2022-2023学年河北省张家口市高二上学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省张家口市高二上学期期末考试数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了已知圆C1，已知三角形数表，下列选项正确的有等内容，欢迎下载使用。

张家口市2022－2023学年度高二年级第一学期期末考试
数　学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知两条直线l1：5x－2y＋1＝0和l2：ax＋3y＋2＝0相互垂直，则a＝
A.－B.
C.－D.
2.若点(2，4)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则抛物线的准线方程为
A.x＝－4
B.x＝－2
C.x＝－1
D.y＝－4
3.椭圆C：＋＝1的离心率为
A.B.
C.D.
4.已知圆C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0与圆C2：(x+1)2 +(y+1)2＝9，则圆C1与圆C2的位置关系为
A.相交
B.外切
C.外离
D.内含
5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别在DB，AB1上，且＝2，＝21，则＝
A.3 B.2C.2 D.4
6.已知三角形数表：

现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列{an}，则a100＝
A.37B.38
C.39D.310
7.已知x＋y＝0，则＋的最小值为
A.B.2
C.D.2
8.已知{an}为等比数列，a5＋a8＝－3，a6a7＝－18，则a2＋a11＝
A.3 B.－9
C.D.－
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列选项正确的有
A.＝2表示过点P(x0，y0)，且斜率为2的直线
B.a＝(2，1)是直线x－2y－4＝0的一个方向向量
C.以A(4，1)，B(1，－2)为直径的圆的方程为＋＝0
D.直线x＋y－1－4m＝0恒过点(2，1)
10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a9＋a10＋a11>0，a9＋a12<0，则下列选项正确的有
A.数列{an}是单调递增数列 B.当n＝10时，Sn最大
C.S19·S20<0 D.S20·S21<0
11.已知椭圆C：＋＝1的离心率为，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，△F1PF2的周长为14，则下列选项正确的有
A.椭圆C的方程为＋＝1
B.·≤16
C.△F1PF2内切圆的面积S的最大值为π
D.cos∠F1PF2≥－
12.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝AD＝2，M为棱DC的中点，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1],μ∈[0，1]，则下列结论正确的有
A.当λ＝，μ＝时，异面直线AP与DB1所成角的余弦值为
B.当μ＝时，AP⊥D1C
C.当λ＝时，有且仅有一个点P，使得AP⊥D1P
D.当λ＝1时，存在点P，使得AP⊥MC1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知空间向量a＝(3，2，λ)，b＝(λ－2，λ，8)，a∥b，则a·b＝_____________．
14.已知点F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点,过点F作倾斜角为60°的直线l，直线l与双曲线C有唯一交点P，且|FP|＝6，则双曲线C的方程为_____________．
15.已知数列{an}满足a1＝1，an＝，Sn为数列{an}的前n项和，Sn<λ恒成立，则λ的最小值为_____________．
16.过点P(2，－1)作圆E：x2＋y2－2x－4y－1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为_____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．
17.(本小题满分10分)
已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a8＝6，S21＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前50项和T50.








18.(本小题满分12分)
已知直线l：y＝kx－1与圆E：(x－2)2 +(y－3)2＝9交于A，B两点．
(1)当最大时，求直线l的方程；
(2)若D，证明：·为定值．



19.(本小题满分12分)
“十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用．下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米．
(1)求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距(焦点到准线的距离)．
(2)已知直线m是抛物线的对称轴，Q为直线m与水面的交点，P为抛物线上一点，O，F分别为抛物线的顶点和焦点．若PF⊥m，PO⊥PQ，求桥面与水面的距离．






20.(本小题满分12分)
已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝bn＝a2n－1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{nbn}的前n项和Sn.





