零点，
由，令，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，且，所以，
当时，，所以存在，使得，
因为，所以，
且．
设，可得，
所以函数在上单调递增，可得，
所以，所以，即．
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，令，求得，得到的单调性，得到，即可得证；
（2）方法一：求得， 令，得到，得到单调性，得到存在，使得，得出的单调性，得到存在，使得，得到．转化为证明构造函数，利用导数求得单调性，结合，即可得证；
方法二：根据题意，即为在上的零点等于函数的零点，求得，得到的单调性，存在，使得，得到，构造函数，利用导数求得的单调性，结合，即可得证；
（3）根据题意，转化为，构造函数，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：当时，，即，
所以，
令，，
可得，且，
当时，，根据在上连续，所以存在，
当时，，单调递减，，与题设矛盾．
当时，由第（1）知，所以（），
构造，
可得，由，得，
又由时，，所以，
所以在上单调递增，可得，
所以，即恒成立，
综上可得，实数的取值范围为．
阅读
性别
合计
男
女
爱好
40
20
60
不爱好
25
35
60
合计
65
55
120
1
2
3
4
1
2
3
4