吉林松原市吉林油田高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案

这是一份吉林松原市吉林油田高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．1−3i2=（ ）
A．−8+6iB．−8−6iC．8+6iD．8−6i
2．在△ABC中，BC=2，AC=1+3，AB=6，则A=（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
3．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若m⊥l,n⊥l，则m//nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α//β
C．若m⊥α，m∥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
4．如图，在矩形ABCD中，E, F分别为CD, CB中点，G为线段EF上的一点，且GF=−2GE，若AG=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．32B．23C．2D．12
5．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、22，侧棱长为10，则该正四棱台的体积为（ ）
A．14B．15C．16D．18
6．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2026年2月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ）
A．若调查的游客中青年人有225人，则一共调查了500人
B．估计2026年2月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%
C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有12人，则中年人有21人
D．估计2026年2月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半
7．黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于A, B两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择A景点出游的概率为415，选择B景点出游的概率为215，A, B两个景点都不选的概率为710，则A, B两个景点都选的概率为（ ）
A．115B．110C．215D．415
8．在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，若sinA+C=2Sb2−a2，则tanA+13tanB−A的取值范围为（ ）
A．233,+∞B．233,+∞C．233,43D．233,1039
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．样本的方差s2=120x1−32+x2−32+⋯+x20−32，则这组样本数据总和等于60
B．若样本数据x1,x2,⋯,x10标准差为8，则数据2x1−1,2x2−1,⋯,2x10−1的标准差为32
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小
10．（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（ ）
A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球
C．至少一个红球；都是白球D．至多一个红球；都是红球
11．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）

A．三棱锥C1−A1B1P的体积为定值
B．正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球表面积为8π
C．若FP//平面ABC1D1，则P的轨迹长度为2
D．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面面积是92
三、填空题
12．现有一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），投掷两次此骰子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为______.
13．《几何原本》第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若AB,CD是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD=π3，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为________．
14．已知非零向量a，b，c满足=60°，a=2，对于任意实数λ满足a−λb≥a−b，c−4b⋅c−a=0，则a⋅c的最大值是__________．
四、解答题
15．已知向量a，b满足，a=2，b=23，a，b的夹角为π6.
(1)a−2b；
(2)若ka+2b与a−2b的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
16．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．

(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：
①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
17．如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AC∩BD=H，且H为AC的中点，又点E为PC的中点，AD=CD=1，DB=32.
(1)证明：PA//平面BDE；
(2)证明：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值.
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=acsC+33sinC，
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC中点， AD=13， b=3c，求边a；
(3)若△ABC为锐角三角形，且a=2，求△ABC的周长最大值．
19．在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A,B,C,D，其中A对阵其他三个队伍时获胜的概率均为p(0