沪科版八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试卷（含答案）

这是一份沪科版八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元测试卷（含答案），共36页。
第15章《轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是 （   ）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交BC于点D，交AC于点E，AB=4cm，AC=5cm，BC=6cm，则△ABD周长为（　　）A．9cmB．10cmC．11cmD．12cm3．如图，△ABC中，∠B=∠C，AD为BC边上的高，下列结论中不正确的是（    ）A．AB=ACB．AD=BCC．BD=CDD．∠BAD=∠CAD4．如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，△ABD与△ACD的面积比是5:4，AB=10，AC=8，∠BAC=50°，则∠BAD的度数为（   ）A．20°B．25°C．30°D．35°5．如图，正方形ABCD中，若△MBC是等边三角形，则∠AMD=（    ）A．120°B．135°C．150°D．165°6．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为16 cm，一边长为6 cm，则它的“优美比”k为（   ）A．23B．65C．23或65D．32或567．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧交AC，AB于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AB于点E，若DE=3，∠B=30°，则AB的长为（   ）A．8B．8.5C．9D．9.58．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为（   ）A．124°B．102°C．92°D．88°9．如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且OA=3，OB=1，点P在y轴上，若以PAB为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的Р点有几个（     ）A．4B．5C．6D．710．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是CB的延长线和BA的延长线上的点，AE=BD，延长DA交CE于点F，G是AD上一点，且CG=CA，CG交AB于点H.下列结论：①∠DFC=60°；②∠DCG=2∠ACE；③CF−AF=GF；④GH+BD=GD ．其中正确的个数是（     ）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．把两个相同的含有30°角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点，MC=4，若AB=m，则S△ABM= .(用含m的式子表示)12．如图△ABC中、AB=AC，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BA的延长线于点E，连接CE，若CD=32，CE=4，则BE的长为 ．13．如图，等边三角形纸片ABC的边长为4cm，点D，E分别在AC，BC上，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C′处，且点C′在△ABC的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 cm.14.如图．在△ABC中，BC=5，AC=9，D是AC上一点，连接BD，∠ABD=∠A，过点C作CE⊥BD于点E，此时CE平分∠BCD，则DE的长为 ．15．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△FEC，点B的对应点E落在AD上，若∠ACE=10°，则∠AEF的度数为 °．16．如图，点P是三角形ABC内部一点，且满足∠PAB=∠PAC=21°．如果∠PBC=30°，∠PBA=9°，则∠APC的度数是 ．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A4,0，B−1,4，C−3,1．(1)请在图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′；并请写出A′、B′、C′的坐标；(2)求△ABC的面积．18．（6分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．(1)若AC=6，△ABD的周长是13，求△ABC的周长(2)若△ABC中，∠B=62°，∠C=36°，求∠BAD的度数．19．（8分）如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．(1)求∠F的度数；(2)若C是DF的中点，DE=2，求CF的长．20．（8分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P．(1)试探索∠BPC与∠BAC的关系；(2)若∠BPC=40°，求∠CAP的度数．21．（10分）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E；(1)尺规作图：过A作CE的垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的基础上，求证：CF=EF．