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2024届高考物理一轮复习教案第五章万有引力与宇宙航行专题强化七卫星变轨问题双星模型（粤教版新教材）
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这是一份2024届高考物理一轮复习教案第五章万有引力与宇宙航行专题强化七卫星变轨问题双星模型（粤教版新教材），共15页。
3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题．
题型一 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有Geq \f(Mm,r12)＝meq \f(v2,r1)，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，Geq \f(Mm,r12)(3)在椭圆轨道B点(远地点)将做近心运动，Geq \f(Mm,r22)>meq \f(vB2,r2)，再次点火加速，使Geq \f(Mm,r22)＝meq \f(v′2,r2)，进入圆轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则E1考向1 卫星变轨问题中各物理量的比较
例1 2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ 为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．下列关于探测器说法正确的是( )
A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速
B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度
D．在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度
答案 A
解析 由高轨道进入低轨道需要点火减速，则由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，A正确；根据开普勒第三定律有eq \f(r23,T22)＝eq \f(a33,T32)，因轨道Ⅱ的半径大于轨道Ⅲ的半长轴，所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，B错误；根据v＝eq \r(\f(GM,R))可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；根据开普勒第二定律可知，近地点的线速度大于远地点的线速度，所以在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度，D错误．
例2 (2023·广东广州市模拟)如图所示，2021年2月我国“天问一号”火星探测器先由地火转移轨道1进入火星停泊轨道2，进行相关探测后进入较低的轨道3开展科学探测，则探测器( )
A．在轨道2上近火点加速可进入轨道3
B．在轨道2上近火点的机械能比远火点小
C．在轨道1上的运行速度不超过第二宇宙速度
D．在轨道2与轨道3同一近火点的加速度相同
答案 D
解析 在轨道2上近火点减速做近心运动可进入轨道3，A错误；在轨道2上运动时，只有引力做功，则机械能不变，B错误；在轨道1上的运行速度要超过第二宇宙速度小于第三宇宙速度，C错误；在轨道2与轨道3同一近火点只受万有引力，产生的加速度相同，D正确．
考向2 变轨问题中的能量变化
例3 (2023·广东揭阳市模拟)如图所示是“嫦娥五号”卫星绕月球运行的三条轨道，轨道1是近月圆轨道，轨道2和3是变轨后的椭圆轨道．轨道1上的A点也是轨道2、3的近月点，B点是轨道2的远月点，C点是轨道3的远月点．则下列说法中正确的是( )
A．卫星在轨道2的周期大于在轨道3的周期
B．卫星在轨道2经过A点时的速率小于在轨道1经过A点时的速率
C．卫星在轨道2经过A点时的加速度大于在轨道3经过A点时的加速度
D．卫星在轨道2上B点所具有的机械能小于在轨道3上C点所具有的机械能
答案 D
解析 根据开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k，轨道2的半长轴小于轨道3的半长轴，故卫星在轨道2的周期小于在轨道3的周期，故A错误；卫星要由轨道1变轨到轨道2，必须在A点加速，所以卫星在轨道2经过A点时的速率大于在轨道1经过A点时的速率，故B错误；在A点根据牛顿第二定律有Geq \f(Mm,r2)＝ma，得a＝Geq \f(M,r2)，故卫星在轨道2经过A点时的加速度等于在轨道3经过A点时的加速度，故C错误；由于卫星要由轨道2变轨到轨道3，必须在A点加速，机械能增加，所以卫星在轨道3上c点所具有的机械能大于在轨道2上B点所具有的机械能，故D正确．
考向3 飞船对接问题
例4 北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时．为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动．对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)．为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是( )
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可
C．飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
答案 D
解析 根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，合适位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可，故选D.
题型二 双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.
②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1).
⑤双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2)).
⑥双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G).
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律：
例5 (2023·广东深圳市调研)由于潮汐等因素影响，月球正以每年约3至5厘米的速度远离地球．地球和月球可以看作双星系统，它们绕O点做匀速圆周运动．多年以后，地球( )
A．与月球之间的万有引力变大
B．绕O点做圆周运动的周期不变
C．绕O点做圆周运动的角速度变小
D．做圆周运动的轨道半径变小
答案 C
