第15章 轴对称图形和等腰三角形 单元模拟真题演练卷（原卷版 解析版）-沪科版初中数学八年级上册

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轴对称图形和等腰三角形 单元模拟真题演练卷（时间：100分钟 满分：120分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若等腰三角形的一个角为 ，则该等腰三角形的顶角为（　　） A．B．C．D． 或 【答案】D【解析】【解答】解：若40°的角是顶角，则底角为： ，∴此时另外两个角的度数是70°，70°；若40°的角是底角，则另一底角为40°，∴顶角为：180°-40°-40°=100°，∴此时另外两个角的度数是100°，40°.∴该等腰三角形的顶角为40°或100°.故答案为：D.【分析】由等腰三角形的一个角是40°，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解.小心别漏解.2．下图中显示的是从镜子中看到的背后墙上电子钟的读数，由此你可以推断这时的实际时间是(　　) A．10：05B．20：01C．20：10D．10：02【答案】B【解析】【解答】解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是20：01．故答案为：B．【分析】本题利用镜面对称的性质，镜子中的像与实际物体关于镜面对称，即左右相反，通过分析镜子中读数的对称关系来确定实际时间.3．如图，三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（　　） A．80°B．75°C．65°D．45°【答案】D【解析】【解答】解：已知AB=AC，∠A=30°可得∠ABC=∠ACB=75°根据线段垂直平分线的性质可推出AD=CD所以∠A=∠ACD=30°所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=45°．故答案为：D．【分析】首先利用线段垂直平分线的性质推出∠DAC=∠DCA，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC=∠ACB，易求∠BCD的度数．4．如图， △ABC， △ADE 及△EFG都是等边三角形，D，G 分别为 AC，AE 的中点.若AB=4，则多边形ABCDEFG的周长是(　　)A．12B．14C．15D．16【答案】C【解析】【解答】解：因为△ABC 是等边三角形，AB=4，所以AB=BC=AC=4. 因为 D 是 AC 的中点，所以 因为△ADE 是等边三角形，AD=2，所以AD=DE=AE=2. 因为G是AE的中点，所以 同理，在△EFG中，EF=FG=EG=1，所以多边形ABCDEFG的周长是AB+BC+CD+DE+EF+FG+GA=15，故答案为： C.【分析】要求图形ABCDEFG外围的周长，只需知道AB、BC、CD、DE、EF、FG、GA这几条线段的长度即可；由等边 可得AB=BC=AC，而D是AC的中点可知 同理等边 等边 中均可以将各边的关系表示出来，结合已知AB=4，即可求得各边长；根据所求图形的周长即为从A点按顺序到G点的线段逐个相加，即AB+BC+CD+DE+EF+FG+GA，结合上步所求即可得到结果.5．下列命题中，是真命题的有（　　）．①全等三角形的对应边相等；②有两个角为的三角形一定是等边三角形；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④等腰三角形的角平分线和中线相互重合．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【解答】解：全等三角形的对应边相等，故①正确；有两个角为60°的三角形一定是等边三角形，故②正确；两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故③错误；等腰三角形顶角的角平分线与底边的中线重合，故④错误.故答案为：B.【分析】根据全等三角形的性质可判断①；根据等边三角形的判定定理可判断②；根据平行线的性质可判断③；根据等腰三角形三线合一的性质可判断④.6．如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（　　）A．50B．55C．60D．65【答案】B【解析】【解答】解：过E作于M，平分，，，，，平分，，，，，，，，，故答案为：B．【分析】过E作于M，先利用角平分线的性质可得，再利用平行线的性质和角平分的定义及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，再利用线段的和差求出BD的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.7．如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AB=6，则△DEB的周长为（　　） A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】【解答】解：∵CA=CB，∠C=90°，AD平分∠CAB， ∴△ACB为等腰直角三角形，BC=AC=AE，∴△ACD≌△AED，∴CD=DE，又∵DE⊥AB于点E，∴△EDB为等腰直角三角形，DE=EB=CD，∴△DEB的周长=DE+EB+DB=CD+DB+EB=CB+EB=AE+EB=AB=6，∴周长为6．故选B．【分析】因为AC和BC相等，所以△ACB是等腰直角三角形，然后又利用角平分线，推出全等，最后得出结果．8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则AB=（　　） A．4B．C．D．【答案】A【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，∴BC= AB∴AB=2BC=2×2=4，故答案为：A．【分析】根据在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可解答．9．如图，△ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 到 E使 CE＝CD，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°，∵CD=CE，∴∠E=∠EDC，∵∠E+∠EDC=∠ACB=60°，∴∠E =∠EDC =30°，∴∠E=∠CBD=30°，∴DE=DB，∴△DEB为等腰三角形.