2024-2025学年安徽省阜阳市太和县部分学校高二下学期开学检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省阜阳市太和县部分学校高二下学期开学检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l经过A−1,2，B−1,3两点，则l的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
2.在等差数列an中，a1+a2+a3=6，a2+a3+a4=12，则an的公差为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知向量a=1,0,1，b=−1,2,2，则a在b上的投影向量为( )
A. 19bB. 29bC. 13bD. 59b
4.直线l：x−my+1=0(m∈R)被圆C：x+122+y2=1截得的弦长的最小值为( )
A. 2B. 1C. 2D. 3
5.在数列an中，a1=12，an=n−1n+1an−1(n≥2)，则a1+a2+⋯+a10=( )
A. 1011B. 2021C. 511512D. 10231024
6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，▵PF1F2的内心为I.若▵PIF1，▵PIF2，▵F1IF2的面积满足S△PIF1−S△PIF2S△P1IF2=12，则C的渐近线方程为( )
A. y=±12xB. y=± 33xC. y=± 3xD. y=±2x
7.已知空间向量PA，PB，PC的长度分别为1，3，4，且两两夹角均为π3，点G为▵ABC的重心，则|PG|=( )
A. 2B. 5C. 6D. 7
8.已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，B是C的上顶点，BF的延长线交C于点A，若BF=4FA，则C的离心率是( )
A. 32B. 22C. 35D. 155
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点的轨迹.已知A−2,0，B4,0，动点P满足PAPB=12，若点P的轨迹上有且仅有三个点到直线y=x+m的距离为2，则实数m的值可以是( )
A. 4+2 2B. 4C. 4−2 2D. 2 2
10.已知数列an满足a1=23，am+n=aman(m,n∈N∗)，记an的前n项和为Sn，则( )
A. an为等差数列B. an为等比数列
C. Sn=21−23nD. an+Sn=2
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P满足BP=λBB1+μBC，λ，μ∈0,1，则下列说法正确的是( )
A. 若λ+μ=1，则AP//平面A1C1D
B. 若λ2+μ2=1，则点P的轨迹长度为π2
C. 若λ+μ=12，则线段AP长度的最小值为3 22
D. 若λ=μ，则DP与平面AA1D1D所成角的余弦的最小值为 33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线x2=8y上有一点P到准线的距离为8，那么点P到y轴的距离为 ．
13.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90 ∘，CA=CB=CC1=2，D是棱AC的中点，则点B1到平面BC1D的距离为 ．
14.已知数列|an中，a1=25，an+1=2anan+1，则满足an>20242025的n的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n2．
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题12分)
已知圆C经过D0,2，E0,−2，F1,− 3三点．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P2,4，圆C与x轴正半轴交于点Q，过点P的直线与圆C交于A，B两点，证明：直线QA，QB的斜率之和为定值．
17.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA⊥CB，CA=CB=4，CC1=4 2，M，N分别为A1C1，AC的中点，点P在线段BC1上，点Q在棱C1B1上(与点B1不重合)．
(1)证明：直线NP//平面AMB1；
(2)若平面B1BQ与平面MBQ夹角的余弦值为2 77，求C1Q的长度．
18.(本小题12分)
记数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1−2Sn=1．
(1)求an的通项公式．
(2)若数列bn满足bn=nan，其前n项和为Tn．
(ⅰ)求Tn；
(ⅱ)若Tn≤2bn−4n−λ对任意n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．
19.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 32，P是C上一点，▵PF1F2的周长为4+2 3．
(1)求C的方程；
(2)若过点H32,0且斜率不为0的直线l与C交于E，F两点，O为坐标原点，求▵OEF面积的最大值；
(3)若M，N为C上横坐标不为0的两点，A是C与y轴正半轴的交点，且直线AM与AN的斜率之积为2，求证：直线MN过定点．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.D
5.A
6.C
7.B
8.D
9.AC
10.BC
11.ACD
12.4 3
13. 63/13 6
14.13
15.解：(1)当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，∵Sn=n2，
∴Sn−1=(n−1)2，
两个式子相减得an=2n−1，
当n=1时，a1=1也满足an=2n−1，
所以{an}的通项公式为an=2n−1；
(2)bk=1akak+1=1(2k−1)(2k+1)=12(12k−1−12k+1)，
故Tn=12(1−13)+12(13−15)+12(15−17)+…+12(12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)=n2n+1．
16.【详解】(1)因为D0,2，E0,−2，F1,− 3，
所以OD=OE=2，OF= 12+− 32=2，其中O为坐标原点0,0，
所以OD=OE=OF=2，
所以圆C以坐标原点为圆心，半径为2的圆，
故圆C的方程为x2+y2=4．
(2)由题意知Q2,0，直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y−4=kx−2，
联立y−4=kx−2x2+y2=4，得1+k2x2−4kk−2x+(2k−4)2−4=0，
由已知Δ=−4kk−22−41+k2(2k−4)2−4>0⇒k>34
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=4kk−21+k2x1x2=2k−42−41+k2，
所以kQA+kQB=y1x1−2+y2x2−2=kx1−2+4x1−2+kx2−2+4x2−2
=2k+4x1−2+4x2−2=2k+4x1+x2−4x1x2−2x1+x2+4
=2k+4⋅4kk−21+k2−4(2k−4)2−41+k2−2⋅4kk−21+k2+4=2k−2k+1=−1，
即直线QA，QB的斜率之和是定值，该定值为−1．

17.【详解】(1)如图，连接BN，NC1，由题意知MC1//AN，且MC1=AN，
∴四边形MC1NA是平行四边形，
∴AM//NC1，又NC1⊄平面AMB1，AM⊂平面AMB1，∴NC1//平面AMB1.
∵M，N分别为A1C1，AC的中点，所以MN//AA1，MN=AA1，
又AA1//BB1，AA1=BB1，所以MN//BB1，MN=BB1，
∴四边形MNBB1是平行四边形，∴MB1//NB，
又NB⊄平面AMB1，MB1⊂平面AMB1，∴NB//平面AMB1，
又NC1∩NB=N，NB,NC1⊂平面NBC1，
∴平面NBC1//平面AMB1，
又NP⊂平面NBC1，∴NP//平面AMB1.
(2)∵三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，且CA⊥CB，
∴可以CA，CB，CC1的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz，
则C0,0,0，B0,4,0，M2,0,4 2，设Q0,t,4 2，0≤tc2=c3