第2章 特殊三角形 单元同步培优检测卷（原卷版 解析版）-浙教版初中数学八年级上册

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特殊三角形 单元同步培优检测卷（时间：120分钟 满分：120分）一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．如图，在等边三角形中，，则的度数是（　　）A．B．C．D．【答案】B2．如图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】解：三个选项中的图形都找不到一条直线能够使直线两旁的部分重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能够找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形；故答案为：C．【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（　　） A．8B．7C．6D．5【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点E作ET⊥AB交AB与点T ∵ 由作图可得，AE平分∠CAB ∴CE=ET，  在Rt△ACE与Rt△ATE中，  AE=AE，CE=TE， ∴Rt△ACE≌Rt△ATE ∴AC=AT ∵CE＝3∴ET=3 ∵BE＝5，ET⊥AB ∴BT=4  设AC=x，则AT=x ∵在△ABC中，∠C＝90°∴AC2+BC2=AB2∴ 解得，x=6  故答案为：C.  【分析】根据作图过程可得AE平分∠CAB，由角平分线的性质可过点E作ET⊥AB交AB与点T，并得到CE=ET，AC=AT，之后运用勾股定理，可建立AC相关的等式，解出可得到答案.4．如图，在△ABC中，BC＝1，AB＝3，，D为AC上一点，连接BD，若，则的度数为（　　）A．40°B．35°C．30°D．20°【答案】B【解析】【解答】解：设△BCD中BC边上的高为h1，△ABD中AB边上的高为h2，∵，∴BC·h1：AB·h2=1：3∵BC=1，AB=3，∴h1：h2=1：1，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠ABC=×70°=35°， 故答案为：B. 【分析】设△BCD中BC边上的高为h1，△ABD中AB边上的高为h2，由可得h1：h2=1：1，根据角平分线的判定可得BD平分∠ABC，从而求解.5．三边分别为，，，在下列条件中，不能判定是直角三角形的是（　　）A．B．C．D．两内角互余【答案】B【解析】【解答】解：A选项中，∵c2＝a2-b2， ∴b2+c2＝a2，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B选项中，∵设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，∴∠C＝5×15°＝75°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；C选项中，∵，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝3×30°＝90°，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D选项中，∵两内角互余，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．故答案为：B． 【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。6．如图，长方体的长、宽、高分别为2cm、1cm、4cm，蚂蚁在长方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　）A．cmB． cmC．5cmD．4.5cm【答案】C【解析】【解答】解：①展开前面和右面，如图所示：此时AB=cm；②展开前面和上面，如图所示：此时AB=cm；③展开左面和上面，如图所示：此时AB=cm，∵，∴从点A爬到点B的最短路程是5cm，故答案为：C.【分析】分类讨论：①展开前面和右面，②展开前面和上面，③展开左面和上面，再分别利用勾股定理求出AB的长，最后比较大小即可.7．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．古希腊哲学家柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其弦（结果用含的式子表示）是（　　）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：∵ m为正整数 ，∴2m为偶数， 设其股为x，则其弦为x+2， 由勾股定理得：（2m）2+x2=（x+2）2， 解得：x= ，∴弦为x+2=+2= ； 【分析】由m为正整数 ，可知2m为偶数，设其股为x，则其弦为x+2，根据勾股定理建立方程并解之即可.8．如图，等边中，AD是BC边上的中线，且，E，P分别是AC，AD上的动点，则的最小值等（　　）A．4B．6C．8D．9【答案】A9．