22．（10分）如图，△ABC与△ADE都是等边三角形(AB>AD)，BD和CE相交于点P，连接AP．(1)求证：BD=CE；(2)求∠APB，∠DPE的度数；(3)探索PA，PD，PE之间的数量关系，并说明理由．23．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点D，且BC=BD，点P是边AC上一动点，连接BP，将△PBC沿BP翻折得△PBQ．(1)求∠ABC的度数；(2)当点P与点D重合时，请仅用圆规在图2中确定点Q的位置（保留作图痕迹），并证明AQ=CD；(3)连接AQ，DQ，当△ADQ是等腰三角形时，求∠CBP的度数．24．（12分）在等边△ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=CD．探究：当M,N分别在直线AB,AC上移动时，BM,CN,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．(1)如图1，当点M,N在边AB,AC上，且DM=DN时，BM,CN,MN之间的数量关系是 ；此时LQ= ；(2)如图2，点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3)如图3，当M,N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则L= （用x、Q表示）．参考答案一．选择题1.C解：A、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；B、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；C、选项中的汉字是轴对称图形，故符合题意；D、选项中的汉字不是轴对称图形，故不符合题意；故选：C．2．B解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DC=DA，∴AD+DB=CD+DB=BC=6cm，∴AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC=4+6=10cm，∴△ABD周长为10cm．故选：B．3．B解：∵∠B=∠C，AD为BC边上的高，∴AB=AC，∠BAD=∠CAD，BD=CD．无法确定AD=BC．故A、C、D正确，B错误．故选：B．4．B解：设D到AB和AC的距离分别为h1和h2，∵S△ABD:S△ACD=BD:DC=5:4，∴12×10×h1:12×8×h2=5:4，∴h1=h2，即点D到AB和AC的距离相等，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=12×50°=25°，故选：B．5．C解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=90°，∵△MBC是等边三角形，∴BC=BM=CM，∠CBM=∠BCM=∠BMC=60°，∴∠ABM=∠DCM=90°−60°=30°，AB=BM=CM=CD，∴∠AMB=12180°−∠ABM=75°，∠CMD=12180°−∠DCM=75°，∴∠AMD=360°−∠AMB−∠BMC−∠CMD=150°．故选：C6．C解：当6 cm为底边时：周长为16 cm，两腰之和为16−6=10(cm)，则腰长为10÷2=5(cm)．验证：5+5>6，满足三角形三边关系．∴k=65．2． 当6 cm为腰长时，周长为16 cm，底边长为16−2×6=4(cm)，验证：6+4>6，满足三角形三边关系．∴k=46=23．综上，优美比k为23或65．故选：C．7．C解：∵DE⊥BC，DE=3，∠B=30°，∴BE=2DE=6，由作图知AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵DE⊥BC，∴∠C=∠EDB=90°，∴AC∥ED，∴∠CAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE=3，∵BE=6，∴AB=9，故选：C．8．C解：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE−∠DAC=∠BAC−∠DAC，即∠EAC=∠DAB，∵AB=AC，AE=AD，∴△ABD≌△AECSAS，∴∠ABD=∠ACE，∵CE∥AB，∴∠ABD+∠BCE=180°，∴∠ABD+∠BCA+∠ACE=180°，∵AB=AC，∴∠ABD=∠BCA，∴∠ABD=∠BCA=∠ACE=13×180°=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，∵AE=AD，∴△ADE是等边三角形，∴∠ADE=60°，∵∠BAD=28°，∴∠OAD=∠BAC−∠BAD=60°−28°=32°，∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°．故选：C．9．B解：分别以A、B为圆心，以AB=4长为半径画圆，如下图：此时与y轴交点的个数为4，作AB的垂直平分线，如上图：此时与y轴交点的个数为1，故选：B10．B解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC．∴∠ABD=∠CAE=120°．在△ABD和△CAE中，AB=AC∠ABD=∠CAEBD=AE，∴△ABD ≌ △CAESAS．∴∠BAD=∠ACE，∠D=∠E．∵∠ACE+∠E=∠BAC=60°，∴∠BAD+∠E=60°．∵∠BAD=∠EAF，∴∠EAF+∠E=60°．∵∠DFC=∠EAF+∠E，∴∠DFC=60°；故①正确．②∵CG=CA，∴∠CAD=∠CGA，即∠BAC+∠BAD=∠DCG+∠D．∵∠BAC=∠E+∠ACE，∴∠E+2∠ACE=∠DCG+∠D．