2025-2026学年陕西省西安中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年陕西省西安中学高一（下）期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足（2+i）z=1+i,则z在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若a=2，b=6，C=60°，则△ABC的面积为（ ）
A. B. C. 3D. 6
3.正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ）
A.
B. 4
C.
D.
4.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法错误的是（ ）
A. E，F，G，H四点共面
B. AA1与GH是异面直线
C. ∠EGH=∠FHG
D. EG，FH，AA1三线共点
6.已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. 24πD.
8.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB=2，AD=1，，则=（ ）
A.
B.
C. 0
D. -1
二、多项选择题：本大题共3小题，共12分。
9.下列命题中正确的是（ ）
A. 若，是单位向量，则
B. 若，则存在唯一的实数λ，使得
C. 若向量和，满足，，则
D. 若向量，，则在方向上的投影向量是
10.设z为非零复数（i是虚数单位），下列命题正确的是（ ）
A. 若z=|z|，则z为正实数B. 若z2∈R，则z∈R
C. 若z2+1=0，则z=±iD. 对任意z,都有
11.如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥SO的体积为8π
B. 三棱锥S-ABC体积的最大值为
C. ∠SAB的取值范围是
D. 若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.i是虚数单位，若复数（1-2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为 ．
13.如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=6，BC=4，点E是线段BC上的动点，，则满足条件的点E的个数是 .
14.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测得，米，在点C处测得塔顶A的仰角为30°，在点D处测得塔顶A的仰角为45°，则铁塔的高度为 .
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题9分)
设k为实数，若向量=（k,12），=（4，5），=（10，k）.
（1）若与垂直，求k的值；
（2）当k为何值时，A，B，C三点共线.
16.(本小题9分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，asinC-ccsA．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b,c.
17.(本小题10分)
如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC-A1B1C1（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面BCC1B1落在圆锥底面上.已知正三棱柱底面边长为，高为2.
（1）求挖掉的正三棱柱ABC-A1B1C1的体积；
（2）求该几何体的表面积.
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18.(本小题10分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知（-a）sinA=csinC-bsinB.
（1）求角B的大小；
（2）求csC+sinB+csA的取值范围.
19.(本小题10分)
如图，在等边△ABC中，AB=3，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
（1）设，，试用，表示；
（2）求；
（3）设，，求的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】BD
12.【答案】-2
13.【答案】1
14.【答案】100米
15.【答案】解：（1）=（k,12），=（4，5），
则，
与垂直，=（10，k），
则10（k-4）+7k=0，解得k=．
（2）=（k,12），=（4，5），=（10，k）．
则，，
A，B，C三点共线，
则，
所以（4-k）（k-5）=-7×6，解得k=-2或11．
16.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴，
∵sinC＞0，∴，即，
又0＜A＜π，解得；
（Ⅱ），∴bc=4，
又a=2，则a2=b2+c2-2bccsA，即4=b2+c2-bc,解得b=c=2．
17.【答案】解：（1）∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为，高为2，
∴，
∴正三棱柱ABC-A1B1C1的体积；
（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，由（1）知，，
，
设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形BCC1B1的中心，设圆O半径为r,
则，得r=2，
取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，且AE∥DO，
​​​​​​​
，OE=1，
于是，解得DO=6，
则圆锥的母线长，
圆锥的底面圆的面积，侧面积，
三棱柱的表面积为，
∴该几何体的表面积为：
=．
18.【答案】解：（1）∵（-a）sinA=csinC-bsinB，
由正弦定理得，，
即，
由余弦定理得，csB==，
由B为三角形内角得，B=，
（2）csC+sinB+csA=cs（-A）+csA+，
=+csA+，
=，
=sin（A+）+，
由0＜A＜，得＜A+，
所以，
故原式的范围（0，]．
19.【答案】解：（1）由，，，
可得，
所以；
（2）在等边△ABC中，AB=3，
则，
由（1）得=，
，
，，
所以=，
所以；
（3）由（1）知，，
而，，
因此，
而M，O，N共线，则，
又m＞0，n＞0，
于是
==，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．