21.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为4的正方形，平面ADP⊥平面ABCD，PD＝2，PB＝2.
(1)求证：AP⊥平面CDP；
(2)若点E在线段AC上，直线PE与直线DC所成的角为，求平面PDE与平面PAC夹角的余弦值．




22.(本小题满分12分)
已知一动圆与圆E：(x＋3)2＋y2＝18外切，与圆F：(x－3)2＋y2＝2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程．
(2)已知点P在曲线C上，斜率为k的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点P)，记直线PA和直线PB的斜率分别为k1，k2，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
①P；②k1＋k2＝0；③k＝－.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．













张家口市2022－2023学年度高二年级第一学期期末考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.D　【解析】由l1⊥l2，可得5a－6＝0，所以a＝，故选D.
2.B　【解析】将点(2，4)代入y2＝2px，则4p＝16，得p＝4，故准线方程为x＝－2，故选B.
3.A　【解析】由题意椭圆C的长半轴长为a＝＝5，短半轴长为b＝，又a2＝b2＋c2，所以半焦距c＝＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝，故选A.
4.B　【解析】圆C1的标准方程为(x－2)2＋2＝4，所以圆心为(2，3)，半径为2.圆C2是以(－1，－1)为圆心，半径为3的圆，故＝＝5＝2＋3，所以两圆外切，故选B.
5.A　【解析】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，所以D(0，0，0)，A，B，B1.又＝2，＝21，所以E，F，故＝＝3.故选A.
6.B　【解析】设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第k组的项数为k，则前k组的项的个数之和为.又＝91，＝105，所以第100项为第14组的第9项，所以a100＝38.故选B.
7.C　【解析】设点P(x，y)为直线x＋y＝0上的动点，
又＋＝＋.
设点M(1，1)，N(2，0)，则点M′(－1，－1)为点M(1，1)关于直线x＋y＝0的对称点，
故|PM|＝|PM′|，且|M′N|＝＝，
所以|PM|＋|PN|＝＋＝|PM′|＋|PN|≥|M′N|＝，
所以＋的最小值为.故选C.
8.C　【解析】由题意，得a5a8＝a6a7＝－18.
又a5＋a8＝－3，所以联立解得或
当a5＝3，a8＝－6时，＝－2＝q3，所以a2＝＝－，a11＝a8q3＝12，
所以a2＋a11＝；
当a5＝－6，a8＝3时，＝－＝q3，所以a2＝＝12，a11＝a8q3＝－，
所以a2＋a11＝.故选C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.BCD　【解析】由＝2可知y≠y0，所以＝2不过点P且斜率为，所以A错误；
直线x－2y－4＝0过点A，B，a＝，所以a＝是直线x－2y－4＝0的方向向量，所以B正确；
设以A，B为直径的圆上的任意点为P，则⊥，所以·＝0，即(x－1)＋＝0，所以C正确；
因为×2＋×1－1－4m＝0，所以D正确．
10.BC　【解析】设{an}的公差为d.因为a9＋a10＋a11＝3a10>0，所以a10>0.
又a9＋a12＝a10＋a11<0，所以a11＝a10＋d<0，故d<0，所以A错误；
因为d<0，所以a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7>a8>a9>a10>0>a11>…>an，
所以当n＝10时，Sn最大，所以B正确；
因为S19＝＝>0，S20＝＝<0，
S21＝＝<0，
所以C正确，D错误．
11.ABD　【解析】设焦距为2c，由题意，得＝，△F1PF2的周长为＋＋＝2a＋2c＝14，解得a＝4，c＝3.又a2＝b2＋c2，所以b＝，故椭圆C的方程为＋＝1，所以A正确；
因为＋＝2a＝8，所以8＝＋≥2，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，所以·≤16，所以B正确；
设△F1PF2内切圆的半径为r，则S△F1PF2＝＝r，
所以r＝.又≤，所以r≤，所以S≤，所以C错误；
因为cos∠F1PF2＝
＝＝－1＋.
又·≤16，所以－1＋≥－，所以D正确．
12.AB　【解析】如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系D－xyz.