如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（　　）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】C10．如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（　　）A．B．C．D．【答案】A二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．已知等腰三角形一底角为，则这个等腰三角形顶角的大小是　 　度．【答案】120【解析】【解答】解：等腰三角形顶角的大小是，故答案为：120．【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理即可求出答案.12．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝　 　．【答案】130°．13．如图，已知圆柱的底面直径 ，高 ，小虫在圆柱表面爬行，从点 爬到点 ，然后在沿另一面爬回点 ，则小虫爬行的最短路程为　 　. 【答案】【解析】【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点 的最短距离为线段AC的长。在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，所以AC=3 ，∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=6 .故答案为： .【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解.14．已知：如图， 中， ，点 在 上， ，且 ，若 的面积是20，则CD的长为　 　． 【答案】【解析】【解答】如图，作AH⊥CD于H，BM⊥CD交CD的延长线于M.∵AC=AD，AH⊥CD，∴∠CAH=∠DAH，CH=DH，∵∠CAH+∠ACH=90°，∠BCD= =∠CAH，∴∠BCD+∠ACH=90°，∴∠ACB=90°，∵∠AHC=∠M=90°，∴∠ACH+∠BCM=90°，∠BCM+∠CBM=90°，∴∠ACH=∠CBM，∵AC=BC，∴△AHC≌△CMB(AAS)，∴CH=BM，∴CH=DH=BM，设BM=CH=DH=x，∵ ＝ ⋅CD⋅BM，∴ ·2x·x=20，∴ ，∴ .故答案为 ．【分析】作AH⊥CD于H，BM⊥CD交CD的延长线于M.根据AAS可证△AHC≌△CMB，可得CH=BM，从而得出CH=DH=BM，设BM=CH=DH=x，利用 ＝ ⋅CD⋅BM= ·2x·x=20，据此求出x的值即可.15．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端处，发现此时绳子底端距离打结处，则旗杆的高度为　 　【答案】8【解析】【解答】设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+2）米，根据题意可得：（x+2）2=x2+62，解得：x=8，∴旗杆的高度为8米，故答案为：8.【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长为（x+2）米，再利用勾股定理可得（x+2）2=x2+62，再求出x的值即可.16．如图，在中，，为边的中点，、分别为边、上的点，且，若，，则　 　，线段的长度　 　． 【答案】45；【解析】【解答】解：如图，延长FD到M使得DM＝DF=2，分别连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于点N，  ∵∠C＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， ∵AE＝AD，BF＝BD， ∴∠AED＝∠ADE，∠BDF＝∠BFD， ∴2∠ADE+∠BAC＝180°，2∠BDF+∠B＝180°， ∴2∠ADE+2∠BDF＝270°， ∴∠ADE+∠BDF＝135°， ∴∠EDF＝180°-（∠ADE+∠BDF）＝45°， ∵∠END＝90°，DE＝， ∴∠EDN＝∠DEN＝45°， ∴EN＝DN＝1， ∵D为AB的中点， ∴AD=BD， 又∵∠ADM=∠BDF，DM＝DF=2， △ADM≌△BDF（SAS）， ∴BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B， ∴∠MAE＝∠MAD+∠BAC＝90°， ∴EM＝AM， ∵在Rt△EMN中，EN＝1，MN＝DM+DN＝3， ∴EM＝＝=， ∴AM＝，AB＝2AM＝． 故答案为：45，．【分析】延长FD到M使得DM＝DF=2，分别连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于点N，先利用角的互余关系及等腰三角形性质得到∠ADE+∠BDF＝135°，再利用角的互补关系求得∠EDF＝45°，从而得到∠EDN＝∠DEN＝45°，EN＝DN＝1；再利用“SAS”定理证明△ADM≌△BDF，从而得BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B，进而得到EM＝AM，再利用勾股定理求得EM的长，从而求出AM的长，进而求得AB的长.三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，已知点P是等边△ABC内一点，连结PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP＝60°，连结DP，DC，AD＝DP．