解析 多年以后，地球和月球间距离变大，两星球的质量不变，由万有引力定律可知，地球与月球之间的万有引力变小，故A错误；地球和月球绕O点做匀速圆周运动的角速度大小ω相等，周期T相等，设地球与月球的质量分别为M1和M2，圆周运动的半径分别为r1和r2，地球和月球间距离为L，则有L＝r1＋r2，由万有引力提供向心力eq \f(GM1M2,L2)＝M1(eq \f(2π,T))2r1＝M1ω2r1，eq \f(GM1M2,L2)＝M2(eq \f(2π,T))2r2＝M2ω2r2，联立可得eq \f(GM1＋M2,L2)＝eq \f(4π2L,T2)＝ω2L，r1＝eq \f(M2L,M1＋M2)，地球与月球的质量不变，地球和月球间距离增大，则地球绕O点做圆周运动的周期T变大，地球绕O点做圆周运动的角速度变小，地球做圆周运动的轨道半径变大，故B、D错误，C正确．
例6 如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则( )
A．恒星A、B运动的周期为T
B．恒星A的质量小于B的质量
C．恒星A、B的总质量为eq \f(π2d3,GT2)
D．恒星A的线速度大于B的线速度
答案 C
解析 每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误； 根据万有引力提供向心力有Geq \f(mAmB,d2)＝mAeq \f(4π2,2T2)rA＝mBeq \f(4π2,2T2)rB，由题图知rAmB，故B错误；由B选项得，两恒星总质量为M＝mA＋mB＝eq \f(π2d3,GT2)，故C正确；根据v＝ωr，两恒星角速度相等，则vA例7 (多选)如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略．设每颗星体的质量均为m，三颗星体分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动．已知引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．每颗星体所需向心力大小为2Geq \f(m2,r2)
B．每颗星体运行的周期均为2πeq \r(\f(r3,3Gm))
C．若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的eq \r(2)倍
D．若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的eq \f(1,4)
答案 BC
解析 任意两颗星体间的万有引力大小F0＝Geq \f(m2,r2)，每颗星体受到其他两个星体的引力的合力为F＝2F0cs 30°＝eq \r(3)Geq \f(m2,r2)，A错误；由牛顿第二定律可得F＝m(eq \f(2π,T))2r′，其中r′＝eq \f(\f(r,2),cs 30°)＝eq \f(\r(3)r,3)，解得每颗星体运行的周期均为T＝2πeq \r(\f(r3,3Gm))，B正确；星体原来的角速度ω＝eq \f(2π,T)＝eq \r(\f(3Gm,r3))，若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度ω′＝eq \f(2π,T′)＝eq \r(\f(6Gm,r3))，则星体的角速度变为原来的eq \r(2)倍，C正确；星体原来的线速度大小v＝eq \f(2πr′,T)，若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的周期T′＝2πeq \r(\f(4r3,3Gm))＝16πeq \r(\f(r3,3Gm))＝8T，星体的线速度大小v′＝eq \f(2π,T′)×4r′＝eq \f(πr′,T)，则星体的线速度变为原来的eq \f(1,2)，D错误．
题型三 星球“瓦解”问题 黑洞
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即eq \f(GMm,R2)＝mω2R，得ω＝eq \r(\f(GM,R3)).当ω>eq \r(\f(GM,R3))时，星球瓦解，当ω2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的
eq \r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞．
考向1 星球的瓦解问题
例8 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,r2)≥mreq \f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq \f(4,3)πr3，整理得密度ρ≥eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故选C.
考向2 黑洞问题
例9 英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的eq \r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
A.eq \f(2v12R,kc2)B.eq \f(2kc2R,v12)
C.eq \f(kv12R,2c2)D.eq \f(2kv12R,c2)
答案 D
解析 地球的第一宇宙速度为v1＝eq \r(\f(GM,R))，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝eq \r(\f(GkM,r))，并且有
eq \r(2)v2>c，联立解得r课时精练
1．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量
答案 BD
解析 在卫星轨道半径变小的过程中，地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D正确．
2.2021年5月15日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．若飞船“天问一号”从地球上发射到着陆火星，运动轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于地球和火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期
B．在与火星会合前，飞船“天问一号”的向心加速度小于火星公转的向心加速度
C．飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒
D．飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
答案 C
解析 根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，由题图可知飞船“天问一号”椭圆运动的半长轴大于地球公转半径，所以飞船“天问一号”椭圆运动的周期大于地球公转的周期，A错误；在与火星会合前，飞船“天问一号”到太阳的距离小于火星公转半径，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝ma，可知飞船“天问一号”的向心加速度大于火星公转的向心加速度，B错误；飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒，C正确；飞船“天问一号”要脱离地球的束缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，D错误．