∵CD=CE，∴△CDE为等腰三角形.∵△ABC 是等边三角形，∴△ABC 是等腰三角形.故答案为：C.【分析】由等角对等边可判断△DEB为等腰三角形，由等腰三角形的定义可判断△CDE、△ABC、△ABC 是等腰三角形.10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】【解答】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，①正确；由三角形的外角性质得：∴°，②正确；，当时，才平分，假设，，平分，，在和中，，，，. 与矛盾，③错误；作于，于，如图所示则°，在和中，，∴，∴，∴平分，④正确；正确的个数有3个；故答案为：B．【分析】①利用SAS证明△AOC≌△BOD，即可得到AC=BD；②利用三角形的外角性质即可证明；③由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；④作OG⊥MC于点G，OH⊥MB于点H，再用AAS证明△OCG≌△ODH即可证明MO平分∠BMC.二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　 　处。（填数字） 【答案】4【解析】【解答】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC内角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故答案是：4．【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．12．如图，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，△CDE的顶点E在△ABF的边BF上，点C在BF的延长线上，∠C＝∠B，且CD＝CE，若∠A＝36°，则∠D的度数为 　 　． 【答案】63【解析】【解答】解：∠B=180°-∠A-∠AFB=180°-36°-90°=54°，∴∠C=∠B=54°，∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∴.故答案为：63°.【分析】先根据三角形内角和定理求∠B的度数，则可得出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求∠D度数即可.13．如图，在中，，．以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则　 　度．【答案】35【解析】【解答】解：在中，，，∴，∵由题可得：是的角平分线，∴，故答案为：；【分析】根据作图步骤，可知是的角平分线，然后再根据直角三角形的内角和公式，求出的度数，然后再利用角平分线的性质，即可求出的度数14．等腰三角形的两边长分别是5cm和7cm，则它的周长是　 　cm. 【答案】17或19【解析】【解答】解：①当腰是5cm，底边是7cm时，能构成三角形，则其周长=5+5+7=17cm；②当底边是5cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长=5+7+7=19cm.故答案为：17cm或19cm.【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①当腰长为5cm时，②当底边长为5cm时，再结合三角形的三边关系即可得到结果.15．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为​　 　【答案】120°或20°【解析】【解答】解：设两个角分别是x，4x①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x=180°，解得，x=30°，4x=120°，即底角为30°，顶角为120°；②当x是顶角时，则x+4x+4x=180°，解得，x=20°，从而得到顶角为20°，底角为80°；所以该三角形的顶角为120°或20°．故答案为：120°或20°．【分析】设两个角分别是x，4x，根据三角形的内角和定理分情况进行分析，从而可求得顶角的度数．16．如图，是等边三角形，手点于点．下列结论①点在的角平分线上；②；③：④．其中，正确的序号是　 　.【答案】①②③④【解析】【解答】解：∵是等边三角形，手点于点．∴P在∠BAC的平分线上，则①正确；由①知，在和中，∴∴∴∴则②正确；∵∴∴则③正确；∴为等边三角形，在和中，∴则④正确，综上所述，正确的序号有：①②③④，故答案为：①②③④.【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确；然后根据等边对等角的性质可得，然后得到然后根据内错角相等两直线平行可得QP//AB，从而判断出②正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到③正确，④由即可得到④正确.三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，在等腰三角形中，腰，底边．（1）建立适当的坐标系，写出各顶点的坐标；（2）计算三角形的面积．【答案】（1）解：如图，以底边所在直线为轴，上的高所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立直角坐标系：，底边，，由勾股定理得：，，，（2）解：由题意得；∴三角形的面积为【解析】【分析】（1）以底边所在直线为轴，上的高所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立直角坐标系，根据勾股定理求出，写出各顶点坐标即可；（2）由三角形面积公式，计算求解即可．（1）解：如图，以底边所在直线为轴，上的高所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立直角坐标系：，底边，，，，，．（2）解：由题意得；故三角形的面积为．18．如图，在 中，AB=AC，点E在CA的延长线上， ，垂足为P，EP交AB于点 F. （1）求证： 是等腰三角形；（2）若F是AB的中点，PF=3，求EF的长.【答案】（1）证明：如解图①，过点A 作AG⊥BC于点G，则AG∥EP，∴∠EFA=∠BAG，∠CAG=∠E.∵AB=AC，∴ ∠BAG=∠CAG，∴∠EFA=∠E，∴AF=AE，即△AEF是等腰三角形； （2）解：如解图②，过点A作AH⊥EF于点H，由(1)知，AE=AF，∴EF=2EH=2FH.