第15章 轴对称图形和等腰三角形 单元全优达标卷（原卷版 解析版）-沪科版初中数学八年级上册

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轴对称图形和等腰三角形 单元全优达标卷（时间：120分钟 满分：120分）一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．【答案】A【解析】【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项A符合题意；B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项B不符合题意；C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项C不符合题意；D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项D不符合题意；故答案为：A．【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此进行判断即可．2． 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【答案】A【解析】【解答】解：A、此选项中的图形由多个弧线组成， 既是轴对称图形又是中心对称图形 ，符合题意；B、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形 ，不符合题意；C、此选项中的图形虽然是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故答案为：B．【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.3．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（　　） A．80°B．70°C．60°D．45°【答案】B【解析】【解答】如图所示，连接AE．∵AB=DE，AD=BC∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，可得AE=DE∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE与△CBA中， ，∴△ADE≌△CBA（ASA），∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，∴△ACE是等边三角形，∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE，∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．故答案为：B．【分析】连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解．4．一张菱形纸片按图①②依次对折后，再按图③剪一个圆形小孔，然后展开、铺平，所得的图案是(　　).A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：展开铺平后的图案是：故答案为：C.【分析】严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论.5．如图，中，平分，是的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，，则的度数为（　　）A．B．C．D．【答案】B【解析】【解答】是的中点，过点作的垂线交于点，垂直平分，，，，，，，平分，，，故选：．【分析】由线段垂直平分线的性质得，则；由于的外角等于，可由三角形外角的性质得等于等于，从而由角平分线的概念可得，利用角之间的位置关系可得等于与的和，最后利用三角形的内角和定理即可得出的度数．6．等腰三角形的周长为26cm，一边长为6cm，那么腰长为（　　）A．6cmB．10cm C．6cm或10cm D．14cm【答案】B【解析】【解答】解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26﹣6﹣6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；②当6cm为底边时，则腰长=（26﹣6）÷2=10cm，因为6﹣6＜10＜6+6，所以能构成三角形；故选B．【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．7．如图，已知 中， ，AO，BO分别是角平分线，且 ，分别交AC于N，BC于M，则 的周长为（　　） A．12B．24C．36D．不确定【答案】C【解析】【解答】解：∵BO为角平分线，∴∠3=∠4，又∵∠3=∠5，∴∠4=∠5，OM=BM，且AB∥MN，∠6=∠1，∵AO为角平分线，∴∠1=∠2，∴∠2=∠6，ON=AN，∴ ，故答案为：C.【分析】根据角平分线的定义及∠3=∠5，可得∠4=∠5，AB∥MN，∠1=∠2，从而可得OM=BM，∠6=∠1，由∠1=∠2，可得∠2=∠6，利用等角对等边可得ON=AN，由△CMN=CN+CM+OM+ON=CM+BM+CN+ON=AC+BC，据此即可求出结论.8．有一等腰三角形纸片ABC，AB=AC，裁剪方式及相关数据如图所示，则得到的甲、乙、丙、丁四张纸片中，面积最大的是（　　） A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】【解答】解：如图∵AB=AC，AM⊥BC ∴BM=CM由图可知BH=5，HM=2，EM=1，AE=2，AM=2+1=3，BM=CM=7，∴S△ABM=S△ADH+S梯形ADHM，∴解之：DH=.∴S甲=，S乙=.∴S甲＞S乙解之：EG=.∴S丙=，S丁=.∴S丙＜S丁 ∵S丁＜S甲，∴丁的面积最大.故答案为：D.【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质，易证BM=CM，观察图形可求出相关的线段的长，再根据S△ABM=S△ADH+S梯形ADHM，可求出DH的长，利用三角形的面积公式可求出甲、乙的面积；再利用同样的方法求出EG的长，继而可求出丙、丁的面积，然后比较甲、乙、丙、丁面积的大小，即可得到面积最大的图形。9．如图，在中，，是的平分线，于点E.若，，则的长为（　　）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝2，∵AC＝5，∴AD＝AC−CD＝5−2＝3，故答案为：B．【分析】先利用角平分线的性质求出DE＝CD＝2，再利用线段的和差求出AD的长即可.10．如图，在等边中，以为直角顶点作等腰直角， 分别交 、于 点 、， 为线段上一动点，为线段上一动点，且， 以下个结论：①；②；③；④当的值最小时， ． 正确的个数为( )A．4个B．3 个C．2 个D．1 个【答案】A二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为　 　．