3．(2023·广东省六校联盟联考)天宫二号在离地343 km圆形轨道上运行1 036天后，受控离轨并进入大气层，少量残骸落入南太平洋预定安全海域．天宫二号“回家”，标志着我国载人航天工程空间实验室阶段全部任务圆满完成．关于天宫二号绕地球的运动，下列说法正确的是( )
A．天宫二号受控离轨瞬间，应加速前进
B．天宫二号进入大气层后，它的引力势能越来越小，机械能守恒
C．天宫二号绕地球做匀速圆周运动的周期小于地球自转的周期
D．天宫二号绕地球做匀速圆周运动向心加速度小于地球赤道物体自转的向心加速度
答案 C
解析 天宫二号受控离轨进入大气层前，要减速降轨，天宫二号是利用反冲原理减速的，所以它要向前喷气减速，从而做近心运动，故A错误；天宫二号在进入大气层后，万有引力做正功，引力势能越来越小，大气阻力做负功，机械能越来越小，故B错误；根据开普勒第三定律可知eq \f(T1,T2)＝，天宫二号的轨道半径比同步卫星的轨道半径小，则天宫二号绕地球做匀速圆周运动的周期小于同步卫星的运动周期，而同步卫星的运动周期等于地球自转的周期，则天宫二号绕地球做匀速圆周运动的周期小于地球自转的周期，故C正确；天宫二号绕地球做匀速圆周运动时，它的轨道比同步卫星的轨道低，根据万有引力定律可知Geq \f(Mm,r2)＝ma，天宫二号的向心加速度大于同步卫星的加速度，又同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，根据a＝ω2r可知，同步卫星的向心加速度大于地球赤道物体自转的向心加速度，所以天宫二号绕地球做匀速圆周运动时，它的向心加速度比地球赤道物体自转的向心加速度大，故D错误．
4.(多选)(2023·广东潮州市模拟)2021年9月20日，“天舟三号”在文昌航天发射中心成功发射升空．图中P、Q分别是“天舟三号”和“天和核心舱”对接前各自在预定轨道运行的情景，下列说法正确的是( )
A．在预定轨道运行时，P的周期小于Q的周期
B．在预定轨道运行时，P的速率小于Q的速率
C．为了实现对接，P应减速
D．为了实现对接，P应加速
答案 AD
解析 根据开普勒第三定律有eq \f(r3,T2)＝k，因P的轨道半径小，所以周期也小，A正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，因P的轨道半径小，则P的速率大，B错误；P的轨道低于Q的轨道，则为了完成对接，P应加速，C错误，D正确．
5．(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示．若A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则( )
A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶1
B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3
C．星球A与星球B的质量之比为3∶1
D．星球A与星球B的动能之比为3∶1
答案 AD
解析 星球A所受的引力与星球B所受的引力均为二者之间的万有引力，大小是相等的，故A正确；双星系统中，星球A与星球B转动的角速度相等，根据v＝ωr可知，线速度大小之比为3∶1，故B错误；A、B两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得Geq \f(mAmB,L2)＝mAω2rA＝mBω2rB，则星球A与星球B的质量之比为mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C错误；星球A与星球B的动能之比为eq \f(EkA,EkB)＝eq \f(\f(1,2)mAvA2,\f(1,2)mBvB2)＝eq \f(mAωrA2,mBωrB2)＝eq \f(3,1)，故D正确．
6．(2023·安徽蚌埠市检测)2022年7月24日14时22分，中国“问天”实验舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得圆满成功．“问天”实验舱入轨后，顺利完成状态设置，于北京时间2022年7月25日3时13分，成功对接于离地约400 km的“天和”核心舱．“神舟”十四号航天员乘组随后进入“问天”实验舱．下列判断正确的是( )
A．航天员在核心舱中完全失重，不受地球的引力
B．为了实现对接，实验舱和核心舱应在同一轨道上运行，且两者的速度都应大于第一宇宙速度
C．对接后，组合体运动的加速度大于地球表面的重力加速度
D．若对接后组合体做匀速圆周运动的周期为T，运行速度为v，引力常量为G，利用这些条件可估算出地球的质量
答案 D
解析 航天员受到的地球的引力充当绕地球做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，A错误；为了实现对接，实验舱应先在比核心舱半径小的轨道上加速做离心运动，逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接，但速度小于第一宇宙速度，B错误；对接后，组合体运动的加速度a＝eq \f(GM,r2)7．(多选)(2023·广东珠海市第一中学月考)“天舟二号”货运飞船是中国空间站货物运输系统的第一次应用性飞行，在距地面400千米高空精准对接于天和核心舱后向端口，为空间站送去6.8吨补给物资．为避免占用轨道资源，已于北京时间2022年3月31日18时40分采用分次控制的方式，依次从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，然后从近地点变至大气层高度90千米以下，受控再入大气层烧蚀销毁，展现了中国航天的责任和担当，树立了负责任大国形象．下列说法正确的是( )
A．“天舟二号”需要与天和核心舱在同一高度轨道上加速以实现对接
B．“天舟二号”对接天和核心舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
C．“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，周期变小
D．“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，机械能减少
答案 CD
解析 若“天舟二号”与天和核心舱在同一高度轨道上，“天舟二号”加速做离心运动，将无法完成对接，所以“天舟二号”需要在较低轨道上加速以实现对接，故A错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得r＝eq \f(GM,v2)，可知“天舟二号”对接天和核心舱后，轨道半径将不变，故B错误；对围绕同一中心天体运动的物体，根据开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k，可知“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，周期变小，故C正确；“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，需要减速做近心运动，且万有引力做正功，引力势能减小，“天舟二号”机械能减少，故D正确．
8.(2023·贵州省贵阳一中高三检测)宇宙中有很多恒星组成的双星运动系统，两颗恒星仅在彼此的万有引力作用下绕共同点做匀速圆周运动，如图所示．假设该双星1、2的质量分别为m1、m2，圆周运动的半径分别为r1、r2，且r1小于r2，共同圆周运动的周期为T，引力常量为G.则下列说法正确的是( )
