复习课第04讲 与三角形有关的角、多边形内角和 暑假讲义2025－2026学年八年级上册数学（人教版2024）

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1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 三角形的内角和外角
【题型二】 多边形内角和与外角和
【题型三】 正多边形的角度计算
【题型四】 综合性问题
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.

1.掌握三角形的内角和与外角的性质，并会处理一些与之有关角的求值问题；
2.掌握多边形的内角和与外角和，会利用其求解多边形的内角与外角.
1 三角形的内角和
三角形的内角和等于180°。
2 三角形的外角
三角形的一个外角等于与不相邻的两个内角的和.
3 多边形的内角和
n边形的内角和等于(n-2)×180°.
4 多边形的外角和
多边形的外角和等于360°.
5镶嵌
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这类问题属于镶嵌问题.
【题型一】三角形的内角和外角
【典题1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，△ABC的边AC、AB上分别有点D、E，连接DE，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点A'处，已知A'D∥BC，∠B=70°，∠C=60°，则∠AED的度数为（ ）
A．98°B．107°C．100°D．105°
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，先根据折叠的性质得∠ADE=∠A'DE，再根据平行线的性质和三角形内角和定理得∠A'DA=∠C=60°，∠A=180°-∠B-∠C=50°，即可得∠ADE=∠A'DE=30°，最后由∠AED=180°-∠ADE-∠A可得答案．
【详解】解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A落在点A'处，
∴∠ADE=∠A'DE，
∵A'D∥BC，∠B=70°，∠C=60°，
∴∠A'DA=∠C=60°，∠A=180°-∠B-∠C=50°，
∴∠ADE=∠A'DE=30°，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠A=100°．
故选：C．

变式练习
1（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AD平分∠CAE,∠B=20°,∠CAD=60°,∠ACB等于（ ）．
A．40°B．80°C．100°D．120°
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理，平角的意义，掌握三角形的内角为180°是解题的关键．
【详解】解：∵AD平分∠CAE,∠CAD=60°，
∴∠CAD=∠EAD=60°，
∴∠CAB=180°-∠CAD-∠EAD=60°，
∵∠CAB+∠B+∠ACB=180°，∠B=20°，
∴∠ACB=100°，
故选：C．
2（2025·四川德阳·二模）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，体现了中国人民的智慧和创造力，它是中华传统文化的重要组成部分，承载着丰富的历史文化内涵．在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹（如图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知AB∥CD，∠A=75°，∠ECD=105°，则∠E的度数为（ ）
A．30°B．20°C．50°D．40°
【答案】A
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，如图，延长DC交AE于H，先证明∠CHE=∠A=75°，再利用三角形的外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，延长DC交AE于H，
∵AB∥CD，∠A=75°，
∴∠CHE=∠A=75°，
∵∠ECD=105°，
∴∠E=∠ECD-∠EHC=105°-75°=30°，
故选：A
3 （24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=21°，则∠BDC等于（ ）
A．42°B．63°C．66°D．76°
【答案】C
【分析】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDC．
【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=21°，
∴∠B=90°-∠A=69°，
由折叠的性质可得：∠BCD=12∠ACB=45°，
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=66°．
故选：C．
4（2025·安徽淮南·三模）一束光照射到平面镜AB上的点O处后反射到平面镜BC上的点E处，已知入射光线、反射光线与AB的夹角相等，照射点E处的法线EN∥DO（法线与反射面垂直，即EN⊥BC），若∠AOD=20°，则两平面镜的夹角∠ABC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的性质，利用题意求得∠DOE=140°，再根据平行的性质可得∠OEN=180°-∠DOE=40°，即可解答，熟练运用平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵∠AOD=20°，
