河北石家庄市、张家口市部分校2025-2026学年高二下学期6月测试数学试题（含解析）

这是一份河北石家庄市、张家口市部分校2025-2026学年高二下学期6月测试数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了请将各题答案填在答题卡上.等内容，欢迎下载使用。
考试说明：
1．本试卷共150分.考试时间120分钟.
2．请将各题答案填在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．
【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是负相关，相关系数小于0，
图2和图4是正相关，相关系数大于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1，
由此可得．
2. 若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式展开式的各项的二项式系数和求得，结合展开式的通项公式计算即可求解.
【详解】由题得，解得.
的通项为.
令，则系数为.
3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.21B. 0.22C. 0.28D. 0.32
【答案】B
【解析】
【详解】随机变量服从正态分布，
则
4. 由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（ ）
A. 12种B. 18种C. 30种D. 48种
【答案】C
【解析】
【分析】分最高位是4和最高位是3两种情况，结合排列组合知识求解．
【详解】当万位为3时，个位可从三个偶数中任选1个，共种选择；
剩余个数字全排列排中间千、百、十位，共种排法， 共有种.
当万位为时，个位只能从剩余偶数中任选1个，共种选择；
剩余个数字全排列排中间三位，共种排法， 共有种.
两类相加，总共有种.
5. 月日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了，两种树苗各棵，种树苗的成活率为，种树苗的成活率为，记，两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（ ）
A. 15B. 16C. 17D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项分布的期望性质直接计算即可.
【详解】，都服从二项分布，即，
则，，
所以.
6. 已知，，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对立事件的概率及全概率公式，即可求解.
【详解】由全概率公式，得，
又，，，，
代入得，解得.
7. 暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算每天既戴帽子又戴墨镜的概率和只戴墨镜不戴帽子的概率，服从二项分布，使用二项分布概率公式求解.
【详解】设事件表示戴帽子和戴墨镜，则，，
因为帽子和墨镜每天至少戴一件即，所以，
单日只戴墨镜不戴帽子的概率为，
表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，，
.
8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意求得随机变量的分布列，再利用公式可求，最后利用二次函数的性质可求其最大值.
【详解】由题意知，随机变量可能的取值为.
；
.
所以.
所以当时，取得最大值，最大值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好
C. 已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
【答案】BD
【解析】
【分析】选项A利用相关系数的概念求解即可，选项B利用残差平方和的概念求解即可，选项C利用变量，的均值一定在回归方程的图像上求解即可，选项D利用小概率原理求解即可.
【详解】选项A：在一元线性回归方程中，若线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，故错误，
选项B：回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，正确，
选项C：将，代入方程解得：，故错误，
选项D：可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，正确.
10. 盒中有6个玩具球，其中有2个是红色的，其余均是蓝色的，现从盒中随机地抽取3个球，则下列事件的概率是的是（ ）
A. 恰有1个球是红色的B. 3个球全是蓝色的
C. 恰有2个球是红色的D. 至多有2个球是蓝色的
【答案】BC
【解析】
【分析】根据古典概型概率公式与组合数公式计算即可逐一判断.
【详解】对于A，事件“恰有1个球是红色的”概率为，不是，A错误；
对于B，事件“3个球全是蓝色的”概率为，B正确；
对于C，事件“恰有2个球是红色的”概率为，C正确；
对于D，事件“至多有2个球是蓝色的”概率为，不是，D错误.
11. 高二（2）班小明等五名同学报名参加学校组织的数学、物理、化学、生物四个科目的竞赛，每人都要报名且限报其中一项．记事件“恰有三名同学报了同一个科目，其他科目报名人数不超过1人”，事件“只有小明同学一人报化学竞赛科目”，则（ ）
A. 五名同学的报名情况共有种
B. “每个科目都有人报名”的报名情况共有240种
C. “五名同学最终只报了两个科目”的概率是
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先计算五名同学报名的总情况数，再根据各选项的要求分别计数，结合古典概型公式和条件概率公式逐一判断每个选项的正误.
【详解】对于A：五名同学每人都有4种报名选择，根据分步乘法计数原理，总报名情况数为 种，A正确；
对于B：“每个科目都有人报名”，5人分到4个科目，人数分布只能是 ，
先从5人中选2人作为一组，剩余3人各成一组，共 种分组方式；
再将4组全排列分配给4个科目，共 种排列方式；
总情况数为 种，B正确；
对于C：“五名同学只报了两个科目”，先从4个科目选2个，共 种选法；
再减去5人全选第一个科目、全选第二个科目的2种情况，总符合情况数为 ；
总报名情况为 ，概率为 ​，C错误；
对于D：事件要求恰3人同科目，其余两人各在不同科目，
先选人所在科目有种不同的选法，选人有不同的选法，
将剩余两人安排到剩余的3个科目中的两个，每人一科，有​种不同的选法，
可得；
要求发生且只有小明1人报化学，
因此3人同科目只能从非化学的3个科目选，再从剩余4人选3人，最后剩余1人从剩余2个非化学科目选，
得 ，
因此 ，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，若，，则__________．
【答案】64
【解析】
【详解】∵ 随机变量，根据二项分布的期望与方差公式可得，.
∴ ，解得，∴ .