由题意可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，0)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，B1(2，2，2)，
所以＝(－2，0，0)，＝(0，0，2)，＝(0，2，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，2，－2)，
＝(2，2，2)，＝(0，1，2)，
所以＝λ＋μ＝λ(－2，0，0)＋μ(0，0，2)＝(－2λ，0，2μ)．
当λ＝，μ＝时，＝＋＝(0，2，0)＋(－1，0，)＝(－1，2，)，
所以异面直线AP与DB1所成角的余弦值为
＝＝＝，所以A正确；
当μ＝时，＝(－2λ，0，)，
＝＋＝(0，2，0)＋(－2λ，0，)＝(－2λ，2，)，
故·＝(－2λ，2，)·(0，2，－2)＝0，所以B正确；
当λ＝时，＝(－1，0，2μ)，＝＋＝(0，2，0)＋(－1，0，2μ)＝(－1，2，2μ)，
＝＋＝(2，2，－2)＋(－1，0，2μ)＝(1，2，－2＋2μ)，
故·＝(－1，2，2μ)·(1，2，－2＋2μ)＝0，得8μ2－8μ＋3＝0无解，所以C错误；
当λ＝1时，＝(－2，0，2μ)，＝＋＝(0，2，0)＋(－2，0，2μ)＝(－2，2，2μ)，
故·＝2＋8μ＝0，解得μ＝－∉[0，1]，所以D错误．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.－58　【解析】由a∥b，得＝＝，所以λ＝－4，故a＝(3，2，－4)，b＝(－6，－4，8)，
故a·b＝3×＋2×＋×8＝－58.
14.－＝1　【解析】直线l与双曲线C有唯一交点P，则直线l与双曲线C的渐近线平行，所以＝tan 60°＝，
故b＝a，所以c2＝a2＋b2＝4a2.
又|FP|＝6，所以P(3－c，3)，所以－＝－＝1，解得a＝4，所以b＝4，
所以双曲线C的方程为－＝1.
15.　【解析】当n＝1时，Sn＝S1＝1，
又当n≥2时，an＝＝＝－，
所以Sn＝1＋－＋－＋…＋－＝－<，所以λ≥，故λ的最小值为.
16.x－3y－1＝0　【解析】圆E的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝6，所以E.
由题意，得PA⊥AE，PB⊥BE，所以P，A，E，B四点在以PE为直径的圆上，且直线AB为该圆与圆E的交线，以PE为直径的圆的方程为(x－1)(x－2)＋(y－2)＝0，化简得x2＋y2－3x－y＝0，
所以直线AB的方程为x2＋y2－2x－4y－1－＝0，即x－3y－1＝0.
另解：圆E的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝6，由切点弦方程可知，直线AB的方程为(x－1)＋(y－2)＝6，化简得x－3y－1＝0.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S21＝21a1＋d＝0，得a1＋10d＝0.………………………………………………2分
又a8＝a1＋7d＝6，所以d＝－2，a1＝20，………………………………………………3分
所以an＝20＋×＝－2n＋22.…………………………………………………4分
(2)由an＝－2n＋22≥0，解得n≤11，……………………………………………………5分
所以数列＝………………………………………………………………6分
故T50＝a1＋a2＋…＋a11－a12－a13－…－a50………………………………………………7分
＝－＋2
＝－S50＋2S11…………………………………………………………………………………9分
＝－＋2×
＝1450＋220＝1670.…………………………………………………………………………10分
18.(本小题满分12分)
(1)解：圆E是以E(2，3)为圆心，3为半径的圆，…………………………………………1分
当直线l过圆E的圆心时，最大，………………………………………………………2分
所以3＝2k－1，解得k＝2，…………………………………………………………………3分
所以当最大时，直线l的方程为y＝2x－1.……………………………………………4分
(2)证明：设A，B，由题意知k存在，
联立得x2－x＋11＝0，………………………6分
所以x1＋x2＝，x1x2＝，且2－44>0.……………………………8分
因为·＝·＝x1x2＋，…………………………10分
y1＝kx1－1，y2＝kx2－1，
所以·＝x1x2＝11，即·为定值.…………………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解：(1)以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系．
设对应抛物线的方程为x2＝2py(p<0).………………………………………………………1分
又点(32，－32)在抛物线上，所以322＝2p×，……………………………………3分
所以p＝－16，即＝16，故抛物线的焦准距为16米.……………………………………4分
(2)由题意，得|OF|＝8米，|FP|＝16米，……………………………………………………5分
所以tan∠POF＝＝＝2.………………………………………………………………6分
又PO⊥PQ，所以tan∠QPF＝tan∠POF＝2，……………………………………………8分
所以tan∠QPF＝＝＝2，所以|QF|＝32米.………………………………………10分
又拱形最高点与桥面距离为32米，所以桥面与水面的距离d＝|OF|＝8米，
所以桥面与水面的距离为8米.……………………………………………………………12分
20.(本小题满分12分)
解：(1)由bn＝a2n－1，得b1＝a1＝2，bn＋1＝a2n＋1.…………………………………………1分
又a2k＝a2k－1＋2，a2k＋1＝2a2k，k∈N*，……………………………………………………2分
故a2k＋1＝2＝2a2k－1＋4，…………………………………………………………3分
所以bn＋1＝2bn＋4，故＝2.…………………………………………………………4分
又b1＋4＝6，…………………………………………………………………………………5分
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，
所以bn＋4＝6×2n－1＝3×2n，故bn＝3×2n－4.……………………………………………6分
(2)nbn＝3n·2n－4n.……………………………………………………………………………7分
设cn＝n·2n，其前n项和为Tn，
则Tn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，…………………………………………………………8分
2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，　
所以－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－2＋2n＋1－n·2n＋1，…………………………9分
所以Tn＝2n＋1＋2，…………………………………………………………………10分
所以Sn＝3Tn－4＝32n＋1＋6－4×＝2n＋1－2n2－2n＋6.
………………………………………………………………………………………………12分
21.(本小题满分12分)
(1)证明：如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，
故D，A，B，C.…………………………………1分