【答案】612．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点F，平分，已知，，的面积，求的面积　 　．【答案】4【解析】【解答】解：如图，过点F作于点N，于点M，，，分别为的角平分线，，，∴，，∵平分，，在和中，，∴，∴，同理可得，∴，∴，∵，，∴，∵的面积，，∴，∴，，∴的面积，故答案为：4．【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形全等的判定和性质，以及角平分线的性质，三角形内角和定理应用，过点F作于点N，于点M，由，分别为的角平分线，求得，得到，再由平分，得到，利用ASA，证得，得出，同理证得，得出，结合，得出，根据的面积，列出方程，求得，结合，即可得出答案．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为　 　．【答案】4【解析】【解答】∵BC=10cm，BD：DC=3：2， ∴BD=6cm，CD=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．【分析】因为点D到AB的距离是点D到AB的垂线段的长度，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知CD与点D到AB的距离相等，结合已知可求得CD的长。14．如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点.若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝　 　（用含α的式子表示）【答案】【解析】【解答】解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI，点I是△ABC的角平分线的交点所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，在△ABI和△ADI中，∴△ABI≌△ADI（SAS）∴DI=BI又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC∴DI=DC∴∠DCI=∠DIC设∠DCI=∠DIC=β则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β在△ABC中，∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即 ，∴在△ABI中， 【分析】在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.15．如图，在中，，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG．若直线FG经过点E，则的度数为　 　°．【答案】126【解析】【解答】解：连接AD，DE，设 ，∵，∴ ，∵以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E，∴ ，∴ ，∵分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，解得： ，∴ ，∴ ，故答案为：126．【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。16．中，为上一点，为上一点，过作，交于点，交于点，，，则　 　．【答案】三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α＝70°时，∠BDC度数＝　 　度（直接写出结果）；②∠BDC的度数为　 　（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】（1）125；90°+ α（2）解：∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE ∴ ， ，∴∠BFC＝∠FCE﹣∠FBC）＝ ＝ 即 ．（3）解：由轴对称性质知： ， 由（1）②可得 ，∴ ．【解析】【解答】解：（1）①125°；②结论： ，理由：∵ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝90°+ ∠A＝90°+ α．故答案分别为125°，90°+ α．【分析】（1）①根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可求解；②根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可求解；（2）根据三角形的外角的性质和角平分线的定义，即可求解；（3）根据轴对称图形的性质，结合（1）②的结论，即可求解．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）判断△DEF的形状，并说明理由； （2）当∠DEF＝70°时，求∠A的度数． 【答案】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，在△BDE和△CEF中， ，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形（2）解：∵∠DEC＝∠B+∠BDE， 即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，∵△BDE≌△CEF，∴∠CEF＝∠BDE，∴∠DEF＝∠B，在△ABC中，AB＝AC，∠DEF＝70°，∴∠A＝40°．【解析】【分析】（1）由等边对等角可得∠B＝∠C，根据SAS可证△BDE≌△CEF，可得DE＝EF，根据等腰三角形的判定即证；（2） 利用三角形外角的性质可得∠DEC=∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，由（1）知△BDE≌△CEF，可得∠CEF＝∠BDE，从而可得∠DEF＝∠B=70°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和即可求出∠A的度数.19．数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．(答案：35° )例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100° )张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题；（2）解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．