2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第25章 一元二次方程 单元测试提高卷

这是一份2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第25章 一元二次方程 单元测试提高卷，共88页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 2x−y=5B. x+1x=0C. 5x2=1D. y2−x+3=0
2.若关于x的一元二次方程x2−2x+a=0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A. −1B. 1C. −4D. 4
3.一元二次方程x2−4x=−4的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
4.已知1是关于x的一元二次方程x2+x+k2−3k−6=0的一个实数根，则实数k的值是( )
A. 4或−1B. −4或1C. −1D. 4
5.如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列出方程( )
A. (40−x)(22−x)=760B. (40+x)(22+x)=760
C. 40×22−40x−22x=760D. 40×22−40x−22x−x2=760
6.关于x的一元二次方程x2−4x+m=0的两实数根分别为x1，x2，且x1+3x2=5，则m的值为( )
A. 74B. 75C. 76D. 0
7.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2−4x+k=0的两个根，则k的值为( )
A. 3B. 4C. 3或4D. 7
8.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. x2−2x=0B. x2+4x−1=0C. 2x2−4x+3=0D. 3x2=5x−2
9.一元二次方程x2−4x−1=0配方后可化为( )
A. (x+2)2=3B. (x+2)2=5C. (x−2)2=3D. (x−2)2=5
10.若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
11.对于实数p，q，我们用符号maxp,q表示p，q两数中较大的数.如：max1,2=2.若max2x+1,−x+12−2=7，则x的值为( )
A. 4B. −2C. ±3D. 3或−2
12.我国古代数学家赵爽(公元3∼4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程正根的几何解法，以方程x2+2x−8=0即xx+2=8为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是x+x+22，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×8+22，因此x+x+22=4×8+22，所以x=2.则在下面四个构图中，能正确说明一元二次方程x2−4x−5=0 正根的几何解法的构图是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，共21分。
13.已知关于x的一元二次方程x2+kx−3=0的一个根是x=1，则另一个根是 ．
14.设x1、x2是方程x2−3x+2=0的两个根，则x1+x2−x1⋅x2= ．
15.某企业2020年盈利3000万元，2022年盈利3662万元，该企业盈利的年平均增长率不变.设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程 ．
16.若分式x2−3x−10x+2的值为0，则x= ．
17.定义新运算：规定abcd=ad−bc，例如：2468=2×8−4×6=−8.若3x1−8x1x=2，则x的值为 ．
18.定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”.已知关于x的两个一元二次方程x2−(3+a)x+3a=0和(a−1)x2−a2x−a+2=0互为联根方程，那么a的值为 ．
三、计算题：本大题共6小题，共36分。
19.解方程：(1)x2+2 5x+2=0；
(2)(3x+2)(x+3)=4(x+1)．
(3)(3x+2)2=24(直接开方法)
(4)3x2−1=4x(公式法)
(5)(2x+1)2=3(2x+1)(因式分解)
(6)x2−2x−399=0(配方法)
20.月历中的奥秘(九年级版)：如图是2025年10月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22).试解决以下的问题：
(1)用矩形任意圈出的三行三列9个数中，若最小的数设为x，那么最中间的数可用x表示为______，最大的数可用x表示为______；
(2)若矩形圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，这9个数的和是多少？(请列方程解决)
21.某快递公司每天上午7：00至8：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件.该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(分)之间的函数图象如图所示．
(1)求图中a的值及甲仓库的快件数量y(件)与时间x(分)的关系式．
(2)何时甲、乙两仓库的快件数量相差150件？
22.在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动.在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为v−=10+302=20(米/秒).运动路程等于时间与平均速度的乘积(即s=v−t).若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少______米，从开始到滚动了t秒后小球的速度为______米/秒；
(2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？
(3)小球在最后一秒滚动了多少米？
23.综合与实践：
根据以下素材，完成探索任务：
24.根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根.如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形ABCD拼成一个大正方形EFGH．
(1)求解方程x(x+5)=6的正根，可令m=x+5，n=x，则图中每个长方形的面积为6．
①小正方形ABCD，大正方形EFGH的面积各是多少？
②利用大正方形EFGH的边长，请你求出方程x(x+5=6)的正根．
(2)小明用此方法求关于x的方程x(3x+t)=14(t为常数，且t>0)的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值．
四、解答题：本题共1小题，共8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
25.(本小题8分)
已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？并求此菱形的边长；
(3)若AB的长为2，则▱ABCD的周长是多少？探索果园土地规划和销售利润问题
素材1