∴∠DCG=2∠ACE；故②正确．③如图，作∠BCG的平分线交AD于点K，则∠DCK=∠GCK=12∠DCG．∵∠DCG=2∠ACE，∴∠DCK=∠GCK=∠ACE．∴∠DCK+∠ACK=∠ACE+∠ACK．即∠ACB=∠ECK=60°．∵∠DFC=60°，∴∠ECK=∠DFC=60°．∴△CFK是等边三角形．∴CF=FK=CK．在△ACF和△GCK中，CF=CK∠ACF=∠GCKCA=CG∴△ACF ≌ △GCK SAS．∴AF=GK．∴FK−AF=FK−GK．∴CF−AF=GF；故③正确．④∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，∠D=∠E，∠BAD=∠ACE．∴∠D+∠BAD=∠E+∠ACE=60°．由③得∠GCK=∠ACE，∠ECK=60°．∴∠GCK+∠HCE=60°．∴∠HCE=∠E．∴EH=CH．∴AH+AE=CG−GH．∴AH+BD=AB−GH．∴GH+BD=AB−AH=BH．∴GH+BD=BH．故④错误．故正确的有①②③，3个，故选：B．二．填空题11．2m解：过M作MH⊥AB于H，∵∠BAD=30°,∠CAB=60°，∴∠CAM=60°−30°=30°，∴∠CAM=∠BAM，∴AM平分∠CAB，∵MC⊥AC,MH⊥AB，∴MH=MC=4，∴S△ABM=12AB⋅MH=12×m×4=2m，故答案为：2m．12．7解：∵在△ACE中，点D是AC的中点，DE⊥AC，∴ED是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∵CE=4，∴AE=CE=4，∵点D是AC的中点，CD=32，∴AC=2CD=3，∵AB=AC，∴AB=3，∴BE=AB+AE=7．故答案为：7．13．12解：∵△ABC是边长为4cm的等边三角形，∴AB=AC=BC=4cm，由折叠的性质得到：DC′=DC,EC′=EC，∴三个阴影部分的周长的和=AD+DC'+EC'+BE+AB=AD+DC+EC+BE+AB=AB+AC+BC=4×3=12cm，故答案为：12．14．2解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCD=∠DCB，∵CE⊥BD，∴∠BEC=∠DEC，∵CE=CE，∴△BCE≅△DCEASA，∴BC=DC，DE=BE，∵BC=5，AC=9，∴BC=DC=5，∴AD=AC−BC=9−5=4，∵∠ABD=∠A，∴BD=AD=4，∴DE=BE=12BD=2．故答案为：2．15．80°解：连接EB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠ABC=∠ACB，AD是线段BC的垂直平分线，∴EB=EC，∵将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△FEC，∴BC=EC，∠ABC=∠FEC=∠ACB，∴BC=EC=EB，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC=∠ECB=60°，∠DEC=30°，∵∠ACE=10°，∴∠ABC=∠ACB=10°+60°=70°，∴∠FEC=∠ACB=70°，∴∠AEF=180°−30°−70°=80°，故答案为：80°．16．141°解：延长AC到点D，使得AD=AB，连接BD,PD，延长AP交BD于点E，∵∠PAB=∠PAC=21°．AP=AP，∴△ABP≌△ADPSAS，∴∠PDA=∠ABP=9°,PB=PD∵∠BPE=∠PAB+∠PBA=30°,∠DPE=∠PAC+∠ADP=30°，∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=60°∴△PDB是等边三角形，∴∠PBD=60°，∵∠PBC=30°，∴∠CBD=∠PBD−∠PBC=30°∴BC平分∠PBD，∴BC垂直平分PD，∴PC=CD，∴∠CPD=∠PDC=9°，∴∠CPE=∠DPE+∠CPD=39°，∴∠APC=180°−∠CPE=141°．故答案为141°．三．解答题17．（1）解：如图所示，△A′B′C′即为所求；；∴A′4,0、B′−1,−4、C′−3,−1；（2）解：S△ABC=7×4−12×1×7−12×2×3−12×4×5=232．18．（1）∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∵△ABD的周长是13，∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=13，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19；（2）在△ABC中，∠B=62°，∠C=36°，∴∠BAC＝180°−∠B−∠C＝82°，∵DA＝DC，∴∠DAC=∠C=36°，∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=82°−36°=46°．19．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°−∠EDC=30°；（2）解：∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4，∵C为DF的中点，∴CF=12DF=2．20．（1）解：∠BPC=12∠BAC，理由如下：∵∠PCD=∠PBC+∠BPC，∴∠BPC=∠PCD−∠PBC，∵PB,PC分别平分∠ABC,∠ACD，∴∠BPC=12∠ACD−12∠ABC=12∠ACD−∠ABC，∵∠ACD=∠ABC+∠BAC，∴∠ACD−∠ABC=∠BAC，∴∠BPC=12∠BAC；（2）解：如图，过点P作PQ⊥BD于点Q，PR⊥AC于点R，PM⊥BA交BA延长线于点M，∵PB,PC分别是∠ABC,∠ACD的平分线， ∴PQ=PM,PQ=PR，∴PR=PM，∴点P在∠CAM的平分线上，即PA平分∠CAM，由（1）得∠BAC=2∠BPC=80°，∴∠CAM=100°，∴∠CAP=12∠CAM=50°．