新高考数学二轮复习重难点培优专练第1章03 柯西不等式与权方和不等式（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点培优专练第1章03 柯西不等式与权方和不等式（2份，原卷版+解析版），共25页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26889" 01 知识重构・重难梳理固根基 PAGEREF _Tc26889 \h 1
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc18040" 题型一 二维柯西不等式直接使用（★★★★） PAGEREF _Tc18040 \h 3
\l "_Tc22992" 题型二 二维柯西不等式变式型（★★★★★） PAGEREF _Tc22992 \h 3
\l "_Tc28340" 题型三 二维柯西不等式三角型（★★★） PAGEREF _Tc28340 \h 4
\l "_Tc6770" 题型四 三维（多维）柯西不等式（★★★★★） PAGEREF _Tc6770 \h 4
\l "_Tc4708" 题型五 权方和不等式基本型（★★★★） PAGEREF _Tc4708 \h 5
\l "_Tc18873" 题型六 权方和不等式的推广型（★★★★★） PAGEREF _Tc18873 \h 6
\l "_Tc21546" 题型七 权方和不等式三角型（★★★） PAGEREF _Tc21546 \h 6
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 6
\l "_Tc30686" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc30686 \h 6
\l "_Tc14511" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc14511 \h 8
一、柯西不等式
1、二维形式的柯西不等式
2、二维形式的柯西不等式的变式
3.扩展：，当且仅当时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
，当且仅当时，等号成立
即，当且仅当时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．
推广1：当时，等号成立．
推广:2：若，则，当时，等号成立.
推广3：若，则，当时，等号成立.


题型一 二维柯西不等式直接使用
【技巧通法·提分快招】
1．（24-25高三下·河北·期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则的最大值是 .
3．中角，，所对的边分别为，，，已知，为的点，且，，则的最大值为

题型二 二维柯西不等式变式型
1．的最小值为 ．
2．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 .
3．（24-25高三上·辽宁·月考）已知空间向量，若，在上的正投影数量分别为1和3，且，则与所成角余弦的最大值等于 .
4．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
5．（23-24高三上·上海奉贤·期中）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（ ）
A．B．C．D．2

题型三 二维柯西不等式三角型
1．（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
2．的最小值为 .
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为 ．

题型四 三维（多维）柯西不等式
【技巧通法·提分快招】
1．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14B．12C．10D．8
2．已知a，b，，满足，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
3．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）若）（n为偶数），则的最小值为（ ）
A．25B．8C．D．
4．（2024高二下·北京·竞赛）对于 ，若非零实数 满足 ，且使 最大，则 的最小值为 .
5．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是 ．
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且．
(1)求的最小值m；
(2)证明：．

题型五 权方和不等式基本型
【技巧通法·提分快招】
1．则函数的最小值为（ ）
A．16B．25C．36D．49
2．（24-25高三下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39B．52C．49D．36
3．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是____.
4．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 .

题型六 权方和不等式的推广型
1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
2．已知正数，，满足，则的最小值为
3．已知，求的最小值为

题型七 权方和不等式三角型
1．函数的最小值是 .
2．已知正实数、且满足，求的最小值 .
3．（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．实数，，，满足，，那么的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
2．实数x、y满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．4
3．已知a，，，则的最大值为（ ）
A．18B．9C．D．
4．若实数，则的最小值为（ ）
A．14B．C．29D．
5．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakwsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14B．12C．10D．8
6．（23-24高三下·山东烟台·月考）已知空间向量，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
7．（23-24高三上·山西晋中·月考）已知是直角三角形三边，是斜边且.且的最小值为.如图，在三棱锥中，，两两垂直，，则平面与平面所成角的夹角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
8．已知正实数满足，则的最小值为 ．
9．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
10．已知实数满足：，则的最小值为 .
11．（23-24高三上·安徽·月考）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ．
12．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 .
13．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知 ，，则 的最小值为 ．
14．已知为锐角，则的最小值为 .
15．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
2．已知，，则的最小值为 .
3．（23-24高三上·河北衡水·期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ．
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
(3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有.
1、二维形式的柯西不等式
2、记忆方法：口诀：平和城，城和平
平：平方
城：同“乘”，相乘的意思
，当且仅当时，等号成立.
1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形.
2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件.