因为平面ADP⊥平面ABCD，设P，
所以PD＝＝2，PB＝＝2，………………………2分
所以a2＋c2＝4，a2＋c2－8a＋32＝28，所以a＝1，c＝±，
由图可得c>0，所以c＝，所以P，………………………………………3分
所以＝，＝.
又＝，所以·＝－3＋3＝0，·＝0，………………………………4分
所以⊥，⊥，又CD∩PD＝D，且CD⊂平面CDP，PD⊂平面CDP，
故AP⊥平面CDP.……………………………………………………………………………5分
(2)解：设＝λ，0≤λ≤1，则E，…………………………………6分
所以＝.
又直线PE与直线DC所成的角为，所以＝＝，
解得λ＝，……………………………………………………………………………………7分
故E，所以＝.
设m＝(x1，y1，z1)为平面PDE的法向量，则有
即可取m＝(1，－1，－).………………………………………………8分
设n＝(x2，y2，z2)为平面PAC的法向量，则有
即可取n＝(1，1，)，………………………………………………10分
∴|cos〈m，n〉|＝＝，
所以平面PDE与平面PAC夹角的余弦值为.………………………………………12分
22.(本小题满分12分)
解：(1)设动圆的圆心为M，半径为r，则＝r＋3，＝r－，
所以－＝4<＝6.……………………………………………………………2分
由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
所以2a＝4，2c＝6，即a＝2，c＝3，所以b2＝c2－a2＝1，
所以曲线C的方程为－y2＝1，x≥2.…………………………………………………4分
(2)选择①②⇒③：
设直线l：y＝kx＋m，A，B，
联立得x2－16mkx－8m2－8＝0，……………………………………5分
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.………………………………………………………6分
因为P(4，1)，k1＋k2＝0，所以＋＝0，
即＋＝0，………………………………………7分
即2kx1x2＋－8＝0，
所以2k×＋－8＝0，………………………………8分
化简得8k2＋2k－1＋m＝0，即＝0，
所以k＝－或m＝1－4k.…………………………………………………………………10分
当m＝1－4k时，直线l：y＝kx＋m＝k＋1过点P，与题意不符，舍去，
故k＝－，所以③成立.……………………………………………………………………12分
选择①③⇒②：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，
联立得x2－8mx＋8m2＋8＝0，……………………………………………5分
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，…………………………………………………………6分
所以k1＋k2＝＋……………………………………………………………………7分
＝＋………………………………………………………………8分
＝－1＋＋
＝－1＋…………………………………………………………………10分
＝－1＋＝0，
所以②成立.…………………………………………………………………………………12分
选择②③⇒①：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，P(x0，y0)，
联立得x2－8mx＋8m2＋8＝0，……………………………………………5分
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8.……………………………………………………………6分
由k1＋k2＝＋＝＋＝0，…………………………7分
得＋＝0，
即－x1x2＋－2x0＝0，………………………………………8分
所以－8m2－8＋8m×－2x0＝0，
故2m＋2x0y0－8＝0，……………………………………………………………9分
所以………………………………………………………………………10分
又x0>0，解得所以P，①成立.……………………………………………12分