2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第25章 一元二次方程 专项训练卷

这是一份2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第25章 一元二次方程 专项训练卷，共88页。试卷主要包含了请写出一个一元二次方程，x+2k+2＝0，等内容，欢迎下载使用。
1．（2026春•苏州期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣3＝0B．x2＝4C．x+1x=2D．2x+5＝8
2．（2026春•临安区月考）若方程E+2x＝1是关于x的一元二次方程，则代数式E可以是（ ）
A．﹣xB．﹣x2C．22D．y2
3．（2026•淄博模拟）若方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．不存在
4．（2026春•牟平区期中）下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④1x=0，⑤x2−x2=5，⑥x2+x−2=0，是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2025秋•丰满区期末）请写出一个一元二次方程： ．
6．（2026春•裕安区校级月考）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0，
（1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
二．一元二次方程的一般形式（共6小题）
7．（2026春•金安区校级期中）方程2x2﹣6x＝9的二次项系数是2，则一次项系数，常数项分别为（ ）
A．6，﹣9B．﹣6，9C．﹣6，﹣9D．6，9
8．（2026春•寿县月考）把一元二次方程x2﹣2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0B．x2﹣5x+2＝0C．x2﹣x﹣2＝0D．x2﹣x+2＝0
9．（2026春•淄川区期中）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般形式，得到x2﹣ax+10＝0，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．7D．﹣7
10．（2026春•义乌市校级月考）将一元二次方程（x﹣1）（2x+3）＝1化为一般形式为 ．
11．（2025秋•象州县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m＝ ．
12．（2026春•同步）判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的各项系数和常数项．
（1）2x（x﹣3）＝10；
（2）3m2+2＝2（2m+1）；
（3）x（3+x2）+1＝5；
（4）3y﹣5＝4（2﹣y）；
（5）（2k﹣3）（k+5）＝7k；
（6）2x（x+3）＝6x．
三．一元二次方程的解（共6小题）
13．（2026•河南）已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx＝6的一个根，则m的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
14．（2026春•南湖区校级期末）若a是关于x的方程2x2﹣x﹣4＝0的一个实根，则代数式a2−a2+2026的值是（ ）
A．2025B．2026C．2027D．2028
15．（2026春•金安区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（ ）
A．x＝2024B．x＝2025C．x＝2026D．x＝2027
16．（2026•朝阳区校级二模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的解，则代数式11﹣4a﹣2b的值是 ．
17．（2026春•寿县月考）已知m是关于x的一元二次方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，求代数式m2−2025m+20261+m2的值．
18．（2026春•西湖区校级月考）已知a是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根．
（1）求2a2+2a的值；
（2）求a3﹣2a+2026的值．
四．解一元二次方程-配方法（共7小题）
19．（2026•龙海区校级模拟）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0时，配方后的等式为（ ）
A．（x+1）2＝2B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝2D．（x+2）2＝4
20．（2026春•柯桥区期中）将一元二次方程x2﹣6x＝1配方，得到方程x2﹣6x+▲＝1+▲，其中“▲”表示的数是（ ）
A．3B．6C．9D．10
21．（2026春•钱塘区校级期中）将一元二次方程x2﹣4x﹣2024＝0转化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．2025B．2026C．2027D．2028
22．（2026春•新昌县期中）用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上 ．
23．（2026春•临安区期中）已知关于x的方程x2﹣mx+n＝0通过配方可变形为(x−14)2=1516，则mn的值为 ．
24．（2026春•泰兴市期末）解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣4＝0；
（2）x2﹣4x＝2．
25．（2026春•高新区校级期中）解方程：
（1）4x2+2＝66；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0．
五．解一元二次方程-公式法（共6小题）
26．（2026春•合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（ ）
A．a＝﹣4，b＝5，c＝3B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3
C．a＝4，b＝5，c＝3D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3
27．（2026•福州校级模拟）若关于x的一元二次方程的根为x=1±(−1)2−4×3×(−5)2×3，则这个方程是（ ）
A．3x2+x﹣5＝0B．3x2﹣x﹣5＝0C．x2﹣3x﹣5＝0D．x2+3x﹣5＝0
28．（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（ ）
A．−11+1096B．−11+1336C．11+1096D．11+1336
29．（2026•鼓楼区校级模拟）定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为 ．
30．（2026•广东校级二模）解方程：2x2﹣6x+4＝0．
31．（2026春•同步）用公式法解下列方程：
（1）x2﹣5x﹣6＝0；
（2）4x2+9＝12x；
（3）2x2−2x−1=0；
（4）23x2−16x−12=0．
六．解一元二次方程-因式分解法（共9小题）
32．（2026春•南京校级月考）一元二次方程x（x﹣2）＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
33．（2026•岳西县模拟）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab+2，若（2x﹣1）★（x+3）＝11，则x的值为（ ）
A．x1=12，x2＝﹣5B．x1=−12，x2＝5
C．x1＝﹣1，x2=52D．x1＝1，x2=−52
34．（2026春•绍兴期中）已知一元二次方程2x2+px+q＝0的两个根是3、﹣4，则二次三项式2x2+px+q可分解为（ ）
