上海市嘉定区第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份上海市嘉定区第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：高二数学备课组 2025年3月
一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 化为弧度是______弧度.
2. 化简__________．
3. 已知角终边上的一点，则____________.
4. 三角形ABC中，，，，则____.
5. 已知，则___．
6. 方程在上解组成的集合为________．
7. 若为奇函数，则__________.
8. 已知是锐角，且，则___________．
9. 已知，则________．
10. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是__________m.
11. 已知点O△ABC内一点，+2+3=，则=_________．
12. 已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当，；若函数，则函数在上零点个数是____
二、单选题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 的值为（ ）
A B. C. D.
14. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
15. 已知函数，函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
16. 对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存，使不等式成立那么（ ）
A. ①正确②错误B. ①错误②正确C. ①正确②正确D. ①错误②错误
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 在中，已知是的中点，是的重心，记，，试用、表示、.
18. 已知，且为第二象限角.
（1）求，的值；
（2）求的值.
19. 已知函数，，的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）当时，求函数的值域.
20. 将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径OA（图1），或让矩形一边与弦AB平行（图2），对于图1和图2，均记．
（1）对于图1，请写出矩形面积关于的函数解析式；
（2）对于图2，请写出矩形面积关于的函数解析式；（提示：）
（3）试求出的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？
21. 在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于、两点．
（1）如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求的值；
（2）若角的终边与单位圆交于点，经点、、分别作轴垂线，垂足分别为、、．求证：线段、、能构成一个三角形；
（3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
嘉定二中2024-2025学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
命题人：高二数学备课组 2025年3月
一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 化为弧度是______弧度.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件，利用角度与弧度转化，即可求解.
【详解】因为，
故答案为：.
2. 化简__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量加减运算法则进行计算.
【详解】.
故答案为：
3. 已知角的终边上的一点，则____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件，利用三角函数的定义即可求解.
【详解】因为角的终边上的一点，则，
故答案为：.
4. 三角形ABC中，，，，则____.
【答案】或
【解析】
【分析】根据余弦定理即可求解.
【详解】由余弦定理得，
即，解得或，
经检验，符合题意，
所以或.
故答案为：或
5. 已知，则___．
【答案】##－0.6
【解析】
【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算．
【详解】因为，
所以．
故答案为：．
6. 方程在上的解组成的集合为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和与差的三角函数化简方程为求解即可．
【详解】，
可得，
所以，，
解得或．
故答案为：，．
7. 若为奇函数，则__________.
【答案】2024
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程即可解得a的值.
【详解】由题意得函数的定义域为R,
，
，
由函数为奇函数，有，即，
解得.
故答案为：2024.
8. 已知是锐角，且，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据角的范围及正余弦值求得、，再由及差角正弦公式求值即可.
【详解】由题设，则，而，
所以.
故答案为：
9. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据两角和差公式化简，再在等式左右平方，最后结合二倍角正弦公式可得.
【详解】由题知，则，
则.
故答案为：.
10. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是__________m.
【答案】
【解析】
【分析】先求出所需角度，再由正弦定理，得，进而由余弦定理求解即可.
【详解】在中，，，
，
，.
在中，，，
.
由正弦定理，得.
在中，由余弦定理，得，，
故A，B两点之间的距离为.
故答案为：
11. 已知点O为△ABC内一点，+2+3=，则=_________．
【答案】3
【解析】
【分析】可作出图形，取BC的中点D，AC的中点E，并连接OA，OB，OC，OD，OE，根据条件可以得到，从而得出DE为△ABC的中位线，这样即可得到AB＝3OE，从而便有．
【详解】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；



∴；
∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；
∴DEOE，AB＝2DE；
∴AB＝3OE；
∴．
故答案为3．
【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及向量的数乘运算，向量数乘的几何意义，三角形中位线的定义及性质，三角形的面积公式．
12. 已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当，；若函数，则函数在上零点个数是____
【答案】6
【解析】
【分析】先将问题化为和图象交点个数问题，再利用的周期性与解析式作出的图象，同时也作出的图象，从而数形结合即可得解.
【详解】因为函数在R上零点的个数等于函数和图象交点的个数，
又的定义域为，又，
所以是周期为的周期函数，
当时，，
作出函数在内的图象，再由的周期性作出在上的图象，
同时作出，的图象，
因为，，
所以函数在上有三个交点，在上无交点，
又，，则，
则函数是偶函数，图象关于轴对称，
所以结合图形知的图象的交点的个数为6.
