河北省张家口市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份河北省张家口市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了求事件发生的概率等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，即，解得，
所以，又，
所以.
故选：A
2. 某研究中心对治疗哮喘的两种药物的疗效是否有差异进行实验，并运用列联表进行检验，零假设：两种药物的疗效无差异，计算出，根据下面的小概率值的独立性检验表，认为“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
故“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过.
故选：A
3. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 135C. D. 1215
【答案】B
【解析】对有，
则，故的系数为.
故选：B.
4. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
5. 求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如，12的正整数因数只需分别从，中各选一个元素相乘即可，则2025的正整数因数的个数为（ ）
A. 8B. 10C. 15D. 16
【答案】C
【解析】因为，
所以的正整数因数只需分别从，中各选一个元素相乘即可，
有种取法，即有个正整数因数．
故选：C．
6. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以当时，，
所以在上单调递增，
因为，
所以，即．
故选：B
7. 过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，则的值为（ ）
A. eB. eC. 3D. 3
【答案】C
【解析】由，得，
设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为.
因为点在切线上，所以，即，
结合题意，则是上述方程的根，所以根据韦达定理得.
故选：.
8. 已知不等式（其中）的解集中恰有三个正整数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设函数，，
因为，令，则或，
则时，，或时，，，
在上递增，在上递减，
当时，至多一个整数根；
当时，在内的解集中仅有三个整数，
根据图象，只需，，
所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于一元线性回归模型的叙述正确的有（ ）
A. 经验回归直线经过样本中心点，点可以不在样本中
B. 对于经验回归直线，增加一个单位，平均增加个单位
C. 残差平方和越小，模型的拟合效果越差
D. 若相关系数，则与的相关程度很强
【答案】AB
【解析】A选项，回归直线一定通过样本点的中心，但样本点的中心可以不在样本中，A选项正确；
B选项，由及回归直线的性质，增加一个单位，平均增加个单位，B选项正确；
C选项，残差的平方和越小，模型拟合效果越好，C选项错误；
D选项，相关系数的绝对值接近时，才可以说与的相关程度很强，
但很明显和的偏差很大，因此与的相关程度不强，D选项错误.
故选：AB
10. 已知，，下列条件中，能使不等式成立的充分条件有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】对A：若，则，不符合要求，故A错误；
对B：若，则，符合要求，故B正确；
对C：若，则，符合要求，故C正确；
对D：若，取，，则，
此时，不符合要求，故D错误.
故选：BC.
11. 已知函数（均为常数且）的导函数满足，且，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 是的极值点
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】由，则，又，
故，又，即，
即有，解得，
即，，则，故A、B正确；
对C：由恒成立，故单调递增，故无极值点，故C错误；
对D：即为，即，解得，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设随机变量服从正态分布，若，则______．
【答案】
【解析】由，故，
则.
故答案为：.
13. 已知随机变量，若期望，方差，则的值为______．
【答案】40
【解析】由题意得，
解得.
故答案为：40
14. 不透明的盒子中装有大小质地相同的4个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球，若摸到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束．摸球次后游戏结束的概率记为，则______；游戏结束后，总得分记为，则的数学期望______．
【答案】；
【解析】；
的可能取值为，且，
则，
则，
则，
则
，
即，
又，故.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）若（为函数导函数），求在区间上的最大值和最小值．
解：（1），，，
则有，化简得，
即的图象在点处的切线方程为；
（2），则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值，
又，，
故在区间上的最大值和最小值分别为、.
16. 小明同学设置手机密码的六位数字，准备将e（）的前6位数字（1，2，2，7，8，8，）按照一定的顺序进行设置．
（1）记事件：相同的数字排在一起，求事件发生的概率；
（2）记事件：只有一组相同的数字排在一起，求事件发生的概率；
（3）记事件：相同数字不相邻且相同数字之间只有一个数字，求事件发生的概率．
解：（1）将相同的数字排在一起，只需将两个2、两个8分别看成同一元素，
与另外两个元素全排列即可，此时共有种不同排法，
任意排列时共有种不同排法，
故；
（2）只有一组相同的数字排在一起，共有种不同排法，
则；
（3）若两个2之间不是8，两个8之间不是2，则有种不同排法，
若两个2之间是8，则必有或的排序，
此时共有种不同排法，故共有种不同排法，
则.
17. 已知函数．
（1）当时，求函数极值；
（2）讨论的单调性．
解：（1）当时，，定义域为，
所以，
令，，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以极小值为，无极大值.
（2）由上问得，
而，令，解得,
此时恒成立，故在上单调递增，
令，解得，令，
解得或，当时，
，故，，，
此时令，，
令，，
此时在上单调递减，
在上单调递增，
当时，，
由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，，
，令，，
令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减，
在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
在上单调递增，
当时，在上单调递增.
18. 已知不透明的盒子中有8个相同的乒乓球，球上标有数字1，2，3，…，8，有放回地随机抽取两次（每次抽取1个球），记下球上的数字，，原点和点，点．
（1）记事件或．求事件发生的概率．
（2）记事件的面积不大于5．求事件发生的概率．
（3）记事件是锐角．事件是锐角三角形．求在事件发生的条件下事件发生的概率．
解：（1）有8数字、有8数字可取，有放回地随机抽取两次（每次抽取1个球），
共有种取法，，，，
若，则，即，符合条件的基本事件
有8种，
若，则，即，符合条件的基本事件
有6种，
所以；
（2）直线方程为，设点到直线的距离为，
因为，所以，
可得，符合条件的基本事件有
，，
，
，，
，，，
共35个，；
（3）有8数字、有8数字可取，有放回地随机抽取两次（每次抽取1个球），
共有种取法，
设直线与直线垂直，且过原点，因为，则直线，
其64个点中，有8个落在直线上，剩余56个点中，一半在直线上方，
一半在直线下方，要想是锐角，则点应在直线下方，
其中满足要求的点有28个，
故是锐角即，

与平行且过点的直线方程为，
若是锐角三角形，则点落在直线与直线之间，
根据点的坐标特征，应在直线上，
满足要求的点有共7个，
所以，
所以.
19. 某台球选手采用如下方法进行障碍球训练：在不透明的盒子里装有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外完全相同，每次击球前从盒中任取一个球放置到障碍点，然后用母球击球．如果障碍球被打进，则继续从盒子中取球放置到另一个障碍点，进行第二次击球；如果障碍球没被打进，则继续在同一点进行第二次击球；如此反复进行下去，直到5个球全部被打进去为止．假设该选手在每个障碍点将球打进的概率都是．
（1）记事件 “三次击球共打进一个红球和一个黑球”，记事件 “第次击球打进红球”，事件 “第次击球打进黑球”，事件 “第次击球没打进球”，写出事件的样本空间中包含的所有基本事件，求的值；
（2）记第次击球后5个球全部被打进的概率为，求的最大值．
解：（1）显然包含的所有的基本事件为全体.
故
.
（2）显然，
且对有.
这就说明对都有，从而.
所以在和时取到最大值.
所以的最大值是.
0.1
0.05
0.01
0005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828