13. 某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜中珠子从出口5出来，那么你取胜的概率为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】可基于独立事件概率的计算方法分析路径概率，用组合数公式，结合每条路径的发生概率，因为每段路径的选择是独立事件，根据独立重复试验的概率公式，再乘以路径总数即可得到从出口5出来的总概率．
【详解】珠子在每个岔路口向左、向右下滑的概率均为，从顶端到最下方出口，一共需要经过5次独立的向左/向右选择；
要从编号5的出口出来，需要在5次选择中恰好选4次向右、1次向左，
根据独立重复试验的概率公式：．
14. 已知能够被15整除，其中，则__________．
【答案】14
【解析】
【分析】由，结合二项式定理可得除以的余数，从而能到的值 ，
【详解】
.
因为75可以被整除，
所以可以被整除.
由能够被15整除，知能够被15整除，又，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 代驾服务在中国已从一个新兴的细分市场发展成为覆盖亿用户、年订单量突破亿的庞大产业．某用户只在某市的网、网两个代驾平台选择代驾，根据历史数据，选择网的概率为，选择网的概率为，网代驾准时到达率为，网代驾准时到达率为．已知该用户每次选择的代驾准时到达与否相互独立．
（1）求该用户选择代驾准时到达的概率；
（2）在该用户的次选择代驾中，记准时到达的次数为，若的方差大于，求的最小值．
【答案】（1）0.89
（2）10
【解析】
【小问1详解】
令事件“代驾准时到达”，“选择网，“选择网”．
依题意，，，，，
由全概率公式得，
所以该用户选择代驾准时到达的概率为．
【小问2详解】
依题意，，
则．
由的方差大于，得，
解得，所以的最小值为．
16. DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用．其开源推理模型DeepSeek-R1性能出色，在多任务上比肩OpenAI-O1正式版，且可免费商用．在测试DeepSeek-R1时，如果输入的问题没有语法错误，则DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为．
（1）在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek-R1的回答有4个被采纳．现从这6个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的数学期望；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为，求DeepSeek-R1的回答被采纳的概率．
【答案】（1）

（2）
【解析】
【分析】（1）由题可知，所有可能取值为1，2，3，由超几何分布公式分别求出各个变量对应的概率，写出分布列，再根据期望公式求出期望即可；
（2）利用全概率公式求解即可.
【小问1详解】
由题可知，所有可能取值为1，2，3，
则，，，
所以的分布列为：
所以．
【小问2详解】
记“输入的问题出现语法错误”为事件，则，，
记“DeepSeek-R1的回答被采纳”为事件，则，，
所以．
17. 宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据：
（1）用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程；
（2）该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值．
附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
②
③，
【答案】（1）
（2）35万元．
【解析】
【分析】（1）通过换元将对数型回归转化为线性回归，利用最小二乘法求解参数，注重是对公式的理解和代入计算.
（2）结合第一问的回归模型，构建总收益函数，通过求导找到极值点，进而得到最大值，同时考查了对数运算的化简技巧.
【小问1详解】
令，则可转化为，由表可知，
得到，，
由最小二乘法公式得，b^=i=18 yilnxi−8vyi=18 (lnxi)2−8v2=603−8×298×1618109−8×(298)2=5 ，
所以a^=y−b^v=1618−5×298=2 ，所以回归方程为y^=5lnx+2 .
【小问2详解】
设2026年该企业投入食用枸杞生产的资金为万元，
则投入生产药用枸杞片的资金为万元，
其中，设2026年总收益为万元，
则，，
令，令，得，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
故年总收益的最大值约为35万元．
18. 为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．
（1）求甲答对每道题的概率；
（2）已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将甲答对题目拆分为甲独立答对、甲答错后同组成员答对两种互斥情况，利用互斥事件概率加法公式计算甲答对每道题的概率。
（2）设出甲、乙答对题目的个数，枚举甲答对个数多于乙的所有互斥情况，分别计算对应概率并求和，再解关于的不等式得到的最小值.
【小问1详解】
甲答对题目分为两种互斥情况：
① 甲自己独立答对，概率为 ； ② 甲没答对，同组成员答对，概率为 ；
因此甲答对每道题的概率为： .
【小问2详解】
设甲答对题数为，乙答对题数为，
则，，，
包含三种互斥情况： ；； ，
分别计算概率：​，，
，，，
因此：
，
根据题意列不等式： ，整理得 ，
结合，解得，
因此的最小值为.
19. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）：
（1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值．
参考公式及数据：，其中．
【答案】（1）认为参数调试与产品质量无关联．
（2）
．
（3）
【解析】
【分析】（1）提出假设，根据列联表的数据求出的值，对照参考表检验即可；
（2）先根据分层抽样求出合格品和不合格产品的个数，可知的所有可能取值为0，1，2，分别求出各自变量的概率，写出分布列，再按照离散型随机变量的期望公式求解即可；
（3）由题可知，变量服从二项分布，要求事件“”的概率最大时的取值，即先求出和时的取值范围，再结合只能取整数，求出最大的值即可.
【小问1详解】
解：（1）提出假设：认为参数调试与产品质量无关联，
根据列联表中的数据，计算得到，
故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，
因此原假设成立，即认为参数调试与产品质量无关联．
【小问2详解】
由题意知，用按比例分配的分层随机抽样法抽取的6件产品中，
合格产品有件，则不合格产品有2件，
的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
故的分布列为：
则.
【小问3详解】
由题可知，随机抽取调试后的产品的合格率为，故，
则，，，，，
由，
故由可得，
又，则当时，．
由可得，即当时，，
故当事件“”的概率最大时，．
1
2
3
1
2
3
10
20
30
40
50
60
70
80
13.5
15.8
18.5
20
22
23
24
24.2
161
29
20400
109
603
产品
合格
不合格
合计
调试前
80
60
140
调试后
40
20
60
合计
120
80
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
0
1
2