第15章 轴对称图形和等腰三角形 单元强化提升卷（原卷版 解析版）-沪科版初中数学八年级上册

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轴对称图形和等腰三角形 单元强化提升卷（时间：120分钟 满分：120分）一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．下面是某APP使用界面的部分图标，其中轴对称图形共有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【解答】根据题意可得：第二个图形不是轴对称图形，第一、三、四中的图形是轴对称图形，∴共有3个轴对称图形，故答案为：C.【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可。2．下列三角形中，不是等腰三角形的是（　　）A．B．C．D．【答案】A【解析】【解答】解：A、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°-50°-35°=95°，∴A选项中的图形不是等腰三角形，故选项A符合题意；B、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°-90°-45°=45°，∴B选项中的图形是等腰三角形，故选项B不符合题意；C、由三角形的内角和为180°知：第三个角的大小为：180°-100°-40°=40°，∴C选项中的图形是等腰三角形，故选项不符合题意；D、由图形中有两边长为5知：选项D中的图形是等腰三角形，故选项D不符合题意.故答案为：A.【分析】由三角形的内角和180°求出A、B、C选项中三角形中第三个角的度数，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，有两条边相等的三角形是等腰三角形即可逐项判断.3．如图，直线//，点在直线上，点、在直线上，，，则等于（　　） A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：∵//，∴∠1=∠ACB=70°，∵，∴，故答案为：C【分析】先根据平行线的性质得到∠1=∠ACB，再根据等腰三角形的性质即可求解。4．如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（　　）A．边角边，全等三角形对应角相等B．角边角，全等三角形对应角相等C．边边边，全等三角形对应角相等D．斜边直角边，全等三角形对应角相等【答案】C5．如图，点在的延长线上，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（　　）A．B．C．D．【答案】C6． 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA = 2，则PQ的长不可能是（　　）A．4B．3.5C．2D．1.5【答案】D【解析】【解答】解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=2， ∴PQ=PA=2， ∴的最小值为2，PQ的长不可能小于2.故答案为：D.【分析】根据垂线段最短，可知PQ⊥OM时，PQ为最小值，再根据角平分线的性质求出PQ的值即可.7．如图，点为线段外一点，、、、为上任意四点，连接、、、，下列结论正确的有（　　）个①以为顶点的角共有15个②若平分，平分，，则③若为中点，为中点，则④若，，则A．1B．2C．3D．4【答案】C8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A、C为圆心，以大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点D和E，作直线DE交AB于点F，交AC于点G，连接CF，以点C为圆心，以CF的长为半径画弧，交AC于点H．若∠A=30°，BC=2，则AH的长是（　　）A．B．2C．2 -2D． +1【答案】C【解析】【解答】解：由作图可知，FC=HC，DE为AC边的垂直平分线，∴FA=FC，∴∠FCA=∠A=30°，∴∠BCF＝60°=∠B，∴△BCF为等边三角形，∴CF＝CB＝2，∴HC=FC=2，∵△ABC为直角三角形，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∴AC==2，∴AH=AC-HC=2-2.故答案为：C.【分析】根据作法可知FC=HC，DE为AC边的垂直平分线，然后判断出△BCF是等边三角形，由等边三角形的性质得CF=BC=2，结合含30°角的三角形的性质AC长，最后根据线段的和差关系，即可解答.9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，E为AB上一点，D为BC延长线上一点，连接DE，交AC于点F，过点E作EG∥BC交AC于点G.