2026—2027 学年人教版数学八年级上册期中测试含答案（测试范围：第十三章—第十五章）

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一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．据中国载人航天工程办公室消息，2026年，中国载人航天工程将深入贯彻落实“十五五”规划部署，在新起点上深化推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，努力为加快建设航天强国作出更大贡献．下列关于航天航空领域的图标，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意；
B． 该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C． 该图形是轴对称图形，符合题意；
D． 该图形不是轴对称图形，不符合题意．
2．三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【详解】解：设第三边长为，根据三角形三边关系可得：，
即，
则只有选项A符合．
3．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本事实：进行分析判断即可．
【详解】解：在Rt≌Rt中，，
A．添加，无法证明，故此选项不符合题意；
B．添加，无法证明，故此选项不符合题意；
C．添加，可以用“”证明，故此选项符合题意；
D．添加，无法证明，故此选项不符合题意.
4．若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】分的角是顶角和底角时，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
若的角是底角，则底角为，
此时顶角为，符合三角形内角和定理；
若的角是顶角，
∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，
∴底角为，
∴该等腰三角形的底角为或．
5．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定的依据是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点重合，
∴，
∵，，
∴．
6．将三角板按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上，若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和为与平行线的性质求解即可．
【详解】解：在中，，
∴；
∵，，
∴，即，
解得．
7．如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（ ）
A．9B．12C．13D．14
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长．
【详解】解：，
，，
的周长．
8．如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项．
【详解】解：A．∵是的中线，
∴，
∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意；
B．∵是角平分线，
∴，
∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即B选项正确；
C．∵，
∴，解得：，即C选项正确；
D．∵，
∴，
∵，
∴，即，故D选项，错误，符合题意．
9．如图，在中，，分别垂直平分，，垂足分别为，，且分别交于点，．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据垂直平分线性质得出，，进而利用等边对等角求出和，最后利用三角形内角和求出，通过角度相减即可求解．
【详解】解：垂直平分，垂直平分，
，，
，，
，
．
10．如图，已知，点M、N分别是边、上的定点，点P、Q分别是边、上的动点，记，，当最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，
，，
，
，
．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____．
【答案】
【分析】关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为．
12．年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________．
【答案】稳定性
【详解】解：生活中利用三角形构造支撑结构，应用了三角形具有稳定性的原理，因此该应用的数学原理是三角形具有稳定性．
13．如图，已知，，，则的度数为______．
【答案】/100度
【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
14．如图，小丁和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM，于F，于E．小丁在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，已知C，M，D三点共线，与互余，且，，．则办公楼的高度________．
【答案】/11米
【分析】先证明，根据全等三角形的性质得到，即可求解．
【详解】解：∵与互余，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴．
∴．
则办公楼的高度为．
15．如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________．
【答案】2
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差．
【详解】解：∵是中边上的中线，
∴，
∴
．
16．如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，，则的长为________．
【答案】
【分析】延长和交于点构造等边三角形，设，利用题目所给条件推出，从而由可得，从而得出，设，在中利用所对的边是斜边的一半用表示出，由等量关系解出的值即可．
【详解】解：如图，延长和交于点，
，
，
是等边三角形，
，
设，则，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
，解得，
．
三、解答题：本题共8小题，共72分.
17．（6分）如图，在和中，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据两边及其夹角相等证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．（6分）
18．（8分）已知的三边长为，
(1)若，求边长的取值范围；
(2)化简．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键．
（1）直接根据三角形的三边关系求解即可；
（2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可．
【详解】（1）解：，
，即；（4分）
（2）解：的三边长为，
，
原式
．（8分）
19．（8分）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）．
如图，已知和两条公路，、是两个村庄，在美好乡村建设中，为方便广大村民出行方便，拟建立一个公交车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到、两条公路的距离相等．
【答案】解：如图，点为所求．
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质，以及角平分线和线段垂直平分线的尺规作图．作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为点．
【详解】略（8分）
20．（8分）如图，已知，．
(1)与平行吗？
(2)若平分，于点A，且，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，垂线的定义，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．
（1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行可得结论；
（2）由， 得到，则可得出，再根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；（4分）
（2）解：∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴．（8分）
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
(1)画出与关于y轴对称的图形．（点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应）
(2)在（1）的作图下，点F的坐标为________．
(3)在y轴上找一点P，使的值最小．（在图中标出点P，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了轴对称作图，轴对称---最短路径问题等知识点．
（1）分别作出点关于y轴对称的点，再顺次连接即可；
（2）根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变求解即可；
（3）连接与轴交点即为点，由于关于轴对称，则，那么，故此时最小．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（3分）
（2）解：点F的坐标为，
故答案为：；（6分）
（3）解：如图，点即为所求
（10分）
22．（10分）如图，，分别是的高和角平分线．
(1)若，，求和的度数；
(2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到；
（2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式．
【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：，
是的角平分线，
，
在中，由三角形内角和定理得：，
是的高，
，
在中，，
；（5分）
（2）解：在中，由三角形内角和定理得：，
是的角平分线，
，
在中，由三角形内角和定理得：，
是的高，
，
在中，，
．（10分）
23．（10分）已知，于点，平分，交于点．
(1)如图1，若，，则______；
(2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长．
【答案】(1)50
(2)
【分析】（1）依据角平分线定义得，结合，用证，由全等性质得，结合求出．
（2）作，由得（等腰三线合一），结合推出，再用证明，得．
【详解】（1）解：平分，
，
在和中，
，
，
，
，
．（5分）
（2）解：过点作于点，如图2所示：
，
，
，
，
，
又，
，
，
平分，于点，于点，
，，
在和中，
，
，
．（10分）
24．（12分）【理解问题】
如图1，在和中，，，点，在底边的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形．叫做美好等腰三角形，在美好等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，连接顶角顶点的线段叫做轴线．如图1中和是腰角，线段是轴线．
(1)【拟定计划】
小颖通过测量、折纸的方法猜想美好等腰三角形有以下性质：美好等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边．小颖利用图1给出如下已知、求证，请帮助小颖完成证明．
已知：如图1，和是美好等腰三角形，连接．求证：，所在直线是线段的垂直平分线．
(2)【实施计划】
如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是美好等腰三角形．
(3)【回顾反思】小颖反思证明思路，在图2的基础上继续探究：分别连接，，若，请直接写出的度数．
【答案】(1)证明：和是美好等腰三角形，
，，
，，
，即．
，
点在线段的垂直平分线上．
，
点在线段的垂直平分线上，
，所在直线是线段的垂直平分线；
(2)证明：如图，作射线交于点．
，
．
.
，
．
．
．
，
．
．
，
．
．
．
，
．
．
点在线段上，且，则和是美好等腰三角形
(3)
【分析】（1）利用美好等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明；
（2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证；
（3）证明垂直平分得，从而，设，根据可求出，进而可求出的度数.
【详解】（1）略（4分）
（2）略（8分）
（3）解：如图3，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴．
设．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴.（12分）