A．恒星1做圆周运动所需的向心加速度大小为Geq \f(m2,r12)
B．恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度
C．恒星1的动量一定大于恒星2的动量
D．某些双星运动晚期，两者间距逐渐减小，一者不断吸食另一者的物质，则它们在未合并前，共同圆周运动的周期不断减小
答案 D
解析 对于恒星1，根据万有引力提供向心力有eq \f(Gm1m2,r1＋r22)＝m1a1，则恒星1的向心加速度大小a1＝eq \f(Gm2,r1＋r22)，故A错误；由mg＝eq \f(GMm,R2)，解得g＝eq \f(GM,R2)，由于不能确定两恒星半径R的大小，故不能确定表面重力加速度的大小，故B错误；对于双星运动有m1r1＝m2r2，又因为角速度相同，根据角速度与线速度关系有m1ωr1＝m2ωr2，即m1v1＝m2v2，则动量大小相等，故C错误；设两恒星之间距离为L，对恒星1，有eq \f(Gm1m2,L2)＝m1(eq \f(2π,T))2r1，对恒星2，有eq \f(Gm1m2,L2)＝m2(eq \f(2π,T))2r2，上述两式相加得eq \f(Gm2,L2)＋eq \f(Gm1,L2)＝(eq \f(2π,T))2r1＋(eq \f(2π,T))2r2，解得T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))，可以看到当两者间距逐渐减小，总质量不变时，双星做圆周运动的共同周期逐渐减小，故D正确．
9．(2023·广东深圳市模拟)如图所示为嫦娥五号着陆月球前部分轨道的简化示意图，Ⅰ是地月转移轨道，Ⅱ、Ⅲ是绕月球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕月球运行的圆形轨道．P、Q分别为椭圆轨道Ⅱ的远月点和近月点，忽略嫦娥五号在Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ轨道上运行时地球以及其他天体对嫦娥五号的影响，下列关于嫦娥五号说法正确的是( )
A．在Ⅱ轨道运行的周期小于在Ⅲ轨道运行的周期
B．由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需在P处向前喷气，由Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道需在Q处向前喷气
C．在Ⅱ轨道上经过Q点时的加速度小于在Ⅳ轨道经过Q点时的加速度
D．在Ⅲ轨道上的机械能比Ⅳ轨道上小
答案 B
解析 根据开普勒第三定律，可得eq \f(aⅡ3,TⅡ2)＝eq \f(aⅢ3,TⅢ2)，由于Ⅱ轨道的半长轴大于Ⅲ轨道的半长轴，所以在Ⅱ轨道运行的周期大于在Ⅲ轨道运行的周期，故A错误；由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需要减速，故需在P处向前喷气；由Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道需要减速，故需在Q处向前喷气，故B正确；根据牛顿第二定律可得Geq \f(mM,r2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,r2)，由于在Ⅱ轨道上经过Q点和在Ⅳ轨道经过Q点时到月心距离相等，则在Ⅱ轨道上经过Q点时的加速度等于在Ⅳ轨道经过Q点时的加速度，故C错误；从低轨进入高轨，需要点火加速，机械能增大，所以轨道越高，嫦娥五号机械能越大，故在Ⅲ轨道上的机械能比Ⅳ轨道上大，故D错误．
10.(多选)(2023·广东省模拟)如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道Ⅰ上运动，卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点A的加速度大小为a0，线速度大小为v0，A点到地心的距离为R，远地点B到地心的距离为3R，卫星在椭圆轨道的远地点B变轨进入圆轨道Ⅱ，卫星质量为m，则下列判断正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为eq \f(1,3)a0
B．卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为eq \f(\r(3a0R),3)
C．卫星在轨道Ⅱ上运行周期为在轨道Ⅰ上运行周期的3eq \r(3)倍
D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为eq \f(ma0R,6)－eq \f(mv02,18)
答案 BD
解析 设卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a1，由eq \f(GMm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，则a1＝eq \f(R2,3R2)a0＝eq \f(1,9)a0，故A错误；设卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为v1，有a1＝eq \f(v12,3R)，解得v1＝eq \r(\f(1,3)a0R)＝eq \f(\r(3a0R),3)，故B正确；根据开普勒第三定律有eq \f(T22,T12)＝eq \f(3R3,2R3)，解得eq \f(T2,T1)＝eq \f(3\r(6),4)，故C错误；设卫星在椭圆轨道远地点B的线速度大小为v，根据开普勒第二定律有v0R＝v×3R，解得v＝eq \f(1,3)v0，卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为W＝eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(ma0R,6)－eq \f(mv02,18)，故D正确．
11．(2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响．稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2.若每颗星的质量都相同，则T1∶T2为( )
A.eq \f(R,2r)eq \r(\f(3R,5r))B.eq \f(r,R)eq \r(\f(3r,5R))
C.eq \f(r,R)eq \r(\f(3R,5r))D.eq \f(2R,r)eq \r(\f(3R,5r))
答案 D
解析 第一种形式下，星体A受到星体B和星体C两个万有引力，它们的合力充当向心力，则Geq \f(mm,R2)＋Geq \f(mm,2R2)＝meq \f(4π2,T12)R，解得T1＝4πReq \r(\f(R,5Gm))，第二种形式下，星体之间的距离r，那么圆周运动的半径为R′＝eq \f(\r(3)r,3)，星体A受的合力F合＝2Geq \f(mm,r2)·cs 30°，根据合力提供向心力有2Geq \f(mm,r2)·cs 30°＝meq \f(4π2,T22)×eq \f(\r(3)r,3)，解得T2＝2πreq \r(\f(r,3Gm))，则T1∶T2＝eq \f(2R,r)eq \r(\f(3R,5r))，故选D.