若CF＝GF，∠D＝35°，则下列结论错误的是（　　） A．CD＝EGB．DF＝EFC．CD＝CFD．BD＝DE【答案】D【解析】【解答】解：∵EG∥BC，∴∠FEG＝∠D，∠AEG＝∠ABC，∠AGE＝∠ACB，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠AEG＝∠AGE＝70°，在△FEG和△FDC中， ，∴△FEG≌△FDC（AAS），∴EG＝DC，EF＝DF，故A，B选项正确；∵∠GEF＝∠D＝35°，∴∠GFE＝70°-35°＝35°，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∴CD＝CF，故C选项正确；∵∠DEB＝180°-70°-35°＝75°，∠B＝70°，∴∠DEB≠∠B，∴BD≠ED，故D选项错误，故答案为：D.【分析】首先根据等边对等角、三角形的内角和定理及平行线的性质可得∠AEG＝∠AGE＝70°，根据已知条件用AAS证明△FEG≌△FDC，可得EG＝DC，EF＝DF，可得A，B选项正确；然后根据三角形外角相等结合平行线的性质可得∠GEF＝∠GFE，根据等角对等边得GE＝GF，从而可推出CD＝CF，可得C选项正确；证明∠DEB≠∠B，可得BD≠ED，所以D选项错误，进而可以解决问题．10．如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（　　）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是　 　cm．【答案】1812．若点P（m，m﹣1）在x轴上，则点P关于y轴对称的点为　 　． 【答案】(-1，0)【解析】【解答】∵点P（m，m﹣1）在x轴上，∴m﹣1=0，则m=1，故P（1，0），则点P关于y轴对称的点坐标为：（﹣1，0）．故答案为（﹣1，0）．【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等作答即可。13． 已知和，已知，则　 　.【答案】或【解析】【解答】解：由题意：当时，，当时，如图，故答案为： 或 .【分析】分两种情况讨论：当时，可证，进而求得；当时，利用等腰三角形的性质求得进而求解.14．如图，在 中，，点为的中点，∠C=65° ，则∠BAD= 　 　．​​【答案】【解析】【解答】解：，，，点为的中点，，， 故答案为：. 【分析】利用等腰三角形的性质得到和的度数，进而求得的度数.15．在中，．若对于的每一个值，对应的的形状、大小都唯一确定，则长的取值范围是　 　．【答案】或16． 如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为　 　【答案】【解析】【解答】解：如图，过点作于点，则由图可得，当直线经过点时，，，当直线向右平移经过点时，与相交于点，此时，由图可得，，，∴，，∵直线与轴的夹角为，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面积，故答案为：．【分析】过点作于点，则，先根据图2中的数据求出，，再结合求出，再利用线段的和差求出AH和AC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．在 中， ， ， 平分 交 于 ， ， 在 ， 上，且 .（1）求 的度数；（2）求证： 【答案】（1）解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB= （180°-36°）=72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=36°，∴∠ADC=∠B+∠BCD=72°+36°=108°；（2）解：由（1）得：∠ACD=36°=∠A，∠ADC=108°，∴AD=CD，∵∠EDF=108°，∴∠ADC=∠EDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中， ，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，∵CF+BF=BC，∴AE+BF=BC．【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠B=∠ACB=72°，由角平分线定义得出∠ACD=∠BCD=36°，由三角形的外角性质即可得出答案；（2）由（1）得∠ACD=36°=∠A，∠ADC=108°，得出AD=CD，证出∠ADC=∠EDF，得出∠ADE=∠CDF，证明△ADE≌△CDF（ASA），得出AE=CF，即可得出结论．18．如图，海中有一小岛，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在处测得小岛在北偏东60°方向上，航行16海里到处，这时测得小岛在北偏东30°方向上．