∵ F是AB的中点，∴AF=BF.又∵∠AFH=∠BFP，∠AHF=∠BPF=90°，∴△AHF≌△BPF(AAS)，∴HF=PF=3，∴EF=2HF=6.【解析】【分析】 (1) 要证明△AEF是等腰三角形，需找到两个角或边相等。由于AB=AC，△ABC为等腰三角形，考虑构造辅助线（如过A作AG⊥BC于G），利用平行线性质或全等三角形来推导角相等。(2) 已知F是AB中点且PF=3，需利用中点性质及全等三角形（如△AFH≌△BFP）来求EF的长。通过作垂线构造直角三角形，结合已知条件求解。19．若a，b，c分别为三边的长，且满足，试判断的形状，并说明理由．【答案】∵， ∴，∴，∴，∴，∵a，b，c分别为三边的长，∴，，，∴，∴，∴是等腰三角形．【解析】【分析】将已知等式变形为(b+c)(a-b)=0，则a=b，据此可得三角形的形状.20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若∠B=30°，CD=1，求BD的长．【答案】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=1，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2，故答案为：2．【解析】【分析】根据角平分线性质求出CD的长和∠DAE的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出BD即可．21．如图，在△ABC中，AB= AC．（1）若AD是高，BC=6 cm，求BD的长．（2）若D是BC边上的中点，∠BAC=50°，求∠BAD的度数．【答案】（1）解：是高，.（2）解：，是等腰三角形.是BC边上的中点，平分，.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形中的"三线合一"即可求解；（2）根据等腰三角形中的"三线合一"得到平分，进而即可求解.22．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长．【答案】解：∵为的角平分线，，，∴，∴，∵的面积是，，，∴，∴．【解析】【分析】利用角平分线的性质，得出DE=DF，再利用 面积是 可求DE.23．在等腰三角形中，，垂直平分，已知，求．【答案】解：∵垂直平分，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴【解析】【分析】 根据线段垂直平分线的性质得出，， 再根据直角三角形和等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理进行求解。24．如图，，，，，垂足为．（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：．【答案】（1）证明：，，，，在，；（2）解：，，，由（1）知，，，，，；（3）证明：延长BF到G，使得FG=BF，，，在和中，，，，，，，，，，∵∠ADE+∠ADC=180°，∠ABF+∠ABC=180°，∴，，，在和中，，，，，．【解析】【分析】（1）由同角的余角相等得∠BAC=∠DAE，从而由SAS判断出△ABC≌△ADE；（2）由等腰直角三角形性质得∠E=45°，由全等三角形的对应角相等得∠BCA=∠E=45°，由垂直定义得∠CFA=90°，由直角三角形的两锐角互余得∠CAF=45°，最后根据∠FAE=∠FAC+∠CAE可算出答案；（3）延长BF到G，使FG=BF，用SAS证△AFB≌△AFG得AB=AG，∠ABF=∠G，由△ABC≌△ADE，AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，则AG=AD，由同角的补角相等得∠ABF=∠CDA，则∠G=∠CDA，从而由AAS判断出△CGA≌△CDA，得CG=CD，最后根据线段的和差、等，等量代换可得结论.25．△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是　 　三角形；（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．【答案】（1）等边（2）解：①△BEF为等腰三角形，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△AED和△ABC为等腰三角形，∴∠C＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA＝∠C，∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠ABC，∵在△EFB中，∠EFB＝∠EBA，∴△EFB为等腰三角形，②△BEF为等腰三角形，如图【解析】【解答】解：⑴∵AB=AC，AD=AE， ∠BAC＝∠DAE＝60°，∴△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，即∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE=∠C=60°，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴△EFB是等边三角形.⑵、②∵AB=AC，AD=AE， ∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE=∠ACD，∵∠ABE+∠EBF=180°，∠ACD+∠ACB=180°，∴∠EBF=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EBF=∠EFB，∴ △BEF为等腰三角形 .【分析】⑴、由题易知△ABC和△AED都是等边三角形，故每个等边三角形的三内角均为60度，结合图形容易证明三角形AEB和三角形ADC全等，由全等三角形的性质可知角ABE和角ACB相等，再由平行线的性质论证角EFB等于角ABC，故可知三角形EFB是等边三角形；⑵、①论证方法迁移，易知三角形AEB和三角形ADC依然全等，所以角ABE等于角ACD，再利用平行可以论证角EFB等于角ABC，而已知AB等于AC，等边对等角故交ABC和角ACB相等，等量代换可得角EFB和角EBF的数量关系，进而判定三角形EFB的形状。②、方法基本同上，区别就是证明两三角形全等后，利用对应相等两角∠ABE和∠ACD的邻补角相等，得角EBF和角ACB相等。故亦可论证三角形EBF是等腰三角形。