12.(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
答案 BD
解析 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由eq \r(2)Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(m2,\r(2)L2)＝(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝mω2·eq \f(\r(2),2)L，可知ω＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故B正确；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的eq \f(1,2)，故C错误；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝meq \f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,4L))，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．常见的三星模型
①eq \f(Gm2,2R2)＋eq \f(GMm,R2)＝ma向
②eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＝ma向
常见的四星模型
①eq \f(Gm2,L2)×cs 45°×2＋eq \f(Gm2,\r(2)L2)＝ma向
②eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＋eq \f(GmM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( \f(L,\r(3)) ))2)＝ma向
3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题．
题型一 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有Geq \f(Mm,r12)＝meq \f(v2,r1)，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，Geq \f(Mm,r12)
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1
例1 2021年2月，“天问一号”探测器成功实施近火制动，进入环火椭圆轨道，并于2021年5月软着陆火星表面，开展巡视探测等工作，探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图如图所示，其中轨道Ⅰ、Ⅲ 为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的切点，O、Q还分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．下列关于探测器说法正确的是( )
A．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速
B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．在轨道Ⅱ上运行的线速度大于火星的第一宇宙速度
D．在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度大于运行到Q点的线速度
答案 A
解析 由高轨道进入低轨道需要点火减速，则由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需在O点减速，A正确；根据开普勒第三定律有eq \f(r23,T22)＝eq \f(a33,T32)，因轨道Ⅱ的半径大于轨道Ⅲ的半长轴，所以在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，B错误；根据v＝eq \r(\f(GM,R))可知，在轨道Ⅱ上运行的线速度小于火星的第一宇宙速度，C错误；根据开普勒第二定律可知，近地点的线速度大于远地点的线速度，所以在轨道Ⅲ上，探测器运行到O点的线速度小于运行到Q点的线速度，D错误．
例2 (2023·广东广州市模拟)如图所示，2021年2月我国“天问一号”火星探测器先由地火转移轨道1进入火星停泊轨道2，进行相关探测后进入较低的轨道3开展科学探测，则探测器( )
A．在轨道2上近火点加速可进入轨道3
B．在轨道2上近火点的机械能比远火点小
C．在轨道1上的运行速度不超过第二宇宙速度
D．在轨道2与轨道3同一近火点的加速度相同
答案 D
解析 在轨道2上近火点减速做近心运动可进入轨道3，A错误；在轨道2上运动时，只有引力做功，则机械能不变，B错误；在轨道1上的运行速度要超过第二宇宙速度小于第三宇宙速度，C错误；在轨道2与轨道3同一近火点只受万有引力，产生的加速度相同，D正确．
考向2 变轨问题中的能量变化
例3 (2023·广东揭阳市模拟)如图所示是“嫦娥五号”卫星绕月球运行的三条轨道，轨道1是近月圆轨道，轨道2和3是变轨后的椭圆轨道．轨道1上的A点也是轨道2、3的近月点，B点是轨道2的远月点，C点是轨道3的远月点．则下列说法中正确的是( )
A．卫星在轨道2的周期大于在轨道3的周期
B．卫星在轨道2经过A点时的速率小于在轨道1经过A点时的速率
C．卫星在轨道2经过A点时的加速度大于在轨道3经过A点时的加速度
D．卫星在轨道2上B点所具有的机械能小于在轨道3上C点所具有的机械能
答案 D
解析 根据开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k，轨道2的半长轴小于轨道3的半长轴，故卫星在轨道2的周期小于在轨道3的周期，故A错误；卫星要由轨道1变轨到轨道2，必须在A点加速，所以卫星在轨道2经过A点时的速率大于在轨道1经过A点时的速率，故B错误；在A点根据牛顿第二定律有Geq \f(Mm,r2)＝ma，得a＝Geq \f(M,r2)，故卫星在轨道2经过A点时的加速度等于在轨道3经过A点时的加速度，故C错误；由于卫星要由轨道2变轨到轨道3，必须在A点加速，机械能增加，所以卫星在轨道3上c点所具有的机械能大于在轨道2上B点所具有的机械能，故D正确．
考向3 飞船对接问题
例4 北京时间2021年10月16日神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时．为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动．对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)．为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是( )
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可
C．飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可
答案 D
解析 根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，合适位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可，故选D.
题型二 双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2.
②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1).
⑤双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2)).
⑥双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G).