21．（1）解：如图，AF即为所求：（2）证明：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD，∴∠AEC=∠ACE，∴AC=AE，又∵AF⊥CE，∴点F是CE的中点，即CF=EF．22．（1）证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD与△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴ △BAD≌△CAE，∴BD=CE；（2）解：∵ △BAD≌△CAE，∴∠AEC=∠ADB， ∵∠ANE=∠DNP，∴∠DPE=∠DAE=60°；∴∠BPE=120°，作AG⊥BD,AH⊥CE，∵△BAD≌△CAE，BD=CE，∴AG=AH，∴PA平分∠BPE，∴∠APB=12∠BPE=60°，（3）解：PE=AP+PD，证明：如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，∵ △BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，在△AOE与△APD中，OE=PD∠BDA=∠CEAAE=AD，∴ △AOE≌△APD，∴AP=AO，∠PAD=∠OAE，∴∠PAO=∠DAE=60°，∴△APO是等边三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD．23．（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵BC=DB，∴∠C=∠BDC，设∠ABD=∠CBD=x，则∠ABC=∠C=∠BDC=2x，∴∠A=∠BDC−∠ABD=x，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠ABC=2×36°=72°；（2）解：如图，点Q即为所求；∵AB=AC,BD=BC,∠ABC=72°，∴∠BDC=∠C=∠ABC=72°，连接DQ，∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ，∴BC=BQ，∠CBP=∠DBQ=36°，CD=DQ，∠BDC=∠BDQ=72°，∴∠ADQ=180°−72°−72°=36°，∴∠A=∠ADQ，∴AQ=DQ，∴AQ=CD；（3）解：当AQ=DQ，如图2，点P与点D重合，∴∠CBP=36°；当AD=DQ时，如图3，∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ，∴BQ=BC，∠CBP=∠PBQ，∵BD=BC=AD，∴DQ=BQ=BD，∴∠DBQ=60°，∵∠CBD=36°，∴∠CBQ=96°，∴∠CBP=12∠CBQ=48°；如图4，当AQ=AD时，∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ，∴BQ=BC，∠CBP=∠PBQ，∵BD=BC=AD，∴AQ=AD=BQ=BD，∵DQ=DQ，∴△ADQ≌△BDQ SSS，∴∠ADQ=∠BDQ =12× (180°−72°)=54°，∴∠BQD=∠BDQ=∠ADQ=54°，∴∠PBC=54°，当AQ=DQ时，点A与P重合，∴∠CBP=72°，综上所述，∠CBP的度数为54°或36°或48°或72°．24．（1）解：∵DM=DN，∠MDN=60°，∴△MDN是等边三角形，∴DM=DN=MN，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠MBD=∠NCD=90°，在Rt△BDM和Rt△CDN中，DM=DNBD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL)，∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，∴DM=2BM，DN=2CN，AM=AN，∴MN=2BM=2CN=BM+CN，△AMN是等边三角形，∴AM=MN=2BM，∵AB=AM+BM=3BM，∴AM:AB=2:3，∴QL=23，故答案为：BM+NC=MN，23；（2）（1）问的两个结论还成立；证明：如图②，在NC的延长线上截取CM1=BM，连接DM1，∵CM1=BM,∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1(SAS)，∴DM=DM1，∠MDB=∠M1DC，∴∠MDM1=∠BDC=120°，∵∠MDN=60°,∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∵DN=DN，∴△MDN≌△M1DN(SAS)，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，∴QL=23；（3）如图③，在CN上截取CM1=BM，连接DM1，同（2）可证△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∠MDB=∠M1DC，∴∠MDM1=∠BDC=120°，∵∠MDN=60°,∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，又∵ND=ND,DM=DM1，∴△MDN≌△M1DN(SAS)，∴MN=M1N，∵NC−CM1=M1N，∴NC−BM=MN，∵等边△ABC的周长为L，∴AB=L3，△AMN的周长Q=MN+AN+AM=NC−BM+AN+AB+BM=AN+AC+AN+AB=2AN+2AB=2x+23L，∴L=32Q−3x，故答案为：32Q−3x．