2024-2025学年上海市松江二中高一（上）期中数学试卷（含解析）

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2．（4分）不等式的解集为 ．
3．（4分）函数的对称中心是 ．
4．（4分）已知，，则用、表示 ．
5．（4分）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为 ．
6．（4分）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 ．
7．（5分）若正数，满足，则的最小值是 ．
8．（5分）在平面直角坐标系中，设点，，，，定义：．若点，点为直线上的动点，则的最小值为 ．
9．（5分）人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中，均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的 倍．
10．（5分）已知常数，函数经过点、．若，则 ．
11．（5分）若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
12．（5分）已知集合，，，集合，其中，．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（4分）“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
14．（4分）标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是
A．B．C．D．
15．（5分）已知函数，若，且，则的取值范围是
A．B．，C．，D．
16．（5分）已知，，，是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中所有点构成的图形的面积，则
A．，B．，C．，D．，
三、解答题(本大题满分0分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．记全集，集合，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
18．已知函数且．
（1）若在区间，上的最大值与最小值之差为2，求实数的值；
（2）若函数的值域为，，求使得的实数的取值范围．
19．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为（米秒），且，时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，，．
（1）请写出报警距离（米与车速（米秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米小时？
20．已知函数，其中．
（1）若“存在，使得成立”是假命题，求实数的取值范围；
（2）求不等式的解集；
（3）已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合．如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，求实数的取值范围．
21．若函数的定义域为，且对任意，，都有，则称具有“性质”．
（1）当时，判断是否具有“性质”，并说明理由；
（2）当时，证明：具有“性质”；
（3）如果函数具有“性质”，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．
1．（4分）已知集合，1，，集合，，若，则实数 0 ．
【答案】0．
解：集合，1，，集合，，
因为，
所以．解得（舍，集合元素互异性）或0．
故答案为：0．
2．（4分）不等式的解集为 ．
【答案】．
解：，
则，解得，
故不等式解集为．
故答案为：．
3．（4分）函数的对称中心是 ．
【答案】．
解：函数，
显然函数的图象可以由函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位而得，
而函数的图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为．
故答案为：．
4．（4分）已知，，则用、表示 ．
【答案】．
解：，
故答案为：．
5．（4分）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为 ．
【答案】．
解：设该方程的两实根为，，
由题意可知，，，
关于方程的两实根的平方和为14，
则，解得或，
当时，方程，方程判别式小于0，方程无解，不符合题意，舍去，
当时，方程，方程判别式大于0，方程有解，符合题意，
综上所述，．
故答案为：．
6．（4分）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为 （答案不唯一） ．
解：根据题意，函数是幂函数，
由于，则在为增函数，
若函数在区间上单调递减，则为偶函数，
则，为偶数，为奇数，且，如．
故答案为：（答案不唯一）．
7．（5分）若正数，满足，则的最小值是 ．
【答案】．
解：因为正数，满足，
所以，
则，当且仅当，即时取等号．
故答案为：．
8．（5分）在平面直角坐标系中，设点，，，，定义：．若点，点为直线上的动点，则的最小值为 3 ．
【答案】3．
解：因为点为直线上的动点，设，
由定义可得：，当且仅当，同号时取等号．
故答案为：3．
9．（5分）人类已进入大数据时代．目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中，均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的 1.5 倍．
【答案】1.5．
解：由题意，，所以，所以，
所以2022年全球产生的数据量为，
则2023年全球产生的数据量，
所以2023年全球产生的数据量是2022年的倍．
故答案为：1.5．
10．（5分）已知常数，函数经过点、．若，则 4 ．
【答案】4．
解：函数经过点、，
则，，解得，，
，
则，解得（负值舍去）．
故答案为：4．