A．（x+3）（x﹣4）B．（x﹣3）（x+4）
C．2（x+3）（x﹣4）D．2（x﹣3）（x+4）
35．（2026•山东）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是 ．
36．（2026春•上城区校级期中）已知三角形的一条边边长为2，另外两边边长分别是方程x2﹣3x+2＝0的两个解，则这个三角形的周长为 ．
37．（2026春•高新区校级期末）解方程：
（1）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）；
（2）（x+2）（x﹣1）＝10．
38．（2026春•宁海县校级期中）解方程：
（1）x2+6x﹣16＝0；
（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）．
39．（2026春•海淀区校级月考）解方程：
（1）x2﹣7x+6＝0；
（2）（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0．
40．（2026•萧山区校级模拟）小明与小红两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
请判断小明与小红的解法是否正确，如果不正确，请写出你的解答过程．
七．根的判别式（共10小题）
41．（2026•广州校级二模）一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
42．（2026•天山区校级模拟）若关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
43．（2026•江阳区校级二模）已知关于x的方程ax2+4x﹣2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2B．a＞﹣2C．a≥﹣2且a≠0D．a≤2且a≠0
44．（2026•广州校级模拟）若5k+20＞0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判断
45．（2026•内江）对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如：3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x＝3的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
46．（2026•南山区校级三模）关于x的方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则正整数c的值可以是 ．（写出一个即可）
47．（2026•鄄城县三模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+n）x+mn＝0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是 ．
48．（2026春•泰兴市期末）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0．
（1）若m＝2，求方程的解；
（2）求证：无论m取何值，方程总有实数根．
49．（2026春•乐清市校级期中）已知一元二次方程ax2+（a﹣2）x+c＝0（a、c为常数，其中a≠0）．
（1）若x＝1，求2a+c的值；
（2）若a+c＝1，请判别方程根的情况．
50．（2025秋•洪湖市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0．
（1）求证：此方程有两个实数根；
（2）若方程的两根均小于0，求m的取值范围．
八．根与系数的关系（共10小题）
51．（2026•石家庄二模）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0两个根，则x1x2值为（ ）
A．5B．﹣5C．2D．﹣2
52．（2026•西塞山区模拟）关于x的方程x2+4x﹣m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2+x1x2＝﹣9，则m的值为（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
53．（2025秋•卢龙县期末）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且x12+x22=12，则b的值为（ ）
A．2B．﹣6C．2或﹣6D．6或﹣2
54．（2026春•南湖区校级期末）已知x1，x2是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则x13−6x22+40的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
55．（2026•广州校级模拟）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，则代数式（x1+3）（x2+3）的值为 ．
56．（2026春•高新区校级期末）已知不相等的实数a，b满足a2+4a＝12，b2+4b＝12，则代数式ab+ba的值等于 ．
57．（2026•任城区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，且x12+x22=9，则m的值为 ．
58．（2026•大冶市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值．
59．（2026春•滨江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
（3）在（2）的条件下，求x2x1+x1x2的值．
60．（2026春•柯桥区期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根．
（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）应用探究：已知实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b，求a2b+ab2的值．
（3）思维拓展：已知实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0，求2nm+m2n的值．
小明：
等号两边同除以（x﹣3），
得3＝x﹣3，
则x＝6．
小红：
移项得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
答案解析
一．一元二次方程的定义（共6小题）
1．（2026春•苏州期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣3＝0B．x2＝4C．x+1x=2D．2x+5＝8
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可．
【解答】解：A、x﹣3＝0只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意；
B、x2＝4只含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，符合题意；
C、x+1x=2中含有分式1x，不是整式方程，不符合题意；
D、2x+5＝8只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意．
故选：B．
2．（2026春•临安区月考）若方程E+2x＝1是关于x的一元二次方程，则代数式E可以是（ ）
A．﹣xB．﹣x2C．22D．y2
【答案】B
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答．
【解答】解：∵方程E+2x＝1是关于x的一元二次方程，
∴根据一元二次方程的定义，选项中要有x的2次方，而且不能含有其它未知数，
观察各选项，唯有B选项正确，符合题意，
故选：B．
3．（2026•淄博模拟）若方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．不存在