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．常见的多星及规律：
例5 (2023·广东深圳市调研)由于潮汐等因素影响，月球正以每年约3至5厘米的速度远离地球．地球和月球可以看作双星系统，它们绕O点做匀速圆周运动．多年以后，地球( )
A．与月球之间的万有引力变大
B．绕O点做圆周运动的周期不变
C．绕O点做圆周运动的角速度变小
D．做圆周运动的轨道半径变小
答案 C
解析 多年以后，地球和月球间距离变大，两星球的质量不变，由万有引力定律可知，地球与月球之间的万有引力变小，故A错误；地球和月球绕O点做匀速圆周运动的角速度大小ω相等，周期T相等，设地球与月球的质量分别为M1和M2，圆周运动的半径分别为r1和r2，地球和月球间距离为L，则有L＝r1＋r2，由万有引力提供向心力eq \f(GM1M2,L2)＝M1(eq \f(2π,T))2r1＝M1ω2r1，eq \f(GM1M2,L2)＝M2(eq \f(2π,T))2r2＝M2ω2r2，联立可得eq \f(GM1＋M2,L2)＝eq \f(4π2L,T2)＝ω2L，r1＝eq \f(M2L,M1＋M2)，地球与月球的质量不变，地球和月球间距离增大，则地球绕O点做圆周运动的周期T变大，地球绕O点做圆周运动的角速度变小，地球做圆周运动的轨道半径变大，故B、D错误，C正确．
例6 如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B很远，可认为地球保持静止，则( )
A．恒星A、B运动的周期为T
B．恒星A的质量小于B的质量
C．恒星A、B的总质量为eq \f(π2d3,GT2)
D．恒星A的线速度大于B的线速度
答案 C
解析 每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误； 根据万有引力提供向心力有Geq \f(mAmB,d2)＝mAeq \f(4π2,2T2)rA＝mBeq \f(4π2,2T2)rB，由题图知rA
A．每颗星体所需向心力大小为2Geq \f(m2,r2)
B．每颗星体运行的周期均为2πeq \r(\f(r3,3Gm))
C．若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的eq \r(2)倍
D．若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的eq \f(1,4)
答案 BC
解析 任意两颗星体间的万有引力大小F0＝Geq \f(m2,r2)，每颗星体受到其他两个星体的引力的合力为F＝2F0cs 30°＝eq \r(3)Geq \f(m2,r2)，A错误；由牛顿第二定律可得F＝m(eq \f(2π,T))2r′，其中r′＝eq \f(\f(r,2),cs 30°)＝eq \f(\r(3)r,3)，解得每颗星体运行的周期均为T＝2πeq \r(\f(r3,3Gm))，B正确；星体原来的角速度ω＝eq \f(2π,T)＝eq \r(\f(3Gm,r3))，若r不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度ω′＝eq \f(2π,T′)＝eq \r(\f(6Gm,r3))，则星体的角速度变为原来的eq \r(2)倍，C正确；星体原来的线速度大小v＝eq \f(2πr′,T)，若m不变，星体间的距离变为4r，则星体的周期T′＝2πeq \r(\f(4r3,3Gm))＝16πeq \r(\f(r3,3Gm))＝8T，星体的线速度大小v′＝eq \f(2π,T′)×4r′＝eq \f(πr′,T)，则星体的线速度变为原来的eq \f(1,2)，D错误．
题型三 星球“瓦解”问题 黑洞
1．星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即eq \f(GMm,R2)＝mω2R，得ω＝eq \r(\f(GM,R3)).当ω>eq \r(\f(GM,R3))时，星球瓦解，当ω
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞．当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的
eq \r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞．
考向1 星球的瓦解问题
例8 (2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有Geq \f(Mm,r2)≥mreq \f(4π2,T2)，又知M＝ρ·eq \f(4,3)πr3，整理得密度ρ≥eq \f(3π,GT2)＝eq \f(3×3.14,6.67×10－11×5.19×10－32) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故选C.
考向2 黑洞问题
例9 英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，某科学家在银河系中心附近的一团分子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的eq \r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞．已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
A.eq \f(2v12R,kc2)B.eq \f(2kc2R,v12)
C.eq \f(kv12R,2c2)D.eq \f(2kv12R,c2)
答案 D
解析 地球的第一宇宙速度为v1＝eq \r(\f(GM,R))，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝eq \r(\f(GkM,r))，并且有
eq \r(2)v2>c，联立解得r
1．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( )
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服稀薄气体阻力做的功小于引力势能的减小量
答案 BD
解析 在卫星轨道半径变小的过程中，地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D正确．
2.2021年5月15日，中国火星探测工程执行探测任务的飞船“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区．若飞船“天问一号”从地球上发射到着陆火星，运动轨迹如图中虚线椭圆所示，飞向火星过程中，太阳对飞船“天问一号”的引力远大于地球和火星对它的吸引力，认为地球和火星绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．飞船“天问一号”椭圆运动的周期小于地球公转的周期
B．在与火星会合前，飞船“天问一号”的向心加速度小于火星公转的向心加速度
C．飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒
D．飞船“天问一号”在地球上的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
答案 C
解析 根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k，由题图可知飞船“天问一号”椭圆运动的半长轴大于地球公转半径，所以飞船“天问一号”椭圆运动的周期大于地球公转的周期，A错误；在与火星会合前，飞船“天问一号”到太阳的距离小于火星公转半径，根据万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝ma，可知飞船“天问一号”的向心加速度大于火星公转的向心加速度，B错误；飞船“天问一号”在无动力飞向火星过程中，引力势能增大，动能减少，机械能守恒，C正确；飞船“天问一号”要脱离地球的束缚，所以发射速度大于第二宇宙速度，D错误．
