13.3三角形的内角与外角（4知识点+12大题型+针对训练）【暑假自学课】2026-2027年八年级数学上册讲义（人教版）含答案

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2. 能够利用三角形的内角和探索直角三角形的性质与判定并加以应用。3.3.掌握三角形外角的概念，并能够3. 熟练判断三角形的外角；
4. 掌握三角形外角的性质，能够熟练的应用三角形的外角解决相关题目
洞悉◆教材知识
知识点01 三角形的内角和定理
三角形内角和定理的内容：
三角形的三个内角之和等于 180° 。
即若三角形的角是∠A、∠B、∠C，则∠A＋∠B＋∠C＝ 180° 。
三角形内角和定理的证明：
证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。
如图：过点A作DE平行于BC。
∵DE∥BC
∴∠B＝ ∠DAB ；∠C＝ ∠EAC 。
∵∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝ 180° 。
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝ 180° 。
知识点02 直角三角形的性质与判定
直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角 互余 。
数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝ 90° 。
直角三角形的判定：
有两个角 互余 的三角形是直角三角形。
数学语言：∵∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是 直角 三角形。
知识点03 三角形的外角
三角形外角的定义：
如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角。
知识点04 三角形的外角定理
三角形的外角性质：
①外角定理：三角形的一个外角等于 它不相邻的两个内角之和 。
即∠1= ∠2+∠3 。
②三角形的一个外角 大于 不相邻的任意一个内角。
③三角形的外角与相邻的内角 互补 。
④三角形的外角和都等于 360° 。
核心题型◆归纳
题型解析◆精准备考
题型01 利用三角形的内角和求角度
【典例1】已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是（ ）
A．75°B．78°C．80°D．85°
【变式1】若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
题型02 直角三角形的性质
【典例1】在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于 °．
【变式1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（ ）
A．39°B．51°C．38°D．52°
题型03 直角三角形的判定
【典例1】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
【变式1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B=12∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
题型04 三角形的内角和与直角三角板
【典例1】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（ ）
A． B．C．D．
【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（ ）
A．65°B．75°C．85°D．105°
题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线
【典例1】如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB＝40°，则∠DAE等于（ ）
A．50°B．40°C．35°D．25°
【变式1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠B＝35°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
题型06 三角形的折叠问题
【典例1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30°B．37°C．54°D．63°
【变式1】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
题型07 利用三角形的外角定理求角度
【典例1】如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
【变式1】如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（ ）
A．60°B．65°C．75°D．85°
题型08 比较角度的大小关系
【典例1】如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（ ）
A．∠B＞∠ACDB．∠B＝∠ACDC．∠B＜∠ACDD．无法确定
【变式1】如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是（ ）
A．∠1＜∠2＜∠3B．∠1＜∠3＜∠2C．∠3＜∠2＜∠1D．∠2＜∠1＜∠3
题型09 三角形的外角与直角三角板
【典例1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【变式1】数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
题型10 三角形的两条内角平分线
【典例1】如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【变式1】如图，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°+12∠A的理由．
解：∵BD平分∠ABC（已知），
∴∠DBC＝ （角平分线定义）．
同理：∠DCB＝ ．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，（ ），
∴∠D＝ （等式性质）．
即：∠D＝90°+12∠A．
题型11 三角形的内角平分线与外角平分线
【典例1】如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D，∠D＝40°，则∠A等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝α，则∠2的大小为 ．（用含α的式子表示）
题型12 三角形的两条外角平分线
【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为（ ）
A．47°B．57°C．67°D．77°
【变式1】如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．42°B．40°C．38°D．35°
针对训练
一、三角形的内角
1．“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A． B． C． D．
2．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A．如图①所示，过三角形一边上点D作
B．如图②所示，过三角形内部一点P作
C．如图③所示，过点C作于点D
D．如图④所示，过三角形外部一点P作
3．如图，直线，平分．若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，是高，是角平分线，若，，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，中，平分，．，．则的度数为（ ）．
A． B．C．D．
10．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
11．如图，直线，直线，，则的度数为___________．
12．如图，竹竿与斜靠在墙上，若，，则的度数为________．
13．把一块直尺与一块三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是______．
14．如图，中，，于，，，则 _______°．
15．如图：已知和一块含角的直角三角尺．
(1)如图，三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
(2)如图，三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，若，求的度数．
二、三角形的外角
16．如图，在中，，点在的延长线上，，则（ ）
A．B．C．D．
17．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ）
A．B．C．D．
18．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（ ）
A．B．C．D．
19．如图，点，分别在线段，上，连接，交于点，若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
20．如图，，与交于点，，，则______．
．
21．如图，是的边上一点，，，，则_______°.
22．如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为______．
23．如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则_____________度（用含x、y的代数式表示）．
24．如图，已知，，，，求的度数．
25．如图，中，分别在，上．已知，，．
(1)求证：平分；
(2)过点作的平分线交于点，若，求的度数．题型01 利用三角形的内角和求角度
题型02 直角三角形的性质
题型03 直角三角形的判定
题型04 三角形的内角和与直角三角板
题型05 三角形同一个顶点的高线与角平分线
题型06 三角形的折叠问题
题型07 利用三角形的外角定理求角度
题型08 比较角度的大小关系
题型09 三角形的外角与直角三角板
题型10 三角形的两条内角平分线
题型11 三角形的内角平分线与外角平分线
题型12 三角形的两条外角平分线
针对训练