【答案】（1）（1）当∠A＝80°为顶角时， ∠B＝＝50°； 当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°-80°-80°＝20°； 当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°， 综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；（2）分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时， 若∠A为顶角，则∠B＝（）° 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180-2x）°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°． 当≠180-2x且180-2x≠x且≠x， 即x≠60时，∠B有三个不同的度数． 综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．【解析】【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可20．在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究：问题背景：在中，．点D为边上一动点，连接，点为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当点运动到的四等分点（靠近点）时，点停止运动，此时点从点运动到点，试判断点从点运动到点的过程中线段和的数量关系，并说明理由；（3）如图3，点从的四等分点（靠近点）出发，向终点A运动，同时，点从点出发，向终点运动，运动过程中，始终保持，求出的最小值．【答案】（1）证明：∵△BEF是等边三角形，∴BE=BF，∠EBF=60°，∵∠ABC=60°，∴∠ABC-∠CBE=∠EBF-∠CBE，∴∠DBE=∠CBF，又∵BD=BC，∴△BDE≌△BCF(SAS).（2），理由如下：过点作，垂足为点，取中点，连接，，，，点是的中点，，是等边三角形，，点是中点，点是四等分点，，，，由（1）得，又，，，，，，，，是的垂直平分线，（3）解：以BC为边作等边△BCM，连接MF，∵△BEF和△BCM是等边三角形，，，，，即当点和点运动过程中，始终保持，则点F在以BM为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，由三角形三边关系可知，则，连接，交圆弧于点，此时取得最小值，是等边三角形，点是中点，，，，，则的最小值为．【解析】【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，隐圆，本题的关键在于构造全等三角形，发现隐圆从而解决最小值问题．（1）根据等边三角形的性质可知：BE=BF，∠EBF=60°，再根据角的和差运算和等式的性质可得：∠DBE=∠CBF，再结合BD=BC和三角形全等的判定定理SAS可证得△BDE≌△BCF，由此可证得结论；（2）过点F作GF⊥BC于点G，取AB的中点H，连接CH，由四等分点证明DH=BD，再根据等腰三角形的性质推论：三线合一可得：DC⊥BH，根据三角形全等的判定定理AAS可证得△BDE≌△BGF，根据线段垂直平分线的判定定理可证得：GF是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到BF=CF；（3）以BC为边作等边三角形BCM，连接MF，证明，则可得点F在以BM为直径的圆弧上运动，起点为BC的中点N，终点为点M，连接OC，交圆弧于点F，此时CF取得最小值，即可求出答案．（1）证明：是等边三角形，，，，即，又，．（2），理由如下：过点作，垂足为点，取中点，连接，，，，点是的中点，，是等边三角形，，点是中点，点是四等分点，，，，由（1）得，又，，，，，，，，是的垂直平分线，．（3）以为边作等边三角形，连接，，是等边三角形，，，，，即当点和点运动过程中，始终保持，则点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，由三角形三边关系可知，则，连接，交圆弧于点，此时取得最小值，是等边三角形，点是中点，，，，，则的最小值为．21．如图，已知AC、DB的交点为E，AE＝DE， ；过点E作EF⊥BC，垂足为F. （1）求证： ABE≌ DCE； （2）求证：F为BC边的中点.【答案】（1）证明：在 ABE和 DCE中， ∴ ABE≌ DCE（ASA）（2）证明：由（1）得 ABE≌ DCE ∴BE=CE∵EF⊥BC∴BF=FC即F为BC边的中点.【解析】【分析】（1）由已知条件可得AE=DE，∠A=∠D，由对顶角的性质可得∠AEB=∠DEC，然后结合全等三角形的判定定理ASA进行证明；（2）由全等三角形的性质可得BE=CE，结合等腰三角形的性质可得BF=FC，据此证明.22．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：（1）作出关于直线的对称图形；（2）的面积为　 　．【答案】（1）解：如图，点，点，点关于的对称点分别为点，点，点，连接，，，则即为所作．（2）7【解析】【解答】解：△ABC的面积=5×3-×4×2-×3×1-×5×1=7；故答案为：7.【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于直线对称的对应点D、E、F，再顺次连接即可；（2）利用割补法求出△ABC的面积即可.23．已知，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD．（1）请补全图形，并说明AC，BD的位置关系； （2）证明（1）中的结论. 【答案】（1）解：补图如下： 结论：AC⊥BD（2）解：∵AB=AD ∴点A在线段BD的垂直平分线上∵CB=CD∴点C在线段BD的垂直平分线上∵两点确定一条直线∴AC是线段BD的垂直平分线即AC⊥BD【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据垂直平分线的判定定理证出点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出结论.24．如图1，四边形中，交于．（1）求证：平分；（2）如图2，若的平分线与的延长线交于，设，①若，求的值；②若，试确定的取值范围．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°.∵DE⊥DC，∴∠BDE+∠BDC=90°，∴∠ADE+∠C=90°.∵∠BDC=∠BCD，∴∠BDE=∠ADE，∴DE平分∠ADB.（2）①∵DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，∴∠EDB=∠ADB，∠DBF=∠ABD，∴∠EDB+∠DBF=(∠ADB+∠ABD).∵∠A+∠ADB+∠ABD=180°，∴∠EDB+∠DBF=90°-∠A.∵∠EDF=90°，∠F=α=50°，∴∠FGD=40°.∵∠FGD=∠EDB+∠DBF，∴90°-∠A=40°，∴∠A=100°.②∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠EDB+∠DBF=(∠ADB+∠ABD)=∠ABC.∵∠FGD=∠EDB+∠DBF，∴∠FGD=∠ABC.∵∠F