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【解答】解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，
∵方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，
∴|a|﹣1＝2且a+3≠0，
解得a＝3，
故选：B．
4．（2026春•牟平区期中）下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④1x=0，⑤x2−x2=5，⑥x2+x−2=0，是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可．
【解答】解：①2x2﹣1＝0是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程，
②ax2+bx+c＝0中当a＝0时，它不是一元二次方程，
③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3整理得﹣x﹣6＝﹣3，它不是一元二次方程，
④1x=0不是一元二次方程，
⑤x2−x2=5是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程，
⑥x2+x−2=0不是一元二次方程，
综上，一元二次方程有2个，
故选：B．
5．（2025秋•丰满区期末）请写出一个一元二次方程： 2x2+3x﹣4x＝0（答案不唯一） ．
【答案】2x2+3x﹣4x＝0（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程的定义即形如ax2+bx+c＝0（a≠0）的整式方程判断．
【解答】解：根据一元二次方程的定义，任意写出一个一元二次方程为：2x2+3x﹣4x＝0．
故答案为：2x2+3x﹣4x＝0（答案不唯一）．
6．（2026春•裕安区校级月考）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0，
（1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
【答案】（1）k≠±1；（2）k＝﹣1．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程，
∴k2﹣1≠0，
∴k≠±1，
所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程；
（2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程，
∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0，
∴k＝﹣1，
∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程．
二．一元二次方程的一般形式（共6小题）
7．（2026春•金安区校级期中）方程2x2﹣6x＝9的二次项系数是2，则一次项系数，常数项分别为（ ）
A．6，﹣9B．﹣6，9C．﹣6，﹣9D．6，9
【答案】C
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数，和常数项即可．
【解答】解：由题意，∵2x2﹣6x＝9，
∴2x2﹣6x﹣9＝0，
∴方程2x2﹣6x＝9的一次项系数是﹣6，常数项是﹣9，
故选：C．
8．（2026春•寿县月考）把一元二次方程x2﹣2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0B．x2﹣5x+2＝0C．x2﹣x﹣2＝0D．x2﹣x+2＝0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的一般形式解答即可．
【解答】解：x2﹣2（x﹣1）＝3x，
x2﹣2x+2﹣3x＝0，
x2﹣5x+2＝0，
故一元二次方程x2﹣2（x﹣1）＝3x化成一般形式为x2﹣5x+2＝0．
故选：B．
9．（2026春•淄川区期中）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般形式，得到x2﹣ax+10＝0，则a的值为（ ）
A．3B．﹣3C．7D．﹣7
【答案】A
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
【解答】解：x（x+2）＝5（x﹣2），
方程整理得：x2﹣3x+10＝0，
则a＝3．
故选：A．
10．（2026春•义乌市校级月考）将一元二次方程（x﹣1）（2x+3）＝1化为一般形式为 2x2+x﹣4＝0 ．
【答案】2x2+x﹣4＝0．
【分析】首先去括号，移项，合并同类项，把右边化为0，变为一般式即可．
【解答】解：（x﹣1）（2x+3）＝1，
2x2+3x﹣2x﹣3＝1，
2x2+x﹣4＝0，
故答案为：2x2+x﹣4＝0．
11．（2025秋•象州县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】关于x一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是为0，则m2﹣3m+2＝0，解出关于m的一元二次方程，并且注意而二次项系数m﹣2≠0，两者结合求得m的值．
【解答】解：根据他题意可知，m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2；
又∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m1＝1．
故答案为：1．
12．（2026春•同步）判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的各项系数和常数项．
（1）2x（x﹣3）＝10；
（2）3m2+2＝2（2m+1）；
（3）x（3+x2）+1＝5；
（4）3y﹣5＝4（2﹣y）；
（5）（2k﹣3）（k+5）＝7k；
（6）2x（x+3）＝6x．
【答案】（1）是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数﹣6、常数项﹣10；
（2）是一元二次方程，它的二次项系数为3、一次项系数﹣4、常数项0；
（3）不是一元二次方程；
（4）不是一元二次方程；
（5）是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项﹣15；
（6）是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项0．
【分析】（1）根据一元二次方程的相关概念解答即可；
（2）根据一元二次方程的相关概念解答即可；
（3）根据一元二次方程的相关概念解答即可；
（4）根据一元二次方程的相关概念解答即可；
（5）根据一元二次方程的相关概念解答即可；
（6）根据一元二次方程的相关概念解答即可．
【解答】解：（1）2x（x﹣3）＝10，
原方程整理，得：2x2﹣6x﹣10＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数﹣6、常数项﹣10；
（2）3m2+2＝2（2m+1）；
原方程整理，得：3m2﹣4m＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为3、一次项系数﹣4、常数项0；
（3）x（3+x2）+1＝5；
原方程整理，得：x3+3x﹣4＝0，不是一元二次方程；
（4）3y﹣5＝4（2﹣y）；
原方程整理，得：7y﹣13＝0，不是一元二次方程；
（5）（2k﹣3）（k+5）＝7k；
原方程整理，得：2k2﹣15＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项﹣15；
（6）2x（x+3）＝6x．
原方程整理，得：2x2＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项0．
三．一元二次方程的解（共6小题）
13．（2026•河南）已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx＝6的一个根，则m的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入关于x的方程x2﹣mx＝6中即可求出m的值．