（1）如果渔船不改变航向继续向东航行，是否又触礁危险？请说明理由．（2）求点与小岛的距离．【答案】（1）解：过点P作于点Q，如图所示：则，根据题意得：，，∴，，∵，∴，∴，∴海里，∵，，∴，∴海里，∴海里，∵，∴没有触礁危险．（2）解：根据解析（1）可知，海里，海里，∴（海里），根据勾股定理得：（海里），点与小岛的距离为海里．【解析】【分析】（1）过点P作于点Q，根据三角形外角的性质证明，根据等腰三角形的判定得出海里，根据含30度直角三角形的性质得出海里，根据勾股定理求出海里；（2）根据MQ=MN+NQ求出MQ的值，然后在Rt△MPQ中，根据勾股定理求出结果即可．19．如图，在直角坐标系中，A(－1，5)，B(－3，0)，C(－4，3)．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；并写出△A1B1C1各顶点的坐标；（2）求△ABC的面积．【答案】（1）解：△A1B1C1如图所示．点A1的坐标为(1，5)B1的坐标为(3，0)，C1的坐标为(4，3)．（2）解：S△ABC＝3×5－×3×2－×3×1－×2×5＝.【解析】【分析】 (1)、关于y轴对称 ，对应点到y轴的距离的相等，得出 点A1的坐标为(1，5)B1的坐标为(3，0)，C1的坐标为(4，3) ，连接各点得出 △A1B1C1 。 (2)、 长方形的面积-大直角三角形的面积-小直角三角形的面积就是 求△ABC的面积 。20．已知△ABC的三边长分别为a，b，c．（1）若a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，试判断△ABC的形状； （2）若a=5，b=2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值． 【答案】（1）解：由题意可知2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ca ∴2a2＋2b2＋2c2-2ab-2bc-2ca=0又∵∴∴ ，即a=b=c∴△ABC为等边三角形（2）∵a=5，b=2，且c为整数， ∴5-2＜c＜5+2，即3＜c＜7，∴c=4，5，6，∴当c=4时，△ABC周长的最小值=5+2+4=11；当c=6时，△ABC周长的最大值=5+2+6=13．【解析】【分析】（1）根据等式的性质将等式变形为2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ca，然后再利用完全平方公式进行变形，然后直接根据非负数的性质即可得出结论；（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．21．如图，在中，，为线段的延长线上一点，且，于点，点为上一点，连接． （1）试说明；（2）过作，与交于点，若，则吗？请说明理由．【答案】（1）解：因为，所以， 所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以．（2）解：． 理由如下：因为，所以，因为，所以，因为，，所以，所以，因为，，所以，所以【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，∠DAB=∠DBA，从而得出∠BAC=180°-2∠ABC，∠BDE=180°-2∠ABC，得出∠BAC=∠BDE，根据垂直的定义得出∠BDE+∠EBD=90°，即可得出∠BAC+∠EBD=90°；（2）利用AAS证出△ABF≌△ACG，即可得出AF=AG.22．在边长为10的等边△ABC中，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图①，当点P为AB的中点时， （Ⅰ）求证：PD＝QD； （Ⅱ）求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，试确定BE、CD的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：（Ⅰ）如图①，过点P作PF∥AC交BC于点E． ∴∠FPD＝∠Q，∠PFB＝∠ACB＝60°， ∴△PBF是等边三角形， ∴PB＝PF， ∵P、Q的运动速度相同， ∴PB＝QC， ∴PF＝CQ， ∴△PFD≌△QCF， ∴PD＝QD． （II） ∵P是AB中点， ∴BP＝BF＝ ＝5， ∴CF＝10-BF＝5， ∵△PFD≌△QCD， ∴DF＝DC＝ CF＝ ． （2）解：①如图②，当点P在线段BA上时，BE+CD＝ BC＝5， 理由：作PF∥AC交BC于F． 由（1）可知：△PFD≌△QCD， ∴DF＝DC， ∵PE⊥BF， ∴BE＝EF， ∴BF+CF＝BC， ∴2BE+2CD＝BC， ∴BE+CD＝ BC＝5． ②如图②-1中，当点P在线段BA的延长线上时，BE-CD＝ BC＝5． 