江西南昌市江西科技学院附属中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题含答案

这是一份江西南昌市江西科技学院附属中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题含答案试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数z满足z=1−2i，则其共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ）
A．若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
B．若α∩β=m，n//m，则n//α
C．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
D．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β
3．已知向量a，b满足a=1，b=3，且a与b的夹角为5π6，则2a−b=（ ）
A．12B．13C．1D．13
4．若函数fx=2sinωx+π3(ω>0) 的最小正周期为π，则fπ12= （ ）
A．2B．3C．1D．0
5．如图，二面角α−l−β的大小为135°，A∈l，B∈l，C∈α，D∈β，AC⊥l，BD⊥l，且AB=BD=2，AC=2，则CD=（ ）
A．23B．14C．4D．32
6．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H，N分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1，AB的中点．则下列结论错误的是（ ）
A．C，G，A1，F四点共面B．平面EFN//平面DBB1D1
C．直线A1C与BD是异面直线D．直线EF与HG所成角的正切值为3
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=c，且sin2Bsin2A=21+3sinB，则B=（ ）
A．π3B．2π3C．3π4D．5π6
8．如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，PA=PB=PC．E，F分别是PA，AB的中点，EC⋅EF=0，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为（ ）
A．6πB．823πC．263πD．42π
二、多选题
9．下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为1:3的是（ ）
A．底面半径为1，高为2的圆锥B．底面半径为1，高为2的圆柱
C．上、下底面半径分别为12，32，高为2的圆台D．半径为1的球
10．已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且△ABC的面积为34a2+c2−b2.则下列说法正确的是（ ）
A．B=π3
B．A的取值范围为π6,π2
C．若b=3，则△ABC的外接圆的半径为2
D．若a=3，则△ABC的面积的取值范围为338,332
11．已知点P为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上一动点，四边形ABCD为正方形，AA1=2AB=4，E为AB的中点，F为DD1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．过A1，C1，E三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为3332
B．过C1，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形
C．若D1P∥平面A1C1E，则点P的轨迹长度为217+2
D．若动点P到棱BB1的距离为3，则点P的轨迹长度为3π+8
三、填空题
12．若复数z满足1+iz=1+3i，则z的虚部为__________.
13．已知平面向量与a与b满足a=2，b=4，且a在b方向上的投影向量为−12b，则a+b=__________．
14．已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为163，AB=2，且底面A1B1C1D1内（包含边界）一动点P满足PA=83，则点P的轨迹长度为______．
四、解答题
15．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且b2+c2+bc=a2.
(1)求角A；
(2)若a=23，b+c=4，求△ABC的面积.
16．如图，在菱形ABCD中，若AB=3，∠BAD=60°，BE=13BC，CF=2FD．
(1)若AE=λAB+μAD，FE=xAB+yAD，求λ,μ,x,y的值；
(2)求|AE|以及AE⋅FE的值．
17．如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，BC=CC1，M，N，P分别是CC1，AB，BB1的中点.

（1）求证：平面NPC//平面AB1M；
（2）求证：AB1⊥平面A1MB
18．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面B1BCC1，AC=BC，AC⊥BC，且AC=2AA1=2A1C1=2C1C=2．
(1)证明：AC1⊥BC；
(2)求直线AC1与平面A1B1C1所成的角的大小；
(3)线段B1B上是否存在点E，使得二面角E−AC−B的平面角正切值为34？若存在，求出线段BE的长，若不存在，请说明理由．
19．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．
(1)已知sinA=cs2B−cs2CsinA−sinB，求∠C；
(2)若△ABC是锐角三角形，∠C为（1）中所求，H为△ABC的垂心，且CH=3，求3CH−AHBH的取值范围；
(3)若b=3a，令t=sinB3csA+3csB，试求t的最大值．
《江西南昌市江西科技学院附属中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题》参考答案
1．A
2．D
3．B
4．A
5．B
6．D
7．D
8．A
9．BD
10．ABD
11．ABD
12．1
13．2
14．23π9
15．(1)2π3
(2)3
16．(1)λ=1，μ=13，x=23，y=−23
(2)13；2
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；
18．(1)证明：三棱台ABC−A1B1C1中，平面ABC//平面A1B1C1，A1C1//AC，
又AC=2AA1=2A1C1=2C1C=2，所以四边形ACC1A1为等腰梯形，易得∠ACC1=π3.
在△ACC1中，AC12=AC2+CC12−2AC⋅CC1⋅cs∠ACC1=22+12−2×2×1×12=3，
则AC1=3，所以AC12+CC12=AC2，所以AC1⊥CC1.
又平面A1ACC1⊥平面B1BCC1，平面A1ACC1∩平面B1BCC1=CC1，AC1⊂平面A1ACC1，
所以AC1⊥平面B1BCC1.
因为BC⊂平面B1BCC1，所以AC1⊥BC.
(2)π6
(3)存在，BE=223
19．(1)π3
(2)12,1
(3)12
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
A
B
D
D
A
BD
ABD
题号
11









答案
ABD