2025-2026学年吉林省松原市宁江区吉林油田高级中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年吉林省松原市宁江区吉林油田高级中学高一（下）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ）
A. A，B，C三点共线B. A，B，D三点共线C. A，C，D三点共线D. B，C，D三点共线
3.已知平面α和两条不同的直线m、n,则下列说法正确的是（ ）
A. 若m上有无数个点不在α内，则m∥α
B. 若m∥α，则m与α内的任意一条直线都没有公共点
C. 若m∥α，则m平行于α内的任意一条直线
D. 若m∥n,且m∥α，则n∥α
4.已知，则=（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在△ABC中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么=（ ）
A.
B.
C.
D.
6.把函数y=f（x）图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sinx的图像，则f（x）=（ ）
A. B. C. D.
7.已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆O的半径为2，A、B是圆上两点且，MN是一条直径，点C在圆内且满足，则的最小值为（ ）
A. -3
B. -4
C. -2
D. -1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列各式中运算正确的是（ ）
A.
B.
C. tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1
D.
10.已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，x=-10
B. 若和的夹角为锐角，则
C. 当x=-3时，在方向上的投影向量为
D. 若，则和的夹角为45°
11.《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边a,b,c,求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上.余四约之，为实：一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S=.现有△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3：，且△ABC的面积S=6，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ）
A. △ABC的周长为B. △ABC三个内角A，B，C满足2C=A+B
C. △ABC外接圆的直径为D. △ABC的中线CD的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且O′A′=A′B′，其中斜边，则这个平面图形的面积是 .
13.已知函数的部分图象如图所示，则φ为 .
14.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点.若，则的值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，.
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数m的值.
16.(本小题15分)
在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：
顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米；
核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米.
（1）求灯笼总体积；（单位：分米3）
（2）已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米2）
17.(本小题15分)
已知，，.
（1）求cs（β-α）的值；
（2）求的值.
18.(本小题17分)
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,.
（1）求角A的大小.
（2）若b+c=4，△ABC的面积为，求a的值.
（3）若b=1，，点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长.
19.(本小题17分)
如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成θ（0＜θ＜π）角的两条数轴，分别是与x,y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下，则把有序数对（a,b）叫做向量的仿射坐标，记为.
（1）若，求的模长；
（2）若，有同学认为“”的充要条件是“x1x2+y1y2=0”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
（3）设，若对∀t∈R恒成立，求csα的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）题意得，，，
∵，
∴-12（2-4k）+10（3k+5）=0，
解得；
（2）由题意得，，=（5，2），
∵，
∴，
解得．
16.【答案】分米3 分米2
17.【答案】解：（1）因为，，
所以，．
所以cs（β-α）=csβcsα+sinβsinα
=．
（2）
=．
18.【答案】
19.【答案】；
不正确，理由见解答；
．