∴∠BOE=∠AOD=20°，
∴∠DOE=140°，
∵EN∥DO，
∴∠OEN=180°-∠DOE=40°，
∵EN⊥BC，
∴∠BEO=90°-∠OEN=50°，
∴∠ABC=180°-∠BOE-∠BEO=110°．
故选：B．
【题型二】多边形内角和与外角和
【典题1】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180°B．270°C．360°D．720°
【答案】C
【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为180°，四边形内角和为360°是解题的关键．连接AD，记AF与DE交于点G，利用三角形内角和定理推出∠E+∠F=∠DAG+∠ADG，再将∠GAB+∠B+∠C+∠CDG+∠E+∠F转化为四边形ABCD的内角和，即可解答．
【详解】解：如图，连接AD，记AF与DE交于点G，
∵∠E+∠F+∠EGF=180°，∠DAG+∠ADG+∠AGD=180°，
∴∠E+∠F+∠EGF=∠DAG+∠ADG+∠AGD，
又∵∠EGF=∠AGD，
∴∠E+∠F=∠DAG+∠ADG，
∴∠GAB+∠B+∠C+∠CDG+∠E+∠F，
=∠GAB+∠B+∠C+∠CDG+∠DAG+∠ADG，
=∠DAB+∠B+∠C+∠CDA，
=360°．
故选：C．
变式练习
1（2025·云南楚雄·二模）一个多边形的内角和是外角和的7倍，则这个多边形是（ ）
A．十六边形B．十五边形C．十四边形D．九边形
【答案】A
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和．根据多边形的内角和公式与外角和的性质找出等量关系，构建方程即可求解．
【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得：
n-2×180°=7×360°，
解得：n=16，
故选：A．
2（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于230°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】A
【分析】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1，∠2，∠3，∠4的和是解题的关键．由外角和内角的关系可求得∠1，∠2，∠3，∠4的和，由多边形的内角和公式求得五边形OAGFE的内角和，即可求得∠BOD．
【详解】解：∵∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于230°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+230°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=490°，
∵五边形OAGFE内角和=5-2×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°-490°=50°，
故选：A．
3（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知△ABC中，∠A=65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB'=35°，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A．300°B．225°C．230°D．265°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”，“四边形的内角和是360°”，“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
利用三角形的内角和定理的推论，先用∠B表示出∠3，再利用邻补角和四边形的内角和定理用∠C表示出∠1+∠2，最后再利用三角形的内角和定理求出∠1+∠2+∠3．
【详解】解：由折叠知∠B=∠B',∠C=∠C'．
∵∠3=∠B+∠4,∠4=∠ADB'+∠B'，
∴∠3=∠B+∠ADB'+∠B' =2∠B+35°，
∵∠1+∠2=180°-∠CGC'+180°-∠CFC' =360°-(∠CFC'+∠CGC')，
∠CFC'+∠CGC'=360°-∠C'-∠C =360°-2∠C，
∴∠1+∠2=360°-(∠CFC'+∠CGC') =360°-360°-2∠C =2∠C，
∴∠1+∠2+∠3
=2∠C+2∠B+35°
=2(∠C+∠B)+35°
=2180°-∠A+35°
=2180°-65°+35°
=265°，
故选：D．
【题型三】正多边形的角度计算
【典题1】（2025·安徽合肥·二模）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作射线AF，若AF∥CD，则∠FAE的度数为（ ）
A．36°B．45°C．54°D．72°
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，多边形的内角和定理，过点E作EG∥AF，根据多边形的内角和定理，求出∠AED,∠CDE的度数，根据平行线的性质，进行求解即可.
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠AED=∠CDE=5-2×180°5=108°，
过点E作EG∥AF，
∵AF∥CD，
∴EG∥AF∥CD，
∴∠AEG=∠EAF，∠CDE+∠DEG=180°，
∴∠DEG=180°-108°=72°，
∴∠EAF=∠AEG=∠AED-∠DEG=108°-72°=36°；
故选A.
