2027届高三物理一轮复习教案：第五章　第二十五课时　卫星变轨问题　双星模型　天体的“追及”共线问题（含解析）

这是一份2027届高三物理一轮复习教案：第五章　第二十五课时　卫星变轨问题　双星模型　天体的“追及”共线问题（含解析）
考点一 卫星的变轨和对接问题
1.卫星发射模型
人造卫星的发射过程一般要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有GMmr12=mv2r1。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，GMmr12mvB2r2，将做近心运动，再次点火加速，使GMmr22=mvB'2r2，进入圆轨道Ⅲ。
若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
答案 使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速做近心运动着陆。
2.变轨过程中几个物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，则v1>v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB，在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同。同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3。由开普勒第三定律r3T2=k，可知有T1v1，同理在Q点有v3>vQ，综合可知vP>v1>v3>vQ，故B错误；卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中，机械能不变，故C错误；由题图可知卫星在轨道Ⅲ的轨道半径大于在轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律易得卫星在轨道Ⅲ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期，故卫星在轨道Ⅲ上从Q点到M点的运动时间大于在轨道Ⅱ上从P点到Q点的运动时间，故D正确。
针对训练 (2025·云南昆明市三模)如图所示为嫦娥六号探月飞行器发射过程简化示意图，长征五号先将嫦娥六号送入轨道a。在A点变速后进入轨道b，最终进入地月转移轨道c，在B点变速后进入环月轨道d，多次调整速度最终着陆于月球背面。关于嫦娥六号的运动，下列说法正确的是( )
A.从轨道a转移到轨道b时需要在A点减速
B.从轨道d转移到轨道e时需要在B点加速
C.在轨道b上通过A点时的速度小于第二宇宙速度
D.在轨道a上运行的周期大于在轨道b上运行的周期
答案 C
解析 卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，则嫦娥六号从轨道a转移到轨道b时需要在A点加速，故A错误；卫星从高轨道变轨到低轨道需要在变轨处点火减速，则嫦娥六号从轨道d转移到轨道e时需要在B点减速，故B错误；在轨道b上卫星绕地球做椭圆运动，没有脱离地球引力的约束，所以嫦娥六号在轨道b上通过A点时的速度小于第二宇宙速度，故C正确；根据开普勒第三定律a3T2=k，由于轨道a的半长轴小于轨道b的半长轴，则嫦娥六号在轨道a上运行的周期小于在轨道b上运行的周期，故D错误。
例2 (2025·江西抚州市模拟改编)北京时间2024年4月26日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是( )
A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
答案 D
解析 根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。
考点二 双星或多星模型
1.双星模型
(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2=m1ω12r1，Gm1m2L2=m2ω22r2。
②两星的周期、角速度相同，即T1=T2，ω1=ω2。
③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1+r2=L。
(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？
(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1+m2)的关系怎样？
答案 (1)由v=ωr，m1ω2r1=m2ω2r2，得v1v2=r1r2=m2m1，由a=ω2r及m1ω2r1=m2ω2r2得a1a2=r1r2=m2m1。
(2)由Gm1m2L2=m14π2T2r1=m24π2T2r2及r1+r2=L，得L3T2=G(m1+m2)4π2或m1+m2=4π2L3GT2。
例3 (2025·湖北襄阳市三模)天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级别的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在双星系统外与双星系统在同一平面上的点A观测双星的运动，得到a、b的球心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G，求：
(1)a、b的线速度大小之比；
(2)a、b的质量。
答案 (1)4∶3 (2)147π2x03Gt02 196π2x03Gt02
解析 (1)由题图可知，a、b的球心到O、A连线的距离从零到最大所用时间为四分之一个周期，可知该双星系统的周期T为2t0， a与O点的距离为4x0， b与O点的距离为3x0，可得ra∶rb=4∶3，
由线速度v=ωr，可知a、b的线速度大小之比为va∶vb=4∶3
(2)由题意可知maω2ra=mbω2rb
联立解得ma∶mb=3∶4
对b由万有引力提供向心力可知
GmambL2=mb4π2T2rb
又L=ra+rb
解得ma=147π2x03Gt02，
mb=196π2x03Gt02。
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
常见的多星模型及其规律：
例4 (多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可以忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则( )
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期T=4πRR5GM
C.三角形三星系统中星体间的距离L=3125R
D.三角形三星系统的线速度大小为125GMR
答案 BC
解析 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A错误；直线三星系统中，对甲星(或丙星)有GM2R2+GM2(2R)2=M4π2T2R，解得T=4πRR5GM，B正确；对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2GM2L2cs 30°=M4π2T2·L2cs30°，两种系统运动周期相同，联立解得L=3125R，C正确；三角形三星系统的线速度大小为v=2πrT=2π·L2cs30°T，联立解得v=36·3125·5GMR，D错误。
多星问题的分析思路
考点三 天体的“追及”共线问题
例5 (2025·北京市西城区三模)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示。根据表中信息，可以判断( )
A.火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年
B.某些地外行星一年中可能会出现两次冲日现象
C.天王星相邻两次冲日的时间间隔约为土星的一半
D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长
答案 A
解析 根据开普勒第三定律有R行3T行2=R地3T地2，解得行星的公转周期为T行=T地R行3R地3 ，根据表格中数据计算出火星、木星、土星、天王星、海王星的周期分别为T火=1.53年≈1.84年，T木=5.23年≈11.86年，T土=9.53年≈29.28年，T天=193年≈82.82年，T海=303年≈164.32年，设相邻两次冲日的时间间隔为t，则有2πT地t-2πT行t=2π，解得t=T行T地T行−T地，计算出火星、木星、土星、天王星、海王星相邻两次冲日的时间间隔分别为t火≈2.19年，t木≈1.09年，t土≈1.04年，t天≈1.01年，t海≈1.006年，可知火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年，故A正确；结合上述可知，所有行星相邻两次冲日的时间间隔均超过1年，一年内不可能出现两次冲日，故B错误；结合上述可知，天王星相邻两次冲日的时间间隔(1.01年)并非土星相邻两次冲日的时间间隔(1.04年)的一半，故C错误；结合上述可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短(约1.006年)，故D错误。
例6 (2026·河北衡水市检测)中国载人登月初步方案已公布，计划 2030年前实现载人登月科学探索。假如在登月之前需要先发射两颗探月卫星进行科学探测，a、b两卫星在同一平面内绕月球的运动可视为匀速圆周运动，且绕行方向相反，如图所示，测得两卫星之间的距离Δr最小为3r、最大为5r，Δr的变化周期为T，不考虑两卫星之间的作用力。下列说法正确的是( )
A.a、b两卫星的线速度大小之比va∶vb=5∶3
B.a、b两卫星的加速度大小之比aa∶ab=4∶1
C.a卫星的运行周期为98T
D.b卫星的运行周期为7T
答案 C
解析 设a、b两卫星的轨道半径分别为ra、rb，根据题意可知ra+rb=5r，rb-ra=3r，联立解得ra=r，rb=4r，根据GMmr2=mv2r可得v=GMr，可得vavb=rbra=21，A错误；根据GMmr2=ma可得a=GMr2，可得aaab=(rbra)2=161，B错误；a、b两卫星两次相距最近的时间为T，可知TTa+TTb=1，因TaTb=(rarb)3=18，解得Ta=98T，Tb=9T，C正确，D错误。
天体“追及”共线问题的处理方法
1.相距最近：两同心转动的卫星(rA