3．(2023·广东省六校联盟联考)天宫二号在离地343 km圆形轨道上运行1 036天后，受控离轨并进入大气层，少量残骸落入南太平洋预定安全海域．天宫二号“回家”，标志着我国载人航天工程空间实验室阶段全部任务圆满完成．关于天宫二号绕地球的运动，下列说法正确的是( )
A．天宫二号受控离轨瞬间，应加速前进
B．天宫二号进入大气层后，它的引力势能越来越小，机械能守恒
C．天宫二号绕地球做匀速圆周运动的周期小于地球自转的周期
D．天宫二号绕地球做匀速圆周运动向心加速度小于地球赤道物体自转的向心加速度
答案 C
解析 天宫二号受控离轨进入大气层前，要减速降轨，天宫二号是利用反冲原理减速的，所以它要向前喷气减速，从而做近心运动，故A错误；天宫二号在进入大气层后，万有引力做正功，引力势能越来越小，大气阻力做负功，机械能越来越小，故B错误；根据开普勒第三定律可知eq \f(T1,T2)＝，天宫二号的轨道半径比同步卫星的轨道半径小，则天宫二号绕地球做匀速圆周运动的周期小于同步卫星的运动周期，而同步卫星的运动周期等于地球自转的周期，则天宫二号绕地球做匀速圆周运动的周期小于地球自转的周期，故C正确；天宫二号绕地球做匀速圆周运动时，它的轨道比同步卫星的轨道低，根据万有引力定律可知Geq \f(Mm,r2)＝ma，天宫二号的向心加速度大于同步卫星的加速度，又同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，根据a＝ω2r可知，同步卫星的向心加速度大于地球赤道物体自转的向心加速度，所以天宫二号绕地球做匀速圆周运动时，它的向心加速度比地球赤道物体自转的向心加速度大，故D错误．
4.(多选)(2023·广东潮州市模拟)2021年9月20日，“天舟三号”在文昌航天发射中心成功发射升空．图中P、Q分别是“天舟三号”和“天和核心舱”对接前各自在预定轨道运行的情景，下列说法正确的是( )
A．在预定轨道运行时，P的周期小于Q的周期
B．在预定轨道运行时，P的速率小于Q的速率
C．为了实现对接，P应减速
D．为了实现对接，P应加速
答案 AD
解析 根据开普勒第三定律有eq \f(r3,T2)＝k，因P的轨道半径小，所以周期也小，A正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，因P的轨道半径小，则P的速率大，B错误；P的轨道低于Q的轨道，则为了完成对接，P应加速，C错误，D正确．
5．(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示．若A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则( )
A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶1
B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3
C．星球A与星球B的质量之比为3∶1
D．星球A与星球B的动能之比为3∶1
答案 AD
解析 星球A所受的引力与星球B所受的引力均为二者之间的万有引力，大小是相等的，故A正确；双星系统中，星球A与星球B转动的角速度相等，根据v＝ωr可知，线速度大小之比为3∶1，故B错误；A、B两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得Geq \f(mAmB,L2)＝mAω2rA＝mBω2rB，则星球A与星球B的质量之比为mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C错误；星球A与星球B的动能之比为eq \f(EkA,EkB)＝eq \f(\f(1,2)mAvA2,\f(1,2)mBvB2)＝eq \f(mAωrA2,mBωrB2)＝eq \f(3,1)，故D正确．
6．(2023·安徽蚌埠市检测)2022年7月24日14时22分，中国“问天”实验舱在海南文昌航天发射场发射升空，准确进入预定轨道，任务取得圆满成功．“问天”实验舱入轨后，顺利完成状态设置，于北京时间2022年7月25日3时13分，成功对接于离地约400 km的“天和”核心舱．“神舟”十四号航天员乘组随后进入“问天”实验舱．下列判断正确的是( )
A．航天员在核心舱中完全失重，不受地球的引力
B．为了实现对接，实验舱和核心舱应在同一轨道上运行，且两者的速度都应大于第一宇宙速度
C．对接后，组合体运动的加速度大于地球表面的重力加速度
D．若对接后组合体做匀速圆周运动的周期为T，运行速度为v，引力常量为G，利用这些条件可估算出地球的质量
答案 D
解析 航天员受到的地球的引力充当绕地球做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，A错误；为了实现对接，实验舱应先在比核心舱半径小的轨道上加速做离心运动，逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接，但速度小于第一宇宙速度，B错误；对接后，组合体运动的加速度a＝eq \f(GM,r2)
A．“天舟二号”需要与天和核心舱在同一高度轨道上加速以实现对接
B．“天舟二号”对接天和核心舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小
C．“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，周期变小
D．“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，机械能减少
答案 CD
解析 若“天舟二号”与天和核心舱在同一高度轨道上，“天舟二号”加速做离心运动，将无法完成对接，所以“天舟二号”需要在较低轨道上加速以实现对接，故A错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得r＝eq \f(GM,v2)，可知“天舟二号”对接天和核心舱后，轨道半径将不变，故B错误；对围绕同一中心天体运动的物体，根据开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k，可知“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，周期变小，故C正确；“天舟二号”从400千米高度的圆轨道变至近地点为200千米高度的椭圆轨道，需要减速做近心运动，且万有引力做正功，引力势能减小，“天舟二号”机械能减少，故D正确．
8.(2023·贵州省贵阳一中高三检测)宇宙中有很多恒星组成的双星运动系统，两颗恒星仅在彼此的万有引力作用下绕共同点做匀速圆周运动，如图所示．假设该双星1、2的质量分别为m1、m2，圆周运动的半径分别为r1、r2，且r1小于r2，共同圆周运动的周期为T，引力常量为G.则下列说法正确的是( )
A．恒星1做圆周运动所需的向心加速度大小为Geq \f(m2,r12)
B．恒星1表面的重力加速度一定大于恒星2表面的重力加速度
C．恒星1的动量一定大于恒星2的动量
D．某些双星运动晚期，两者间距逐渐减小，一者不断吸食另一者的物质，则它们在未合并前，共同圆周运动的周期不断减小
答案 D
解析 对于恒星1，根据万有引力提供向心力有eq \f(Gm1m2,r1＋r22)＝m1a1，则恒星1的向心加速度大小a1＝eq \f(Gm2,r1＋r22)，故A错误；由mg＝eq \f(GMm,R2)，解得g＝eq \f(GM,R2)，由于不能确定两恒星半径R的大小，故不能确定表面重力加速度的大小，故B错误；对于双星运动有m1r1＝m2r2，又因为角速度相同，根据角速度与线速度关系有m1ωr1＝m2ωr2，即m1v1＝m2v2，则动量大小相等，故C错误；设两恒星之间距离为L，对恒星1，有eq \f(Gm1m2,L2)＝m1(eq \f(2π,T))2r1，对恒星2，有eq \f(Gm1m2,L2)＝m2(eq \f(2π,T))2r2，上述两式相加得eq \f(Gm2,L2)＋eq \f(Gm1,L2)＝(eq \f(2π,T))2r1＋(eq \f(2π,T))2r2，解得T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2))，可以看到当两者间距逐渐减小，总质量不变时，双星做圆周运动的共同周期逐渐减小，故D正确．