【解答】解：把x＝2代入关于x的方程x2﹣mx＝6中，得22﹣2m＝6，
解得m＝﹣1，
故选：D．
14．（2026春•南湖区校级期末）若a是关于x的方程2x2﹣x﹣4＝0的一个实根，则代数式a2−a2+2026的值是（ ）
A．2025B．2026C．2027D．2028
【答案】D
【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值．
【解答】解：由条件可知2a2﹣a﹣4＝0，
∴a2−a2=2，
∴a2−a2+2026=2+2026=2028．
故选：D．
15．（2026春•金安区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（ ）
A．x＝2024B．x＝2025C．x＝2026D．x＝2027
【答案】C
【分析】根据已知易得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，从而可得x﹣2＝2024，然后进行计算即可解答．
【解答】解：a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2，
整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，
∵方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，
∴x﹣2＝2024，
解得：x＝2026，
故选：C．
16．（2026•朝阳区校级二模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的解，则代数式11﹣4a﹣2b的值是 9 ．
【答案】9．
【分析】根据一元二次方程根的定义，将x＝2代入原方程，求出4a+2b的值，再整体代入所求代数式计算即可．
【解答】解：由条件可得：a•22+b•2﹣2＝0，
整理得 4a+2b＝2，
∴11﹣4a﹣2b＝11﹣（4a+2b）＝11﹣2＝9．
故答案为：9．
17．（2026春•寿县月考）已知m是关于x的一元二次方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，求代数式m2−2025m+20261+m2的值．
【答案】2025．
【分析】由m是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根可得m2﹣2025m＝m﹣1，m2+1＝2026m，m+1m=2026，然后逐步代入求解即可．
【解答】解：由条件可知m2﹣2026m+1＝0．
∴m2﹣2025m＝m﹣1，m2+1＝2026m，
∵m＝0时，方程左边等于1，不等于右边，
∴m≠0，
把m2+1＝2026m的两边都除以m得，m+1m=2026．
∴m2−2025m+20261+m2=m−1+20262026m=m+1m−1=2026−1=2025．
18．（2026春•西湖区校级月考）已知a是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根．
（1）求2a2+2a的值；
（2）求a3﹣2a+2026的值．
【答案】（1）2；
（2）2025．
【分析】（1）根据a是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，得到a2+a＝1，整体代入法求值即可；
（2）利用降幂和整体代入法进行计算即可．
【解答】解：（1）由条件可知a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴2a2+2a＝2（a2+a）＝2；
（2）由条件可知a2＝1﹣a，
∴a3﹣2a+2026＝a•a2﹣2a+2026
＝a•（1﹣a）﹣2a+2026
＝a﹣a2﹣2a+2026
＝﹣a2﹣a+2026
＝﹣（a2+a）+2026
＝﹣1+2026＝2025．
四．解一元二次方程-配方法（共7小题）
19．（2026•龙海区校级模拟）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0时，配方后的等式为（ ）
A．（x+1）2＝2B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝2D．（x+2）2＝4
【答案】B
【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，整理即可得到结果．
【解答】解：原方程移项得x2+2x＝3，
一次项系数为2，其一半的平方为12＝1，等式两边同时加1得x2+2x+1＝3+1，
整理得（x+1）2＝4．
故选：B．
20．（2026春•柯桥区期中）将一元二次方程x2﹣6x＝1配方，得到方程x2﹣6x+▲＝1+▲，其中“▲”表示的数是（ ）
A．3B．6C．9D．10
【答案】C
【分析】根据配方法的步骤作答即可．
【解答】解：根据配方法的步骤可知：一次项系数一半的平方为（−62）2＝9，
∴配方时方程两边需同时加上9，
即“▲”表示的数是9．
故选：C．
21．（2026春•钱塘区校级期中）将一元二次方程x2﹣4x﹣2024＝0转化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．2025B．2026C．2027D．2028
【答案】B
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣2024＝0，
x2﹣4x＝2024，
x2﹣4x+4＝2024+4，
（x﹣2）2＝2028，
∵一元二次方程x2﹣4x﹣2024＝0转化为（x+a）2＝b的形式，
∴a＝﹣2，b＝2028，
∴a+b＝﹣2+2028＝2026．
故选：B．
22．（2026春•新昌县期中）用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上 9 ．
【答案】9．
【分析】当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方，即可解答．
【解答】解：用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上9，
故答案为：9．
23．（2026春•临安区期中）已知关于x的方程x2﹣mx+n＝0通过配方可变形为(x−14)2=1516，则mn的值为 −47 ．
【答案】−47．
【分析】根据题意，将方程(x−14)2=1516展开即可解决问题．
【解答】解：由(x−14)2=1516得，
x2−12x+116=1516，
x2−12x−78=0，
所以m=12，n=−78，
所以mn=12−78=−47．
故答案为：−47．
24．（2026春•泰兴市期末）解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣4＝0；
（2）x2﹣4x＝2．
【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x1=6+2，x2=−6+2．
【分析】（1）利用直接开平方解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）原方程移项可得：
（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）原方程配方可得：
x2﹣4x+4＝2+4，
（x﹣2）2＝6，
∴x−2=6或x−2=−6，
∴x1=6+2，x2=−6+2．
25．（2026春•高新区校级期中）解方程：
（1）4x2+2＝66；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0．
【答案】（1）x1＝﹣4，x2＝4；
（2）x1=2+142，x2=2−142．
【分析】（1）将原方程整理，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）将原方程整理后利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）4x2+2＝66，
整理得：4x2＝64，
则x2＝16，
直接开平方得：x＝±4，
即x1＝﹣4，x2＝4；
（2）2x2﹣4x﹣5＝0，
