河北省张家口市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份河北省张家口市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 抛物线的焦点坐标为等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点在轴上，且，
所以，所以抛物线的焦点坐标为.
故选：D.
2. 已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设与的夹角为，
所以.
则与夹角的余弦值为.
故选：A.
3. 已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，
所以直线的倾斜角为，所以，
直线的方程为：.
故选：D.
4. 已知等差数列的公差，前项和为，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】因为等差数列的公差，前项和为，
所以，
故选：B.
5. 已知过点的直线分别与轴的正半轴交于点为坐标原点，则的面积的最小值是（ ）
A. 4B. C. 8D. 5
【答案】A
【解析】直线与轴的正半轴分别交于两点，可知直线的斜率为负数，
设直线，
令，得，令，得，可知，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最小值为4.
故选：A.
6. 已知正项数列中，，则该数列的通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为正项数列中，，
显然，所以，
所以对两边同时取对数，可得，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以.
故选：C.
7. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令可得，则，所以，
所以，因为直线与直线互相垂直，
所以，
所以在中，，所以，
所以，所以，
所以或（舍去），
所以的离心率为.
故选：C.
8. 如图，正方体的棱长为为侧面内的动点，在对角线上，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，易知面，又面，所以，
因为为侧面内的动点，且，，所以，即点在以为圆心，为半径的圆弧上，
连接，过作交于，易知面，
因为，所以，
又，，
所以，，故在上，
所以当与重合时，最小，又，
所以最小值为，
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知点，分别以点为圆心，以1，2为半径作圆．若直线与圆和圆相切，切点分别为，则（ ）
A. 若重合，则直线的方程是
B. 若不重合，则
C. 若直线的斜率存在，则其斜率为
D. 若不重合，则四边形的面积为
【答案】ABD
【解析】点，分别以点为圆心，以1，2为半径作圆，
所以，，
对于A，因为，所以圆圆外切，且切点为，
若重合，则即为，此时直线的方程是，故A正确；
对于B，如下图，因为，，
设直线与交于点，所以为的中点，
所以为的中点，，，
所以在中，，故B正确；
对于C，在中，，
故直线的斜率存在，则其斜率为，故C错误；
对于D，若不重合，则四边形的面积为：
，故D正确.
故选：ABD.
10. 圆锥曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于椭圆的长轴（双曲线的实轴，抛物线的对称轴）的焦点弦称为通径．若点是椭圆，抛物线和双曲线的焦点，且椭圆，抛物线和双曲线的通径长恰好成等差数列，则（ ）
A.
B. 可以是直角三角形三条边的长
C. 双曲线的离心率
D. 点到双曲线渐近线的距离为
【答案】ABC
【解析】对于A，由点是椭圆的焦点，所以，
又因为抛物线和双曲线的焦点，
所以，，故A正确；
对于B，令可得，所以，
所以椭圆的通径为，所以，
令可得，则，所以，所以，
因为，所以，令，可得，所以，
因为椭圆，抛物线和双曲线的通径长恰好成等差数列，
所以，所以，即，，
因为所以可以是直角三角形三条边的长，故B正确；
对于C，因为，又因为，
所以，因为，解得：，
，故C正确；
对于D，点到双曲线渐近线的距离为，
又因为，，
所以，故D错误.
故选：ABC.
11. 如图，球的两个截面圆和圆的圆心分别为，半径均为2，且圆和圆所在平面分别与轴和轴垂直．若动点分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，其中点的起始点分别为，，点按照图中指针方向运动，运动时间为（单位：秒），则（ ）
A. 球的表面积为
B. 当时，
C. 存在时刻，使得点在球面上相遇
D. 的最大值为，且同一个周期内取得最大值的时间差为8秒
【答案】ABD
【解析】对于A，设球O的半径为，
由题意到圆面和圆面的距离为，
所以，所以球的表面积为，故A正确；
对于B，由题意，，，，，
因为动点分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，
设两点运动的角速度为，所以，解得：，
所以两点分别从同时出发，按箭头方向沿圆周以每秒弧度的角速度运动，运动秒后，，，，
，
当时，，
所以，故B正确；
对于C，令，所以，
则，
当时，，
所以不存在时刻，使得点在球面上相遇，故C错误；
对于D，当时，，，或，
，两个时刻的时间差为8秒，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等比数列的前项的乘积为，若，则__________．
【答案】
【解析】由可得：，所以，
又因为等比数列，所以，所以，
所以.
13. 已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为__________．
【答案】
【解析】因为为抛物线上的动点，
所以可设，
则到的距离为：，
则时，，此时.
14. 如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点，
所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，
因为，设，，
，
所以，
所以，
所以，，
所以，
当时，有最小值，当时，有最大值，
所以的取值范围是.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知的圆心分别为，半径分别为，的圆心为点，半径为．
（1）写出的标准方程，并判断其位置关系；
（2）若与外切且与内切，求圆心的轨迹方程．
解：（1）的圆心分别为，半径分别为，
所以的标准方程为；
的标准方程为，
可得，
可知，
所以内切.
（2）因为动圆P的半径为，
因为动圆P与与外切且与内切，
则，且，
由椭圆的定义可知，动点P在以为焦点，8为长轴长的椭圆上，
设椭圆的方程为，半焦距为c，
则，，则，
又因为内切，则点P不能在切点处，即椭圆应去掉点，
所以动圆的圆心P的轨迹方程为．
16. 已知复数是虚数单位，，且，其中是的共轭复数，．
（1）证明：数列和均为等比数列．
（2）设数列的前项和为，求．
（1）证明：因为复数是虚数单位，，且，，所以，
所以，
所以，又可得
所以，
所以：数列和均是等比数列.
（2）解：因为，所以，
所以，
.
17. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点．
（1）判断是否为棱的中点，并说明理由；
（2）求平面与底面所成角的余弦值．
解：（1）取的中点，连接，
因为，，所以，，.
又因为是菱形，，所以，，
因为，所以，平面，
所以平面，
因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，
所以.
因为，
所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的，
所以，所以为棱的中点.
（2）因为平面，平面ABCD，
所以，，又，
如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
底面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
取，，得.
设平面与底面所成角为，
所以，
平面与底面所成角的余弦值为.
18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为．
（1）当直线过焦点时，证明：互相垂直．
（2）当时，设弦的中点为．
①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
②求的最大值．
解：（1）由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，，
由于焦点，设直线的方程为，
联立，消去得，，且，
则
设，，则过点的切线方程为，
联立方程组，得。
则，解得，同理，
，所以互相垂直．
（2）①当时，设直线的方程为，
联立，消去得，，且，
则，直线与交于点，设，
抛物线在点A处的切线方程为，即，
同理，在点B处的切线方程为.
联立，解得，
将式代入化简得，则点在定直线上.
②线段AB的中点为，
由（1）可得，，，
则.，
又
将式代入得，，
则，
由，则.
的取值范围为.
19. 将向量组成的系列称为向量列，记作．已知向量列满足，且
．
（1）求数列通项公式．
（2）设，且．
①数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
②若，使得成立，求实数的取值范围．
解：（1）由，
可得，
根据题意得，
所以数列是以为公比的等比数列；
又，所以.
（2）①结论：数列中存在最小项；理由如下：
因为，所以；
假设中第项最小，由，，可知：时，；
当时，有，由，可得：，
即；所以，所以，
解得：或（舍）；所以；即；
所以，由得；
综上，数列中存在最小项；
②因为
，所以；所以；
因此，
所以
；
又存在正整数，不等式成立，
所以只需，
即；
因此或，
解得：；
即实数的取值范围是.