9．(2023·广东深圳市模拟)如图所示为嫦娥五号着陆月球前部分轨道的简化示意图，Ⅰ是地月转移轨道，Ⅱ、Ⅲ是绕月球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕月球运行的圆形轨道．P、Q分别为椭圆轨道Ⅱ的远月点和近月点，忽略嫦娥五号在Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ轨道上运行时地球以及其他天体对嫦娥五号的影响，下列关于嫦娥五号说法正确的是( )
A．在Ⅱ轨道运行的周期小于在Ⅲ轨道运行的周期
B．由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需在P处向前喷气，由Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道需在Q处向前喷气
C．在Ⅱ轨道上经过Q点时的加速度小于在Ⅳ轨道经过Q点时的加速度
D．在Ⅲ轨道上的机械能比Ⅳ轨道上小
答案 B
解析 根据开普勒第三定律，可得eq \f(aⅡ3,TⅡ2)＝eq \f(aⅢ3,TⅢ2)，由于Ⅱ轨道的半长轴大于Ⅲ轨道的半长轴，所以在Ⅱ轨道运行的周期大于在Ⅲ轨道运行的周期，故A错误；由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道需要减速，故需在P处向前喷气；由Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道需要减速，故需在Q处向前喷气，故B正确；根据牛顿第二定律可得Geq \f(mM,r2)＝ma，解得a＝eq \f(GM,r2)，由于在Ⅱ轨道上经过Q点和在Ⅳ轨道经过Q点时到月心距离相等，则在Ⅱ轨道上经过Q点时的加速度等于在Ⅳ轨道经过Q点时的加速度，故C错误；从低轨进入高轨，需要点火加速，机械能增大，所以轨道越高，嫦娥五号机械能越大，故在Ⅲ轨道上的机械能比Ⅳ轨道上大，故D错误．
10.(多选)(2023·广东省模拟)如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道Ⅰ上运动，卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点A的加速度大小为a0，线速度大小为v0，A点到地心的距离为R，远地点B到地心的距离为3R，卫星在椭圆轨道的远地点B变轨进入圆轨道Ⅱ，卫星质量为m，则下列判断正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为eq \f(1,3)a0
B．卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为eq \f(\r(3a0R),3)
C．卫星在轨道Ⅱ上运行周期为在轨道Ⅰ上运行周期的3eq \r(3)倍
D．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为eq \f(ma0R,6)－eq \f(mv02,18)
答案 BD
解析 设卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a1，由eq \f(GMm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，则a1＝eq \f(R2,3R2)a0＝eq \f(1,9)a0，故A错误；设卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为v1，有a1＝eq \f(v12,3R)，解得v1＝eq \r(\f(1,3)a0R)＝eq \f(\r(3a0R),3)，故B正确；根据开普勒第三定律有eq \f(T22,T12)＝eq \f(3R3,2R3)，解得eq \f(T2,T1)＝eq \f(3\r(6),4)，故C错误；设卫星在椭圆轨道远地点B的线速度大小为v，根据开普勒第二定律有v0R＝v×3R，解得v＝eq \f(1,3)v0，卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为W＝eq \f(1,2)mv12－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(ma0R,6)－eq \f(mv02,18)，故D正确．
11．(2023·广东珠海市调研)宇宙中存在一些离其他恒星较远的，由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响．稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2.若每颗星的质量都相同，则T1∶T2为( )
A.eq \f(R,2r)eq \r(\f(3R,5r))B.eq \f(r,R)eq \r(\f(3r,5R))
C.eq \f(r,R)eq \r(\f(3R,5r))D.eq \f(2R,r)eq \r(\f(3R,5r))
答案 D
解析 第一种形式下，星体A受到星体B和星体C两个万有引力，它们的合力充当向心力，则Geq \f(mm,R2)＋Geq \f(mm,2R2)＝meq \f(4π2,T12)R，解得T1＝4πReq \r(\f(R,5Gm))，第二种形式下，星体之间的距离r，那么圆周运动的半径为R′＝eq \f(\r(3)r,3)，星体A受的合力F合＝2Geq \f(mm,r2)·cs 30°，根据合力提供向心力有2Geq \f(mm,r2)·cs 30°＝meq \f(4π2,T22)×eq \f(\r(3)r,3)，解得T2＝2πreq \r(\f(r,3Gm))，则T1∶T2＝eq \f(2R,r)eq \r(\f(3R,5r))，故选D.
12.(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
答案 BD
解析 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由eq \r(2)Geq \f(m2,L2)＋Geq \f(m2,\r(2)L2)＝(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝mω2·eq \f(\r(2),2)L，可知ω＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))，故B正确；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的eq \f(1,2)，故C错误；由(eq \f(1,2)＋eq \r(2))Geq \f(m2,L2)＝meq \f(v2,\f(\r(2),2)L)可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝eq \r(\f(4＋\r(2)Gm,4L))，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．常见的三星模型
①eq \f(Gm2,2R2)＋eq \f(GMm,R2)＝ma向
②eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＝ma向
常见的四星模型
①eq \f(Gm2,L2)×cs 45°×2＋eq \f(Gm2,\r(2)L2)＝ma向
②eq \f(Gm2,L2)×cs 30°×2＋eq \f(GmM,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1( \f(L,\r(3)) ))2)＝ma向
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