理由：作PG∥AC交BC的延长线于G． 同理可证：△PGD≌△QCD，BE＝EG， ∴DC＝DG， ∴BG-CG＝BC， ∴2BE-2CD＝BC， 即BE-CD＝ BC＝5． 【解析】【分析】（1）（Ⅰ）过点P作PF∥AC交BC于点E，易得△PBF是等边三角形，则PB=PF，由题意可得PB=QC，则PF=CQ，利用AAS证明△PFD≌△QCF，据此可得结论； （II）根据中点的概念可得BP＝BF＝5，则CF＝10-BF＝5，由全等三角形的性质可得DF=DC=CF，据此计算；（2）①当点P在线段BA上时，作PF∥AC交BC于F，由（1）可知△PFD≌△QCD，则 DF＝DC，由等腰三角形的性质可得BE＝EF，则BF+CF＝BC，即2BE+2CD＝BC，据此计算；②当点P在线段BA的延长线上时，作PG∥AC交BC的延长线于G，同理可证△PGD≌△QCD，BE＝EG，DC＝DG，由线段的和差关系可得 BG-CG＝BC，即2BE-2CD＝BC，据此计算.23．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC= ，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）写出图中所有的等腰三角形，不需证明； （2）请你判断AD与BE是否垂直，并说明理由； （3）如果BC=12，求AB+AE的长． 【答案】（1）解：△ABD，△EAD，△CDE，△ABC （2）解：∵∠BAE=∠BDE，∠ABE=∠DBE，BE=BE ∴△ABE≌△BDE∴AB=BD又∵∠BAE=∠BDE，∴AD BE（3）解：∵∠C=∠DEC=45 ，∴CD=DE ∴AE=DE=DC，∴AB+AE=BD+DC=BC=12【解析】【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠C=45°，∵DE⊥BC，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，∴AE=DE，∠EDC=90°∴△ADE是等腰三角形，∠C=∠DEC=45°∴△DEC是等腰直角三角形；在Rt△ABE和Rt△BDE中BE=BE，AE=DE∴Rt△ABE≌Rt△BDE（HL）∴AB=BD∴△ABD是等腰三角形；∴等腰三角形有△ABD，△EAD，△CDE，△ABC .【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可证得∠C=45°，利用角平分线的性质可得到AE=DE，就可推出△ADE是等腰三角形，由此可证得△DEC是等腰直角三角形；再利用HL证明Rt△ABE≌Rt△BDE，利用全等三角形的性质，可推出AB=BD，就可得到△ABD是等腰三角形，即可得到所有的等腰三角形。（2）利用ASA证明△ABE≌△BDE，可推出AB=BD，由AE=DE，利用线段垂直平分线的判定定理可证得结论。（3）利用等腰直角三角形的性质，可证得CD=DE=AE，由此可求出AB+AE的值。24．如图，在△ABC中，点D在BC上，且AB＝AC＝BD，DA＝DC.（1）写出图中所有的等腰三角形； （2）求∠B的度数． 【答案】（1）解：等腰三角形：△ABC、△ABD、△ACD （2）解：设∠B=α， ∵AB=AC，AD=DC∴∠B=∠C=∠CAD=α∵∠ADC为△ABD的外角∴∠ADC=∠C+∠CAD=2α又∵AB=AD∴∠ADC=∠BAD=2α在△ABD中，α+2α+2α=180°解得α=36°∴∠B=36°【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，由已知可得到图中所有的等腰三角形。（2） 设∠B=α ，利用等边对等角可知∠B=∠C=∠CAD=α，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，可以用含α的代数式表示出∠ADC，利用等腰三角形的性质，可表示出∠BAD，在△ABD中，利用三角形内角和定理建立关于α的方程，解方程求出α的值。25．如图：已知在中，，.（1）尺规作图：①作的高；②作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）（2）若，求的长.【答案】（1）解：①如图，则为所作；②如图，则为所作.（2）解：在中，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴.【解析】【分析】（1）①利用作垂直平分线的方法，作出△ABC的高AD；②再利用作角平分线的方法，作出∠CAD的角平分线，交BC于点E，画出图形即可.（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AD的长；再证明△ABD是等腰直角三角形，可得到BD的长；然后利用勾股定理求出AB的长.