整理得：2x2﹣4x＝5，
即x2﹣2x=52，
配方得：x2﹣2x+1=52+1，
即（x﹣1）2=72，
直接开平方得：x﹣1＝±142，
解得：x1=2+142，x2=2−142．
五．解一元二次方程-公式法（共6小题）
26．（2026春•合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（ ）
A．a＝﹣4，b＝5，c＝3B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3
C．a＝4，b＝5，c＝3D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3
【答案】B
【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．
【解答】解：∵﹣4x2+3＝5x
∴﹣4x2﹣5x+3＝0，或4x2+5x﹣3＝0
∴a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3或a＝4，b＝5，c＝﹣3．
故选：B．
27．（2026•福州校级模拟）若关于x的一元二次方程的根为x=1±(−1)2−4×3×(−5)2×3，则这个方程是（ ）
A．3x2+x﹣5＝0B．3x2﹣x﹣5＝0C．x2﹣3x﹣5＝0D．x2+3x﹣5＝0
【答案】B
【分析】通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为x=1±(−1)2−4×3×(−5)2×3，
∴x=−b±b2−4ac2a=1±(−1)2−4×3×(−5)2×3，
∴﹣b＝1，2a＝6，
解得b＝﹣1，a＝3，
∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣5），
∴c＝﹣5，
∴原方程为3x2﹣x﹣5＝0，
故选：B．
28．（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（ ）
A．−11+1096B．−11+1336C．11+1096D．11+1336
【答案】D
【分析】依据题意，利用公式法即可求解．
【解答】解：由题意得，a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，
∴x=11±1332×3=11±1336，
∵方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，
∴a的值为11+1336，
故选：D．
29．（2026•鼓楼区校级模拟）定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为x1=1+32，x2=1−32 ．
【答案】x1=1+32，x2=1−32．
【分析】根据题意列出代数式进行计算即可．
【解答】解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣1，2☆x＝0，
∴2x2﹣2x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝4+8＝12，
∴x=2±122×2=2±234=1±32，
∴x1=1+32，x2=1−32．
故答案为：x1=1+32，x2=1−32．
30．（2026•广东校级二模）解方程：2x2﹣6x+4＝0．
【答案】x1＝2，x2＝1．
【分析】利用公式法解方程即可．
【解答】解：a＝2，b＝﹣6，c＝4，
b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×4＝4＞0，
x=6±24，
∴x1＝2，x2＝1．
31．（2026春•同步）用公式法解下列方程：
（1）x2﹣5x﹣6＝0；
（2）4x2+9＝12x；
（3）2x2−2x−1=0；
（4）23x2−16x−12=0．
【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝6；
（2）x1=x2=32；
（3）x1=2−104，x2=2+104；
（4）x1=−34，x2=1．
【分析】利用公式法依次对所给一元二次方程进行求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣6）＝49＞0，
则x=5±492，
所以x1＝﹣1，x2＝6；
（2）4x2+9＝12x，
4x2﹣12x+9＝0，
Δ＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0，
则x=12±02×4，
所以x1=x2=32；
（3）2x2−2x−1=0，
Δ=(−2)2−4×2×(−1)=10＞0，
则x=2±102×2，
所以x1=2−104，x2=2+104；
（4）23x2−16x−12=0，
4x2﹣x﹣3＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×4×（﹣3）＝49＞0，
则x=1±492×4，
所以x1=−34，x2=1．
六．解一元二次方程-因式分解法（共9小题）
32．（2026春•南京校级月考）一元二次方程x（x﹣2）＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝﹣2
【答案】C
【分析】根据因式分解法求解即可．
【解答】解：∵原方程为x（x﹣2）＝0，
根据因式分解法求解可得：
x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2．
故选：C．
33．（2026•岳西县模拟）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab+2，若（2x﹣1）★（x+3）＝11，则x的值为（ ）
A．x1=12，x2＝﹣5B．x1=−12，x2＝5
C．x1＝﹣1，x2=52D．x1＝1，x2=−52
【答案】B
【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案．
【解答】解：∵a★b＝a2﹣ab+2，
∴（2x﹣1）★（x+3）＝（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x+3）+2，
又∵（2x﹣1）★（x+3）＝11，
∴（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x+3）+2＝4x2﹣4x+1﹣（2x2+5x﹣3）+2＝11，
即2x2﹣9x﹣5＝0，
（2x+1）（x﹣5）＝0，
解得：x1=−12，x2＝5，
故选：B．
34．（2026春•绍兴期中）已知一元二次方程2x2+px+q＝0的两个根是3、﹣4，则二次三项式2x2+px+q可分解为（ ）
A．（x+3）（x﹣4）B．（x﹣3）（x+4）
C．2（x+3）（x﹣4）D．2（x﹣3）（x+4）
【答案】D
【分析】根据方程2x2+px+q＝0的两个根为3，﹣4，可将二次三项式分解因式．
【解答】解：∵一元二次方程2x2+px+q＝0的两个根为3，﹣4，
∴二次三项式2x2+px+q＝2（x﹣3）（x+4）．
故选：D．
35．（2026•山东）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是 2 ．
【答案】2．
【分析】由（x﹣2）（x﹣m）＝0，可得出x＝2或x＝m，进而可得出方程另一个根是2．
【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣m）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣m＝0，
∴x＝2或x＝m，
∴方程另一个根是2．
故答案为：2．
36．（2026春•上城区校级期中）已知三角形的一条边边长为2，另外两边边长分别是方程x2﹣3x+2＝0的两个解，则这个三角形的周长为 5 ．
【答案】5．
【分析】利用因式分解法解方程x2﹣3x+2＝0，然后将它们相加并计算即可．
【解答】解：x2﹣3x+2＝0，
因式分解得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
那么这个三角形的三边长为2，2，1，
则2+2+1＝5，
即这个三角形的周长为5，
故答案为：5．