故答案为：6.
二、单选题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】利用诱导公式求三角函数值即可.
【详解】因为，
，
所以.
故选：A.
14. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用扇形面积公式计算即可.
【详解】扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积.
故选：B.
15. 已知函数，函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数在区间上单调，求出的取值范围，再由，得到，即可求出的取值集合，从而求出的最大值；
【详解】因为在区间上单调，所以，得到，
所以，解得，
又，，则由的图象与性质知，
所以，得到，所以，
当，解得，又，所以.
故选：C.
16. 对于任意，不等式有以下两个结论：①当时，对于任意实数，不等式成立；②对于任意实数，总存在，使不等式成立那么（ ）
A. ①正确②错误B. ①错误②正确C. ①正确②正确D. ①错误②错误
【答案】A
【解析】
【分析】利用的关系，换元化简不等式左侧为，根据二次函数的性质得出不等式左侧的值域，再利用简易逻辑用语及不等式的恒能成立一一判定结论即可.
【详解】记
，
令，则，
因为，所以，，
所以，
令，上式化为，，
易知对称轴，由二次函数的性质易知时单调递增，
即，，
所以.
显然恒成立，即当时，恒成立，
故①正确；
显然当时，，
不存在使得成立，故②错误.
故选：A.
【点睛】思路点睛：先利用同角三角函数的和积关系化简不等式左侧，再利用换元法转化为求二次函数定区间的值域，结论①②分别对应恒能成立问题，结合集合包含关系判定即可.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 在中，已知是的中点，是的重心，记，，试用、表示、.
【答案】，
【解析】
【分析】利用向量的中线公式、重心的性质及向量的线性运算，即可求解.
【详解】因为是的中点，则，又是的重心，
则，
又，
所以，
18. 已知，且为第二象限角.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，求和的值；
（2）用诱导公式化简原式，再利用（1）中三角函数值计算.
【小问1详解】
因为，且为第二象限角，
所以，.
【小问2详解】
.
19. 已知函数，，的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦型函数图象观察可得，利用代入最高点可得，从而可得解析式；
（2）利用正弦函数单调递增区间即可解得；
（3）利用定义域可得正弦函数的值域，从而可得函数值域.
【小问1详解】
根据图象可得：，，
由，因为，所以解得，
此时，代入最高点可得;
，可得，，
又因为，所以，
即；
【小问2详解】
由，，解得，，
所以的递增区间为；
【小问3详解】
当时，，此时有，
即的值域为.
20. 将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径OA（图1），或让矩形一边与弦AB平行（图2），对于图1和图2，均记．
（1）对于图1，请写出矩形面积关于的函数解析式；
（2）对于图2，请写出矩形面积关于的函数解析式；（提示：）
（3）试求出的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？
【答案】（1）
（2）
（3）最大值为200，最大值为，选择图2裁法得到的矩形的面积更大.
【解析】
【分析】（1）在中，，，表示即可；
（2）对于图2，在中，由正弦定理得，根据对称性求得，表示即可；
（3）根据三角函数化减的结果结合角的范围求最值并比较大小.
【小问1详解】
对于图1，在中，，，
矩形的面积为.
【小问2详解】
对于图2，在中，由正弦定理得.
由对称性可知，的平分线所在直线为对称轴，则,，
所以矩形的面积为
.
【小问3详解】
，
当时，取最大值，最大值为200；
.
当时，取最大值，最大值为.
所以，选择图2裁法得到的矩形的面积更大.
21. 在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于、两点．
（1）如果点的纵坐标为，点的横坐标为，求的值；
（2）若角终边与单位圆交于点，经点、、分别作轴垂线，垂足分别为、、．求证：线段、、能构成一个三角形；
（3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）为定值
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义和两角和的余弦公式即得结果；
（2）先由三角函数的定义得三条线段长度，再证明任意一边小于另两边之和，即得三条线段能构成一个三角形；
（3）利用余弦定理和正弦定理解三角形，可求得外接圆半径，即得外接圆面积为定值.
【小问1详解】
由已知得，，，、为锐角，
则，，
则
.
【小问2详解】
由已知得，，，，
，，
，，
，即①，
，
∴，即②，
同理，即③，
由①②③可知，线段、、能构成一个三角形.
【小问3详解】
设（2）中的三角形为，角所对的边长为
由余弦定理可得，
设外接圆半径为，则由正弦定理可得，，
，
.
故（2）中三角形的外接圆面积为定值.