（1）求证：△ADC≌△APB．（2）若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度数．【答案】（1）证明：∵∠DAP＝60°，AD=AP ∴△ADP是等边三角形，∴AP＝AD，又∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠BAC＝60°∵∠BAP=∠BAC-∠PAC， ∠DAC=∠DAP-∠PAC∴∠BAP=∠DAC在△ADC与△APB中 ，∴△ADC≌△APB（SAS）（2）解：∵△ADC≌△APB， ∴CD＝PB＝5，∠APB＝∠ADC，∵△ADP是等边三角形，∴∠ADP＝60°，PD＝PA＝12，∵PC＝13，∴CD2+PD2＝PC2，∴∠PDC＝90°∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°．【解析】【分析】（1）利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ADP是等边三角形，由此可证得AP=AD；再利用等边三角形的性质去证明AC＝AB，∠BAP=∠DAC，利用SAS可证得结论.（2）利用全等三角形的对应边相等，可求出CD的长，同时可证得∠APB＝∠ADC，利用等边三角形的性质可推出∠ADP＝60°，PD＝PA＝12，再利用勾股定理的逆定理证明∠PDC=90°，然后根据∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC，代入计算求出∠APB的度数.18．如图，在中，，过C点作，垂足为C，且，连接，交于点E.（1）求证：；（2）若E是的中点，求证.【答案】（1）证明：∵，∴，在和中，∵，∴（）；（2）证明：∵，∴，∴，∵E是的中点，∴，∴.【解析】【分析】（1）由垂直的定义可得∠DCB=∠ABC=90°，根据SAS证明△ABC≌△DCB；（2）由（1）知△ABC≌△DCB，可得∠ACB=∠DBC，利用等角对等边可得CE=BE，由线段的中点可得AC=2CE，继而得解.19．如图，点A、E、F、C在同一直线上，DE∥BF，DE=BF，AE=CF。（1）证明：△ABF≌△CDE；（2）若DE=DF=CF，且∠A=20°，求∠EDF的度数。【答案】（1）证明：∵DE∥BF ∴∠BFE=∠DEF又∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE在△ABF和△CDE中∴△ABF≌△CDE(SAS)（2）解：由(1)知△ABF≌△CDE且∠A=20° ∴∠C=∠A=20°∵DF=CF∴∠FDC=∠C=20°又∵∠DFE是△CDF的外角∴∠DFE=∠FDC+∠C=20°+20°=40°又∵DE=DF∴∠DEF=∠DFE=40°在△DEF中，∠EDF=180°-∠DFE-∠DEF=180°-40°40°=100°【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠BFE=∠DEF，再由AE=CF可证AF=CE，然后利用SAS证明△ABF≌△CDE。（2）利用全等三角形的对应角相等，求出∠C的度数，再利用等边对等角，可得到∠FDC的度数，利用三角形的外角的性质，由∠DFE=∠FDC+∠C，可求出∩DFE的度数，从而可得到∠DEF的度数，然后利用三角形的内角和定理求出∠EDF的度数。20．如图，一轮船以30km/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300km. 问：（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？（2）若轮船进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？(结果精确到0.01h)【答案】（1）解：轮船不改变航向，轮船会进入台风影响区. 如图，设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：CE=30x千米，BB′=20x千米，∵BC=500km，AB=300km，∴AC=300km，∴AE=400-30x，AB′=300-20x，∴AE2+AB′2=EB′2，即（400-30x）2+（300-20x）2=2002，解得： ， （舍去），答：轮船会进入台风影响区.（2）解：由（1）可知，当经8.3小时时轮船就进入台风影响区. 【解析】【分析】（1）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出，即可判断是否受台风影响；（2）根据（1）中台风影响的时间即可确定进入台风影响区的时间.21．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝13，BD＝12，CD＝ ． （1）求AD的长； （2）求△ABC的周长． 【答案】（1）解：在Rt△ABD中，AD＝ ＝5； （2）解：在Rt△ADC中，AC＝ ， 则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝ ．