2027届高三物理一轮复习教案：第五章　第二十四课时　人造卫星　宇宙速度（含解析）

这是一份2027届高三物理一轮复习教案：第五章　第二十四课时　人造卫星　宇宙速度（含解析）
考点一 天体运动参量的分析
1.基本公式
(1)线速度大小：由GMmr2=mv2r得v=GMr。
(2)角速度：由GMmr2=mω2r得ω=GMr3。
(3)周期：由GMmr2=m(2πT)2r得T=2πr3GM。
(4)向心加速度大小：由GMmr2=man得an=GMr2。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢。
2.“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg=GMmR2，整理可得GM=gR2。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。
例1 (2025·湖北卷·2)甲、乙两行星绕某恒星做匀速圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是( )
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
答案 A
解析 恒星对行星的万有引力提供行星做匀速圆周运动所需的向心力，可知GMmr2=mv2r=mω2r=m4π2T2r=ma，解得T=2πr3GM，v=GMr，ω=GMr3，a=GMr2，因r甲ω乙，a甲>a乙，故选A。
例2 (2025·广东揭阳市一模)极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)。若某极地卫星从南极的正上方开始到第二次运行至北极正上方，所用时间为t，已知地球半径为R(地球可看作球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，由以上可知下列选项正确的是( )
A.卫星运行的角速度为3πt
B.卫星运行的线速度大小为4πRt
C.地球的质量为gRG
D.卫星距地面的高度为3R2gt2π2-R
答案 A
解析 某极地卫星从南极的正上方开始第二次运行至北极正上方，所用时间为t，即t=32T，所以卫星运行的周期为T=23t，卫星运行的角速度为ω=2πT=3πt，故A正确；根据万有引力提供卫星运动的向心力有GMmr2=mω2r，地球表面的重力和万有引力相等有GMmR2=mg，联立两式解得r=3R2gt29π2，所以线速度大小v=ωr=33πR2gt，故B错误；由GMmR2=mg得地球的质量为M=gR2G，故C错误；卫星距地面的高度为h=r-R=3R2gt29π2-R，故D错误。
考点二 三个宇宙速度
三个宇宙速度
1.(1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。
(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？
(已知地球质量为m地，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R=6.4×103 km，g=9.8 m/s2)
答案 (1)由Gm地mR2=mv2R得v=Gm地R
由mg=mv2R得v=gR
(2)近地卫星运行周期T=2πRg=2π6.4×1069.8 s≈85 min。
2.已知引力势能的表达式为Ep=-GMmr，其中r为卫星到地心的距离。试推导地球第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系，并给出第二宇宙速度的估算值。(此关系对于其他天体也是正确的)
答案 卫星从发射到脱离地球至无穷远处的过程中机械能守恒，有
-GMmR+12mv22=0
在地球表面附近环绕的卫星GMmR2=mv12R
联立得v2=2v1
又v1=7.9 km/s，故可得v2=11.2 km/s。
例3 (2025·福建宁德市模拟)火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和火星看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转，则火星与地球的第一宇宙速度大小之比约为( )
A.1∶5B.2∶5
C.3∶5D.2∶3
答案 A
解析 根据万有引力提供向心力有GMmR2=mv2R，可得v火v地=M火R地M地R火=15，故选A。
例4 (2025·甘肃卷·2)如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是( )
A.若v=GMR，小星球做匀速圆周运动
B.若GMR