重庆市渝中区2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题含答案

这是一份重庆市渝中区2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知i是虚数单位，则(1+i)2=（ ）
A．2iB．2C．−1D．2+2i
2．设△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a=52,c=10,A=π6，则C=（ ）
A．π4B．π3C．3π4D．π4或3π4
3．掷两颗大小相同、质地均匀的骰子，观察掷得的点数．设事件A:至少一个点数是偶数，事件B:点数之和是奇数；事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则P(A∩B)=
A．18B．14C．12D．34
4．已知平面向量a，e满足：|a|=2,|e|=1，且a在e上的投影向量为−2e，则a与e的夹角为（ ）
A．π4B．π3C．2π3D．3π4
5．对于两个平面α,β和两条直线m,n，则下列说法中正确的是（ ）
A．若m//n,n//α，则m//α
B．若m⊥α,n⊥β,α⊥β，则m⊥n
C．若m//α,α⊥β，则m⊥β
D．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β
6．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2A1B1，且三棱锥A1−ABC的体积为4，则三棱台ABC−A1B1C1的体积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
7．已知平面向量a,b满足：|a|=5,a⋅b=−9，且对任意实数λ，不等式|a→+λb→|≥|a→+b→|恒成立，则|a+3b|=（ ）
A．5B．34C．213D．15
8．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P是上底面A1B1C1D1内的一个动点．设平面ADP与平面BCP的夹角为α，平面ABP与平面CDP的夹角为β，若α≤β，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．一组数据4,5,6的方差大于另一组数据1,5,3的方差
B．同时抛掷两枚大小相同、质地均匀的硬币，则出现一枚正面和一枚反面朝上的概率为12
C．若事件A,B发生的概率非零且为互斥事件，则A,B为相互独立事件
D．若一组数据5,1,2,4,3，则其第40百分位数为2.5
10．重庆解放碑是纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现一学习小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图如图所示，A为解放碑的最顶端，B为解放碑的碑座（即B在A的正下方），B,C,D在同一水平面内，在下列各组测量数据中，能计算出解放碑高度（即AB的长度）的是（ ）
A．CD,∠ACB,∠BCD,∠BDCB．CD,BD,∠BDC,∠ACB
C．BC,BD,∠ACB=2∠ADBD．BC,∠ADB,∠CDB,∠ADC
11．如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=2，点F是PC的中点，点E为线段PA上一点（包含边界），则下列结论中正确的是（ ）
A．四面体EFBD的体积是定值
B．若E是PA的中点，且PD∩平面BEF=Q，则PQPD=13
C．若PA=5，则正四棱锥P−ABCD内切球与外接球的体积之比为1:8
D．若PA=6，且AE=EP，则四面体EFBD的外接球的表面积为33π4
三、填空题
12．复数z满足z+2z=6−2i，则z1−i=________．
13．已知a=(x,1),b=(2,x−1),x>0，若a//b，则|a+b|=________．
14．小红在正方体的八个顶点中随意选取不共面的四个点作为三棱锥的顶点，在这些三棱锥中，小红发现有四个面都是直角三角形的三棱锥、正四面体、像墙角一样的三棱锥（三条侧棱两两互相垂直），他还找到了一个与前面都不同的三棱锥P−ABC，在P−ABC中△PAB是一个等边三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，则PC与平面PAB所成角的余弦值为________．
四、解答题
15．某地区教育局组织学生参加“防溺水”网络知识问答，从中抽取110名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)估计这110名学生成绩的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)若知识问答成绩不高于60分的成绩等级被认定为“不合格”，知识问答成绩在80,90中的成绩等级被认定为“良好”．
①现采取分层抽样的方法，从80,100中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这两人成绩等级被认定为“良好”的概率；
②用样本估计总体，若从该地区随机抽取两人，求这两人成绩都“不合格”的概率．
16．某次比赛活动有4道单项选择题，第1,2,3,4题各题的满分分别为1,2,3,4分，每道题目选对给满分，选错不给分，甲参加比赛活动，每道题都要回答，选对第1,2,3,4题的概率分别为34,23,12,15，且每道题目能否选对都是相互独立的．
(1)求甲得4分的概率；
(2)若参加者的比赛得分不低于7分，则比赛成功，求甲比赛成功的概率．
17．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知S为△ABC的面积，且3a2+b2−c2=4S．
(1)求角C的大小；
(2)若acsA=bcsB，判断△ABC的形状；
(3)若△ABC为锐角三角形，且c=23，求S的取值范围．
18．如图①，ABCD是一个等腰梯形，AD=DC=CB=2,AB=4，点E是AB的中点，现将△ADE沿着DE向上翻折至△PDE，连接PB,PC，如图②．
(1)若平面PDE与平面PBC相交于直线l，证明：l//BC．
(2)证明：PC⊥BC；
(3)若PC=2，求平面PDE与平面PBC所成角的余弦值．
19．如图是一个质地均匀的正二十面体，它由20个全等的正三角形面围成，现将它的20个面分别标注数字1,2,3,…,20．
(1)这个正二十面体有多少个顶点、多少条棱？并根据正四面体、正方体中顶点个数、棱的条数和面的个数猜测这类正多面体顶点个数a、棱的条数b和面的个数c满足的关系式；
(2)抛掷两次这个正二十面体，观察它与地面接触面上的数字，求第一次的数字大于第二次的数字的概率；
(3)抛掷一次这个正二十面体，观察它与地面接触面上的数字，构造适当的事件A,B,C，使得P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，但不满足A,B,C两两独立．
《重庆市渝中区2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题》参考答案
1．A
2．D
3．C
4．D
5．B
6．B
7．C
8．A
9．BD
10．ABC
11．ABD
12．
2i
13．
25
14．223
15．(1)71
(2)①23；②116
16．(1)13120
(2)320
17．(1)C=π3
(2)△ABC为等边三角形
(3)S∈23,33
18．(1)原等腰梯形中，E是AB中点，AB=4，故AE=EB=2.
又DC=2且DC//EB，因此四边形DEBC是平行四边形，得DE//BC.
因为BC//DE，DE⊂平面PDE，BC⊄平面PDE，则BC//平面PDE.
因为BC⊂平面PBC，平面PDE与平面PBC相交于直线l，则BC//l.
(2)
取DE中点O，连接PO,OC，△PDE是边长为2的等边三角形，
故PO⊥DE，PO=22−12=3.
因为DC=2,DO=1，∠CDE=60°，
则OC⊥DE，且OC=22−12=3，翻折后PO⊥DE关系不变.
由DE//BC，得PO⊥BC，OC⊥BC；
又PO∩OC=O，PO,OC⊂平面POC，故BC⊥平面POC.
因PC⊂平面POC，故PC⊥BC.
(3)33
19．(1)顶点数为12，棱数为30，关系式为a+c−b=2
(2)1940
(3)设样本空间Ω=1,2,…,20，事件A为奇数，事件B=1,2,3,4，事件C={1,5,7,9,11,13,15,17,19,6}（答案不唯一）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
D
B
B
C
A
BD
ABC
题号
11









答案
ABD