某农户承包了一块矩形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB=200m，BC=300m.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x m，左右两条纵向道路的宽度都为x m，中间部分种植水果.出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12m，且不小于5m．
素材2
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000m2的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润每下调5元，则每月可多销售500m2草莓，且果园每月的承包费为2万元．
问题解决
任务1
解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．
(1)请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．
(2)若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2
解决果园种植的预期利润问题．
(总利润=销售利润一承包费)
(3)若农户预期一个月的总利润为52万元，且尽可能让利于客户，则每平方米草莓的平均利润应该下调多少元．
答案解析
一、选择题：本题共12小题，共41分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 2x−y=5B. x+1x=0C. 5x2=1D. y2−x+3=0
【答案】C
【解析】解：A、含有2个未知数，不符合题意；
B、为分式方程，不符合题意；
C、只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；
D、含有2个未知数，不符合题意；
故选：C．
判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
此题考查了考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
2.若关于x的一元二次方程x2−2x+a=0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A. −1B. 1C. −4D. 4
【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+a=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×a=0，
即4−4a=0，
解得：a=1，
故选：B．
根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式Δ=b2−4ac=0，求出a的值即可．
此题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
3.一元二次方程x2−4x=−4的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】解：∵x2−4x=−4，
∴x2−4x+4=0，
∵Δ=(−4)2−4×1×4=0，
∴一元二次方程x2−4x=−4有两个相等的实数根．
故选：A．
根据题意，先对方程移项，整理成一般式，根据根的判别式的值与零的大小关系判断根的情况．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，掌握Δ>0，则有两个不相等的实数根；Δ=0，则有两个相等的实数根；Δ0，符合题意，
故选：A．
7.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2−4x+k=0的两个根，则k的值为( )
A. 3B. 4C. 3或4D. 7
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．
当3为腰长时，将x=3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式Δ=0，解之可得出k值．再根据三角形三边关系判断是否符合题意即可．
【解答】
解：①当3为腰长时，将x=3代入x2−4x+k=0，得：32−4×3+k=0，
解得：k=3，
x2−4x+3=0的两个根是x1=3，x2=1，3+1>3，符合题意；
②当3为底边长时，关于x的方程x2−4x+k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(−4)2−4×1×k=0，
解得：k=4，
x2−4x+4=0的两个根是x1=x2=2，2+2>3，符合题意．
∴k的值为3或4．
故选C.
8.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. x2−2x=0B. x2+4x−1=0C. 2x2−4x+3=0D. 3x2=5x−2
【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
B.Δ=16+4=20>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C.Δ=16−4×2×30，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
故选C．
9.一元二次方程x2−4x−1=0配方后可化为( )
A. (x+2)2=3B. (x+2)2=5C. (x−2)2=3D. (x−2)2=5
【答案】D
【解析】解：x2−4x−1=0，
x2−4x=1，
x2−4x+4=1+4，
(x−2)2=5，
故选：D．
移项，配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
10.若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到k>0，b≤0，再判断Δ=k2−4b>0，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，
∴k>0，b≤0，
∴Δ=k2−4b>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
11.对于实数p，q，我们用符号maxp,q表示p，q两数中较大的数.如：max1,2=2.若max2x+1,−x+12−2=7，则x的值为( )
A. 4B. −2C. ±3D. 3或−2
【答案】D
【解析】略
12.我国古代数学家赵爽(公元3∼4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程正根的几何解法，以方程x2+2x−8=0即xx+2=8为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是x+x+22，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×8+22，因此x+x+22=4×8+22，所以x=2.则在下面四个构图中，能正确说明一元二次方程x2−4x−5=0 正根的几何解法的构图是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了一元二次方程的解，数形结合思想，通过图形直观得出面积之间的关系是解题的关键．
仿照题中所给一元二次方程的几何解法构造图形，通过方程变形确定大正方形的面积表达式，进而求解方程的正根，以此判断正确的构图．
【详解】解：∵x2−4x−5=0，
∴x(x−4)=5，