37．（2026春•高新区校级期末）解方程：
（1）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）；
（2）（x+2）（x﹣1）＝10．
【答案】（1）x1＝5，x2=133；
（2）x1＝﹣4，x2＝3．
【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可；
（2）先把原方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）原方程移项得：
3（x﹣5）2﹣2（5﹣x）＝0，即3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（3x﹣15+2）＝0，
解得：x1＝5，x2=133．
（2）原方程整理得：
x2+x﹣2＝10，
∴x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝3．
38．（2026春•宁海县校级期中）解方程：
（1）x2+6x﹣16＝0；
（2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）．
【答案】（1）x1＝﹣8，x2＝2；
（2）x1=32，x2＝4．
【分析】（1）依据题意，由x2+6x﹣16＝0，则（x+8）（x﹣2）＝0，从而计算可以得解；
（2）依据题意，由（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），则（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，可得（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，从而计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵x2+6x﹣16＝0，
∴（x+8）（x﹣2）＝0．
∴x1＝﹣8，x2＝2；
（2）由题意，∵（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），
∴（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，
∴（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0．
∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0．
∴x1=32，x2＝4．
39．（2026春•海淀区校级月考）解方程：
（1）x2﹣7x+6＝0；
（2）（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0．
【答案】（1）x1＝1，x2＝6；
（2）x1＝0，x2=15．
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
【解答】解：（1）x2﹣7x+6＝0，
（x﹣1）（x﹣6）＝0，
x﹣1＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝1，x2＝6．
（2）（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0，
（5x﹣1）[（5x﹣1）+1]＝0，
（5x﹣1）（5x﹣1+1）＝0，
5x（5x﹣1）＝0，
5x＝0或5x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2=15．
40．（2026•萧山区校级模拟）小明与小红两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
请判断小明与小红的解法是否正确，如果不正确，请写出你的解答过程．
【答案】小明和小红的解法都不正确，解答过程如下：
3（x﹣3）＝（x﹣3）2，
3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，
（x﹣3）（6﹣x）＝0，
则x﹣3＝0或6﹣x＝0，
所以x1＝3，x2＝6．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤即可解决问题．
【解答】解：由题知，
小明和小红的解法都不正确，解答过程如下：
3（x﹣3）＝（x﹣3）2，
3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，
（x﹣3）（6﹣x）＝0，
则x﹣3＝0或6﹣x＝0，
所以x1＝3，x2＝6．
七．根的判别式（共10小题）
41．（2026•广州校级二模）一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
【答案】D
【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×4＝﹣7，
∵﹣7＜0，
∴原方程没有实数根．
故选：D．
42．（2026•天山区校级模拟）若关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【答案】C
【分析】根据题意求得根的判别式Δ＝4+4m＝0即可求解．
【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣m＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝﹣m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m，
∵方程有两个相等的实数根，
∴4+4m＝0，
解得：m＝﹣1，
故选：C．
43．（2026•江阳区校级二模）已知关于x的方程ax2+4x﹣2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣2B．a＞﹣2C．a≥﹣2且a≠0D．a≤2且a≠0
【答案】C
【分析】方程有两个实数根说明是一元二次方程，故二次系数a≠0，再利用判别式Δ≥0列不等式，求出a取值范围即可．
【解答】解：∵ax2+4x﹣2＝0有两个实数根，
∴a≠0Δ=42−4⋅a⋅(−2)≥0，
Δ＝16+8a≥0，
∴a≥﹣2，
综上：a≥﹣2且a≠0，
故选：C．
44．（2026•广州校级模拟）若5k+20＞0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法判断
【答案】C
【分析】先计算方程的判别式，再结合已知条件判断判别式的符号，即可得到根的情况．
【解答】解：由条件可知Δ＝42﹣4×1×（﹣k）＝16+4k＝4（k+4），
∵5k+20＞0，即5（k+4）＞0，
∴k+4＞0，
∴Δ＝4（k+4）＞0，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
45．（2026•内江）对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如：3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x＝3的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题意，得出关于x得方程，再利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为2☆x＝3，
所以2x2﹣2x＝3，
整理得，2x2﹣2x﹣3＝0，
则Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）＝28＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
46．（2026•南山区校级三模）关于x的方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则正整数c的值可以是 1（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【答案】1（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式得到c的取值范围，结合c是正整数即可写出符合条件的值．