【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算，得到答案；（2）根据勾股定理求出AC，根据三角形的周长公式计算即可．22．如图，直线a∥b，点M，N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1=70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交与点D，E，设∠NPE=a. （1）证明△MPD∽△NPE.（2）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置.（3）当△NPE是等腰三角形时，求a的值.【答案】（1）证明：∵a∥b， ∴∠1=∠PNE. 又∵∠MPD=∠a， ∴△MPD∽△NPE（2）解：当△MPD与△NPE全等时，点P是MN的中点 （3）解：①若PN=PE时，∵PN=PE， ∴∠PNE=∠PEN=70° ∴∠a=180°-∠PNE-∠PEN=180°-70°-70°=40°∴∠a=40°②若EP=EN时，∵EP=EN，∴∠a=∠PNE=∠1=70°③若NP=NE时，∵NP=NE，∴∠a=∠PEN= =55°∠∴a=40°或70°或55°【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可得到相等的角，证明三角形相似即可。（2）将三角形全等作为条件，根据三角形全等的性质，得出结论，得到P点的位置。（3）根据题意，结合等腰三角形的性质，进行分类讨论即可得到答案。23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AC上一点，且BC=3CD，BD=10。（1）求CD的长；（2）若AB=5 ，求AD的长。【答案】（1）解：设CD=x，则BC=3x， 在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BD=10，则x²+(3x)²=10²，解得x= (负值舍去)，∴CD= （2）解：∵AC2=AB2-BC²=(5 )²-(3 )²=160， ∴AC=4 ，∴AD=AC-CD=3 【解析】【分析】（1）设CD=x，则BC=3x，在Rt△BCD中，利用勾股定理可得x²+(3x)²=10²，解出x的值即可；（2）在Rt△BCA中，利用勾股定理求出AC的长，由AD=AC-CD即可求出结论.24．如图（1）如图1，中，作、的角平分线相交于点O，过点O作分别交、于E、F．①求证：；②若的周长是25，，试求出的周长；（2）如图2，若的平分线与外角的平分线相交于点P，连接，试探求与的数量关系式．【答案】（1）解：①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴OE=BE；②同①可证OF=CF△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16；（2）解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∴∠FAP=∠PAC，∴∠FAC=2∠PAC，∵∠FAC+∠BAC=180°，∴2∠PAC+∠BAC=180°．【解析】【分析】（1）①根据角平分线的概念可得∠EBO=∠OBC，根据平行线的性质可得∠EOB=∠OBC，则∠EOB=∠EBO，据此可得结论；②同①可证OF=CF，进而可将△AEF的周长转化为AB+AC，据此计算；（2）延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，由角平分线的概念以及性质可得∠ACP=∠PCD，PM=PN，∠ABP=∠PBC，PF=PN，则PF=PM，推出∠FAC=2∠PAC，由邻补角的性质可得∠FAC+∠BAC=180°，据此解答.25．如图， ， 平分 ，点 、 在射线 、 上，点 是射线 上的一个动点，连接 交射线 于点 ，设 .（1）如图1，若DE//OB.① 的度数是▲，当 时， _▲_；②若 ，求 的值；（2）如图2，若 ，是否存在这样的 的值，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）①20°；70；②解： ， 平分 ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ，∵ ， ， ；（2）解：存在这样的 的值，使得 . ， ，在Rt 中， .①若 在 左侧，如图， 在 中， ， ，又 ， ， ， ， ， ；②若 在 右侧，如图， 是 的外角， ，又 ， ， ， ， ， ， .综上所述： 或104.【解析】【解答】(1)解：① ， 平分 ， ， ， ； ， ， 在 中， ， ， ；故答案为：20°，70；【分析】（1）①先根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，然后根据平行线的性质即可求出 的度数；当 时，在直角△ODF中根据三角形的内角和定理解答即可；②由于 的度数已求出，且 ，可先根据三角形的内角和求出 的度数，然后利用三角形的外角性质解答即可；（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠DEO的度数，然后分 在 左侧和 在 右侧两种情况，分别画出符合题意的图形，然后利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解答即可.