∴应构造面积是(x+x−4)2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为x(x−4)=5，中间的小正方形面积为42，
∴大正方形的面积又可表示为4×5+42=36，
∴大正方形的边长为6，
∴x+x−4=6，
∴x=5，
故正确构图为：A．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，共21分。
13.已知关于x的一元二次方程x2+kx−3=0的一个根是x=1，则另一个根是 ．
【答案】x=−3
【解析】解：设关于x的一元二次方程x2+kx−3=0的另一个根为x2，
则依题意得：1×x2=−3，
解得x2=−3．
故答案是：x=−3．
通过根与系数的关系x1⋅x2=−3求得方程的另一个根．
本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q，反过来可得p=−(x1+x2)，q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
14.设x1、x2是方程x2−3x+2=0的两个根，则x1+x2−x1⋅x2= ．
【答案】1
【解析】解：x1、x2是方程x2−3x+2=0的两个根，
∴x1+x2=3，x1⋅x2=2，
∴x1+x2−x1⋅x2=3−2=1；
故答案为1；
由一元二次方程根与系数的关系可知x1+x2=3，x1⋅x2=2，代入计算即可；
本题考查一元二次方程根与系数的关系
15.某企业2020年盈利3000万元，2022年盈利3662万元，该企业盈利的年平均增长率不变.设年平均增长率为x，根据题意，可列出方程 ．
【答案】3000(1+x)2=3662
【解析】解：设年平均增长率为x，
根据题意：3000(1+x)2=3662，
故答案为：3000(1+x)2=3662．
设年平均增长率为x，则2021年盈利3000(1+x)万元，2022年则为3000(1+x)(1+x)万元，再由条件“2022年盈利3662万元”进而可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
16.若分式x2−3x−10x+2的值为0，则x= ．
【答案】5
【解析】略
17.定义新运算：规定abcd=ad−bc，例如：2468=2×8−4×6=−8.若3x1−8x1x=2，则x的值为 ．
【答案】13或−3
【解析】略
18.定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”.已知关于x的两个一元二次方程x2−(3+a)x+3a=0和(a−1)x2−a2x−a+2=0互为联根方程，那么a的值为 ．
【答案】−2
【解析】由方程x2−(3+a)x+3a=0得(x−3)(x−a)=0，解得x1=3，x2=a．
∵两个一元二次方程x2−(3+a)x+3a=0和(a−1)x2−a2x−a+2=0互为联根方程，
∴x1=3，x2=a中至少有一个是方程(a−1)x2−a2x−a+2=0的根．
当x=3时，则(a−1)×32−a2×3−a+2=0，
即3a2−8a+7=0．
∵Δ=(−8)2−4×3×7=−200)的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值．
【答案】①小正方形面积为25，大正方形面积为49；②x=1 t=1
【解析】解：(1)①由题意，∵m=x+5，n=x，长方形面积mn=6，
∴小正方形的边长为m−n=(x+5)−x=5，
∴小正方形的面积为：(m−n)2=52=25．
又∵大正方形的边长为m+n，
∴其面积为：(m+n)2=(m−n)2+4mn=25+4×6=25+24=49．
答：小正方形面积为25，大正方形面积为49；
②由(1)得EF=m+n=7=2x+5，
∴x=1，即方程x(x+5)=6的正根为x=1；
(2)由题意得2x+t=5,4x+t= 4×14+25，
∴t=1．
(1)①依据题意，由m=x+5，n=x，长方形面积mn=6，则小正方形的边长为m−n=(x+5)−x=5，从而可得小正方形的面积，由大正方形的边长为m+n，则其面积为：(m+n)2=(m−n)2+4mn=25+4×6=25+24=49，即可得解；
②依据题意，由(1)得EF=m+n=7=2x+5，从而x=1，即方程x(x+5)=6的正根为x=1，即可得解；
(2)依据题意得2x+t=5,4x+t= 4×14+25，从而t=1，即可得解．
本题主要考查了一元二次方程的应用、正方形的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
四、解答题：本题共1小题，共8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
25.(本小题8分)
已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
(2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？并求此菱形的边长；
(3)若AB的长为2，则▱ABCD的周长是多少？
【答案】(1)证明：∵Δ=m2−2m+1=m−12，
且m−12≥0，即Δ≥0，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根.

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD.
又∵Δ=m−12，
∴当m−12=0，即m=1时，四边形ABCD是菱形.
把m=1代入x2−mx+m2−14=0，得
x2−x+14=0，解得x1=x2=12，
∴菱形ABCD的边长是12.

(3)解：把x=2代入x2−mx+m2−14=0，得
4−2m+m2−14=0，解得m=52.
把m=52代入x2−mx+m2−14=0，得
x2−52x+1=0，解得x1=2，x2=12，
∴AD=12.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD的周长是2×2+12=5.
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1
某农户承包了一块矩形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB=200m，BC=300m.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x m，左右两条纵向道路的宽度都为x m，中间部分种植水果.出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12m，且不小于5m．
素材2
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000m2的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润每下调5元，则每月可多销售500m2草莓，且果园每月的承包费为2万元．
问题解决
任务1
解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．
(1)请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．
(2)若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2
解决果园种植的预期利润问题．
(总利润=销售利润一承包费)
(3)若农户预期一个月的总利润为52万元，且尽可能让利于客户，则每平方米草莓的平均利润应该下调多少元．