【解答】解：由条件可得Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×c＞0，
整理得16﹣4c＞0，解得c＜4，
∵c是正整数，
∴c的值可以是1或2或3．
故答案为：1（答案不唯一）．
47．（2026•鄄城县三模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+n）x+mn＝0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是 有两个不相等的实数根 ．
【答案】有两个不相等的实数根．
【分析】先由数轴得出m+n和mn与0的关系，再计算判别式的值即可判断．
【解答】解：由数轴得m＞0，n＜0，m+n＞0，
∴mn＜0，
∴Δ＝（m+n）2﹣4mn＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
48．（2026春•泰兴市期末）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0．
（1）若m＝2，求方程的解；
（2）求证：无论m取何值，方程总有实数根．
【答案】（1）x1＝1，x2＝4；
（2）∵一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0，且a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝2m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×2m
＝4m2+4m+1﹣8m
＝4m2﹣4m+1
＝（2m﹣1）2，
∵（2m﹣1）2≥0，
∴Δ＝（2m﹣1）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有实数根．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）根据x2﹣（2m+1）x+2m＝0证明Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×2m≥0即可．
【解答】解：（1）当m＝2时，x2﹣（2m+1）x+2m＝0变形为x2﹣5x+4＝0，
∴（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得x1＝1，x2＝4．
（2）∵一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0，且a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝2m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×2m
＝4m2+4m+1﹣8m
＝4m2﹣4m+1
＝（2m﹣1）2，
∵（2m﹣1）2≥0，
∴Δ＝（2m﹣1）2≥0，
∴无论m取何值，方程总有实数根．
49．（2026春•乐清市校级期中）已知一元二次方程ax2+（a﹣2）x+c＝0（a、c为常数，其中a≠0）．
（1）若x＝1，求2a+c的值；
（2）若a+c＝1，请判别方程根的情况．
【答案】（1）2a+c＝2；
（2）方程有两个不相等的实数根，理由如下：
因为c＝1﹣a，
所以Δ＝（a﹣2）2﹣4ac
＝（a﹣2）2﹣4a（1﹣a）
=5(a−45)2+45，
因为(a−45)2+45≥45＞0，即Δ＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
【分析】（1）将x＝1代入原方程，即可求解；
（2）将a+c＝1代入判别式，计算Δ＞0，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝1时，原式＝a+a﹣2+c＝0，
∴2a+c＝2；
（2）因为c＝1﹣a，
所以Δ＝（a﹣2）2﹣4ac
＝（a﹣2）2﹣4a（1﹣a）
=5(a−45)2+45，
因为(a−45)2+45≥45＞0，即Δ＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
50．（2025秋•洪湖市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0．
（1）求证：此方程有两个实数根；
（2）若方程的两根均小于0，求m的取值范围．
【答案】（1）证明：Δ＝（m+1）2﹣4m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，
∴此方程有两个实数根；
（2）m＞0．
【分析】（1）根据判别式求解即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（m+1），x1x2＝m，据此可得不等式组x1+x2=−(m+1)＜0x1x2=m＞0，解不等式组即可得到答案．
【解答】（1）证明：Δ＝（m+1）2﹣4m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，
∴此方程有两个实数根；
（2）解：由条件可知x1+x2＝﹣（m+1），x1x2＝m，
∵方程的两根均小于0，
∴x1+x2=−(m+1)＜0x1x2=m＞0，
∴m＞0．
八．根与系数的关系（共10小题）
51．（2026•石家庄二模）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0两个根，则x1x2值为（ ）
A．5B．﹣5C．2D．﹣2
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0两个根，
所以x1x2＝﹣5．
故选：B．
52．（2026•西塞山区模拟）关于x的方程x2+4x﹣m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2+x1x2＝﹣9，则m的值为（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
【答案】D
【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式求解m，最后验证方程有实根即可．
【解答】解：由根与系数的关系可得：
x1+x2=−ba=−4，
x1x2=ca=−m，
又因为 x1+x2+x1x2＝﹣9，
将上述结果代入等式得﹣4﹣m＝﹣9，
解得 m＝5，
验证判别式：Δ＝42﹣4×1×（﹣5）＝36＞0，符合方程有两个实数根的条件，
因此m＝5．
故选：D．
53．（2025秋•卢龙县期末）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且x12+x22=12，则b的值为（ ）
A．2B．﹣6C．2或﹣6D．6或﹣2
【答案】A
【分析】由题意得到Δ＝b2+8b≥0，x1，x2，再由x12+x22=b2+4b，x12+x22=12得到方程b2+4b＝12，解得b，分别代入Δ＝b2+8b进行检验即可得到答案．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
∵x12+x22=12，
∴b2+4b＝12，
解得b，
当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意，
当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意，
∴b＝2，
故选：A．
54．（2026春•南湖区校级期末）已知x1，x2是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则x13−6x22+40的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】B
【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求式子的高次项降次，再结合一元二次方程根与系数的关系即可计算出结果．
【解答】解：由条件可知x12=5−x1，x22=5−x2，且由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣1，