11．（5分）若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
解：当时，根据，可得，解得，不符合题意，因此，
易知为方程的一个解，
根据，可得，令，
所以与在，，，上的图象有三个公共点，
且，如下图所示：
根据图可知，，所以，
那么函数与在，，，上的图象有三个公共点，
所以的取值范围是．
故答案为：．
12．（5分）已知集合，，，集合，其中，．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为 ， ．
【答案】，．
解：由题意知，，则的最小值为，最大值为，
所以，，
又因为，
所以，又集合表示的区间为一个闭区间，
则，
化简可得，
又因为，
解得，
即的取值范围为，．
故答案为：，．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（4分）“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】
解：由，又，
所以，即，充分性成立；
当时，即，显，时成立，必要性不成立；
故“”是“”的充分非必要条件．
故选：．
14．（4分）标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是
A．B．C．D．
【答案】
解：对于，有，
所以，
分析选项知中与其最接近．
故选：．
15．（5分）已知函数，若，且，则的取值范围是
A．B．，C．，D．
【答案】
解：作出的图象如图所示：
由，得，，，可得，
则，
令，，，
则，
故．
故选：．
16．（5分）已知，，，是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中所有点构成的图形的面积，则
A．，B．，C．，D．，
【答案】
解：对任意给定，，则，且，，
可知，即，
所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中、、，
是中两点间距离的最大值，
则；
是中所有点构成的图形的面积，
则．
故选：．
三、解答题(本大题满分0分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．记全集，集合，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
解：（1）．
①当时，，，
②当时，，，
则或，若，则，
所以的取值范围为；
（2）由（1）知由，
则①，，
②，，
则的取值范围为．
18．已知函数且．
（1）若在区间，上的最大值与最小值之差为2，求实数的值；
（2）若函数的值域为，，求使得的实数的取值范围．
【答案】（1）2或；
（2），．
解：（1）①当时，则，；
②当时，则，；
则实数的值为2或；
（2）因为函数的值域为，，
则，
根据二次函数的性质可得，，解得，
，，即有，
，则实数的取值范围为．
19．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为（米秒），且，时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，，．
（1）请写出报警距离（米与车速（米秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米小时？
【答案】（1），2；
（2）30．
解：（1）由题意得，
所以，
当时，，
则（秒，
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒．
（2）根据题意要求对于任意，，恒成立，
即对于任意，，，
即恒成立，
由，，得，
所以，
即，
解得，
又，
所以，
故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在30千米小时．
20．已知函数，其中．
（1）若“存在，使得成立”是假命题，求实数的取值范围；
（2）求不等式的解集；
（3）已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合．如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，求实数的取值范围．
【答案】（1），．
（2）当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为．
（3）．
解：（1）根据题意知，对任意的，恒成立，
所以恒成立，
①当时，则，
②当时，符合题意，
所以实数的取值范围，．
（2）根据，可得，
所以，
当时，那么有，解得；
当时，方程的两根分别为；
当时，则，解原不等式可得，
当时，即，解原不等式得或；
当时，即，解原不等式可得或；
当时，即，原不等式即为，解得．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为．
（3）函数，
①当时，分子分母都是二次三项式，若满足题意，则对应的图象都是开口向上的抛物线，
若分子分母对应的方程是同解方程，则方程无解，则舍去，
若分子分母对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数，
函数值均为正，则需要分子分母的判别式均小于0，
所以，解得；
②当时，，不符合题意舍去．
则实数的取值范围为．
21．若函数的定义域为，且对任意，，都有，则称具有“性质”．
（1）当时，判断是否具有“性质”，并说明理由；
（2）当时，证明：具有“性质”；
（3）如果函数具有“性质”，求实数的取值范围．
【答案】（1）不具有，理由见解析．
（2）证明见解析．
（3）或．
解：（1）不具有“性质”，理由如下，
当，时，，
所以，因此不具有“性质”．
（2）证明：如果要证具有“性质”，
那么，
只需要证明成立即可，
因为，
又因为，那么，所以恒成立，
所以函数具有“性质”．
（3）根据题意知，
那么对任意，恒成立，
当时，不成立；当时，成立，
当时，，因此或．
阶段
0．准备
1．人的反应
2．系统反应
3．制动
时间
秒
秒
距离
米
米
阶段
0．准备
1．人的反应
2．系统反应
3．制动
时间
秒
秒
距离
米
米