重庆巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案

这是一份重庆巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案，共51页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数z=i(1+2i)在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知平面向量a与b的夹角为60∘，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=（ ）
A．1B．3C．23D．4
3．如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=3MA，BN=NC，则MN=（ ）
A．12a−23b+12cB．12a−23b−12c
C．−23a−12b+12cD．−34a+12b+12c
4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β
B．若α⊥β，m⊥α，n//β，则m⊥n
C．若α//β，m⊥α，n//β，则m⊥n
D．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
5．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，BC=2，BB1=1，则直线A1C与平面AA1B1B所成角的正弦值为（ ）
A．105B．155C．1010D．1510
6．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且cs2B2=a+c2c，a2sin2A=b2sin2B则△ABC的形状为（ ）
A有一个角是30°的等腰三角形 B．有一个角是30°的直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．已知三棱锥P−ABC，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=3BC，PA=2BC，三棱锥P−ABC的体积为233，则三棱锥P−ABC外接球的表面积是（ ）
A．12πB．16πC．24πD．48π
8．如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AD1和B1C1上，下面结论中正确的是（ ）
A．N为中点时，过B、N、D1三点的正方体截面是正方形
B．B1N=2NC1时，过N、A、D1三点的正方体截面周长是42+210
C．过点B，M，N三点的正方体截面一定是平行四边形
D．过点M、B1、C的正方体截面不可能是平行四边形
二、多选题
9．已知复数z=2i1+i，则以下说法正确的是（ ）
A．z的虚部是1
B．z的共轭复数z=−1+i
C．复数z是方程x2−2x+2=0的一个根
D．z=2
10．在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学做了一次实地测量活动．如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），他取了相距100米的C、D两点作为测量基点（A、B、C、D四点在同一平面，点C在点D的正西方向）测得∠ADB=45°，∠ADC=15°，∠BCD=60°，∠ACB=75°，点A处有一座塔，站在D处看塔尖，测得仰角为15°（身高忽略不计），经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A．点A在点D的北偏西15°方向上B．AD=1002米
C．AB=100米D．塔高10022−6米
11．如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1各棱长均为2，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，点P是棱B1C1上的动点（包含端点），记四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积为V0．以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥P−A1BC的体积为V012
B．点P在运动过程中，如果记三棱锥P−AD1C体积的最大值为V1，最小值为V2，则V1=2V2
C．当点P位于B1时，三棱锥P−ABC的外接球半径为5
D．直线DP与平面A1ADD1所成的角的正切值的最大值为1
三、填空题
12．已知向量a=1,2,1，b=−1,1,λ，若a−b⊥a，则λ=________．
13．正四棱台的上下底面边长分别是2cm和4cm，侧棱长是11cm，则该正四棱台的体积为_______cm3．
14．已知△ABC中，BC=3，AC=4，P0是BC上一个定点，满足BP0=2P0C，且对于边BC上任意一点P，恒有PA⋅PC≥P0A⋅P0C，则△ABC的面积为________．
四、解答题
15．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱BC的中点．
(1)求证：BD1//平面C1DE；
(2)求直线DE与直线D1B所成角的余弦值．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足csinA−sinB=a+bsinC−sinB，且a=3．
(1)若⊙O为△ABC的外接圆，求O的半径R；
(2)求△ABC面积的最大值．
17．如图，在底面为菱形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC与BD相交于点O．
(1)证明：平面PBD⊥平面PAC；
(2)若PO=AB=5，AO=1，求二面角C−PB−D的正弦值．
18．如图，已知四边形ABCD四点共圆，且BCcs∠CAB=ABcs∠ACB，已知AB=3，AD=3CD，
(1)若tanD=3，求三角形ABC周长；
(2)若CD=2，求四边形ABCD的面积S；
(3)求ACBD的最大值．
19．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=1．侧面PAB⊥底面ABCD，且PA⊥PB，点M在侧棱PC上．
(1)证明：PA⊥PC；
(2)若点M为PC的中点，当∠CPD最大时，求DM；
(3)若点N在△MAB的内部，且PN=xPA+yPB+zPMx,y,z∈R，求x2yz+xy2z的最大值．
（已知n个正数的算术平均数满足不等关系：a1+a2+⋯+ann≥na1a2⋯an，当且仅当a1=a2=⋯=an时取等号）
《重庆巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案
1．B
2．C
3．D
4．C
5．B
6．D
7．A
8．C
9．ACD
10．BCD
11．BC
12．5
13．28
14．33
15．(1)连接D1C，交DC1于点O.
正方体ABCD−A1B1C1D1中，侧面DCC1D1​是矩形，因此O是D1C的中点.
又E是BC的中点，因此△BCD1中OE是中位线，可得OE//BD1.
因为OE⊂平面C1DE，BD1⊄平面C1DE，
所以BD1//平面C1DE.
(2)155
16．(1)
1
(2)
334
17．(1)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，
又四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，又BD⊂平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC．
(2)55
18．(1)6+33;
(2)45；
(3)233
19．(1)由底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，得BC⊥AB.
因为侧面 PAB⊥底面 ABCD，交线为AB，且BC⊂底面ABCD，
根据面面垂直的性质定理，得 BC⊥平面 PAB.
又 PA⊂平面 PAB，故 BC⊥PA.
又因为PA⊥PB，且 PB∩BC=B，PB,BC⊂平面PBC，
由线面垂直判定定理得 PA⊥平面 PBC，因为 PC⊂平面 PBC，
所以PA⊥PC.
(2)DM=584
(3)271024
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
C
B
D
A
C
ACD
BCD
题号
11









答案
BC