对x13降次：x13=x1⋅x12=x1(5−x1)=5x1−x12=5x1−(5−x1)=6x1−5，
对6x22变形得：6x22=6(5−x2)=30−6x2，
将上述结果代入原式：x13−6x22+40=(6x1−5)−(30−6x2)+40=6(x1+x2)+5，
把x1+x2＝﹣1代入得：6×（﹣1）+5＝﹣1，
所以x13−6x22+40的值为﹣1．
故选：B．
55．（2026•广州校级模拟）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，则代数式（x1+3）（x2+3）的值为 24 ．
【答案】24．
【分析】根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，将所求代数式展开后整体代入计算即可．
【解答】解：由根与系数的关系得x1+x2=−−41=4，x1x2=31=3，
∴（x1+3）（x2+3）＝x1x2+3（x1+x2）+9＝3+3×4+9＝24．
故答案为：24．
56．（2026春•高新区校级期末）已知不相等的实数a，b满足a2+4a＝12，b2+4b＝12，则代数式ab+ba的值等于 −103 ．
【答案】−103．
【分析】根据a，b满足a2+4a＝12，b2+4b＝12得出a，b是一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系对称a+b＝﹣4，ab＝﹣12，把ab+ba变形为(a+b)2−2abab，把a+b＝﹣4，ab＝﹣12代入即可得出答案．
【解答】解：由条件可知a，b是一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝﹣4，ab＝﹣12，
∴ab+ba
=a2+b2ab
=(a+b)2−2abab
=(−4)2−2×(−12)−12
=−103．
故答案为：−103．
57．（2026•任城区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，且x12+x22=9，则m的值为 0 ．
【答案】0．
【分析】先根据一元二次方程有两个实数根得到根的判别式的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将x12+x22变形后代入建立关于m的方程，求解后根据根的判别式的要求舍去不合理解，得到m的值．
【解答】解：由条件可知根的判别式Δ≥0，
Δ＝（2m+3）2﹣4×1•m2＝12m+9≥0，
解得m≥−34，
由根与系数的关系可得：
x1+x2＝﹣（2m+3），x1x2=m2，
∵x12+x22=9，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=9，
代入得：[﹣（2m+3）]2﹣2m2＝9，
整理得：2m2+12m＝0，
因式分解得：m（m+6）＝0，
解得m1＝0，m2＝﹣6，
∵m≥−34，
∴m＝﹣6舍去，
故m＝0．
故答案为：0．
58．（2026•大冶市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值．
【答案】（1）证明：关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0，
∴Δ＝（k+2）2﹣4k
＝k2+4k+4﹣4k
＝k2+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）k的值为﹣4．
【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明Δ＞0即可得到答案；
（2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k，根据题意，代入x1+x2﹣x1x2＝6，解方程即可得到答案．
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4k
＝k2+4k+4﹣4k
＝k2+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k，
∴﹣（k+2）﹣k＝6，
解得：k＝﹣4．
59．（2026春•滨江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
（3）在（2）的条件下，求x2x1+x1x2的值．
【答案】（1）k＞34；
（2）k＝2；
（3）5．
【分析】（1）根据根的判别式进行求解；
（2）根据根与系数的关系进行求解；
（3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解．
【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＞34；
（2）x1x2=k2+1=5，
解得k＝2或k＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴k＝2；
（3）(x2x1+x1x2)2=x2x1+2+x1x2=x12+x22+2x1x2x1x2=(x1+x2)2x1x2，
由条件可得(x2x1+x1x2)2=255=5，
∴x2x1+x1x2=5（负值已舍）．
60．（2026春•柯桥区期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根．
（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ 2 ，x1x2＝ 13 ．
（2）应用探究：已知实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b，求a2b+ab2的值．
（3）思维拓展：已知实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0，求2nm+m2n的值．
【答案】（1）2，13；
（2）5；
（3）2或−313．
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可求出x1+x2及x1x2的值；
（2）根据题意，可得出实数a，b是关于x的一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出a+b＝5，ab＝1，再将其代入a2b+ab2＝ab（a+b）中，即可求出结论；
（3）根据题意，可得出m＝2n或m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根，当m＝2n时，可得出原式＝2；当m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根时，利用根与系数的关系，可得出m+2n＝﹣5，m•2n＝﹣3，再将其代入原式=(m+2n)2−2⋅m⋅2nm⋅2n中，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2=13．
故答案为：2，13；
（2）∵实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b，
∴实数a，b是关于x的一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根，
∴a+b＝5，ab＝1，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝1×5＝5；
（3）∵实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0，
∴m＝2n或m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根．
当m＝2n时，2nm+m2n=1+1＝2；
当m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根时，m+2n＝﹣5，m•2n＝﹣3，
∴2nm+m2n=4n2+m2m⋅2n=(m+2n)2−2⋅m⋅2nm⋅2n=(−5)2−2×(−3)−3=−313．
综上所述，2nm+m2n的值为的2或−313．
小明：
等号两边同除以（x﹣3），
得3＝x﹣3，
则x＝6．
小红：
移项得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．