变式练习
1（2025九年级下·四川巴中·学业考试）正多边形的一个内角的度数为135°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查正多边形的外角和，熟练掌握正多边形的外角和是解题的关键；因此此题可根据正多边形的性质进行求解即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，由题意得：n=360°180°-135°=8，
故选C．
2（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在正六边形ABCDEF和正方形ABGH中，连接FH并延长交CD边于P，则∠PHG=（ ）
A．15°B．18°C．20°D．25°
【答案】A
【分析】本题主要考查多边形的内角和与正多边形的性质，熟练掌握多边形的内角和与正多边形的性质是解题的关键．根据多边形的内角和与正多边形的性质进行求解即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF中，
∠BAF=∠ABC=∠C=(6-2)×180°6=120°，AH=AF，
正方形ABGH中，∠BAH=∠AHG=90°，
∴∠FAH=120°-90°=30°，
∴∠AFH=∠AHF=180°-30°2=75°，
∴∠GHP=180°-75°-90°=15°．
故选A．
3（河南省洛阳市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷 ）如图，AB，BC，CD是正n边形的三条边，在该正n边形下方以BC为一边作正六边形CEFGHB．已知∠ABH=80°，则n的值为（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】B
【分析】本题考查的是正多边形的内角和，先求解正六边形的1个内角度数，再根据正n边形的一个内角加上正六边形的1个内角度数以及∠ABH为360度求解即可．
【详解】解：正六边形的内角为(6-2)×180°÷6=120°，
则n-2×180°n+120°+80°=360°，
解得n=18．
则n的值为18，
故选：B
4（2025·江苏宿迁·一模）如图，点B是正八边形的边AF上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边AG上一点E，若∠ABC=65°，则∠AED=（ ）
A．70°B．65°C．55°D．60°
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形的内角和、多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．设题中的正八边形为正八边形AFHIJKLG，过点C作MC⊥KL于点C，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得∠BCL的度数，从而可得∠DCK的度数，同理可得∠EDH,∠CDI的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得．
【详解】解：如图，设题中的正八边形为正八边形AFHIJKLG，过点C作MC⊥KL于点C，
∵八边形AFHIJKLG为正八边形，
∴正八边形AFHIJKLG的每个内角为180°×8-28=135°，
∵∠ABC=65°，
∴在五边形ABCLG中，∠BCL=180°×5-2-3×135°-65°=70°，
由入射角等于反射角得：∠DCM=∠BCM，
∴90°-∠DCM=90°-∠BCM，即∠DCK=∠BCL=70°，
∴在五边形CDIJK中，∠CDI=180°×5-2-3×135°-70°=65°，
同理可得：∠EDH=∠CDI=65°，
∴在五边形AFHDE中，∠AED=180°×5-2-3×135°-65°=70°，
故选：A．
【题型四】平面镶嵌问题
【典题1】（24-25七年级下·全国·单元测试）用正八边形和正方形组合能够铺满地面，每个顶点周围有x个正八边形和y个正方形（x、y为正整数），则x+y的值为（ ）
A．2B．1C．4D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了平面镶嵌的知识点，二元一次方程的解，正确列出方程是解题的关键．
根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角的和为360°，设在一个顶点周围有x个正八边形，y个正方形，则有135x+90y=360，求出方程的正整数解即可．
【详解】∵正八边形的一个内角度数为8-2×180°÷8=135°，正方形的一个内角度数为90°，
设在一个顶点周围有x个正八边形和y个正方形，
由题意可得：135x+90y=360，
整理得，3x+2y=8
∵x、y为正整数
∴x=2，y=1，
∴x+y=2+1=3．
故选：D．
变式练习
1（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）只用下列四种正多边形中的一种，不能铺满地面的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，理解题意，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题关键．先求出各个正多边形的每个内角的度数，再找出不能被360°整除的即可得．
【详解】A、正三角形的每个内角的度数为3-2×180°3=60°，且360°÷60°=6，则能铺满地面，此项不符题意；
B、正四边形的每个内角的度数为4-2×180°4=90°，且360°÷90°=4，则能铺满地面，此项不符题意；
C、正六边形的每个内角的度数为6-2×180°6=120°，且360°÷120°=3，则能铺满地面，此项不符题意；
D、正九边形的每个内角的度数为9-2×180°9=140°，且360°÷140°=187，则不能铺满地面，此项符题意；
故选：D．
2（24-25八年级上·山东威海·期末）璐璐家准备用地砖铺地，已经购买了正八边形地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正八边形地砖在同一顶点处做平面镶嵌．则可以购买的地砖形状是（ ）
A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形
【答案】B
【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
【详解】解：A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，选项不符合题意；
B、正四边形、正八边形内角分别为90°、135°，由于135°×2+90°=360°，故能铺满，选项符合题意；
C、正八边形的内角为135°，正五边形的内角为108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，选项不符合题意；
D、正六边形和正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，选项不符合题意．
故选：B．
3（24-25八年级上·重庆丰都·期末）活动探究：有些地板的拼合图案如图所示，它是用正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙不重叠，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．商店出售下列形状的瓷砖（同一形状均是全等的），若只从其中选择一种瓷砖镶嵌地面（墙边墙角需要切割的部分忽略不计），则可以选择的是（ ）

A．只能④B．只能③或④C．只能①或②或④D．只能①或③或④
【答案】C
【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合内角度数和能整除360°，任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°，由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数和是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能，理解题意是解决问题的关键．
【详解】解：①三角形的内角和是180°，6个能组成镶嵌；
②四边形的内角和是360°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
综上所述，若只选购题中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖只能①或②或④，
故选：C．
【题型五】综合性问题
【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP=180°，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP=2∠EPG；③∠FPH=∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG=180°；⑤若∠BEP>∠DFP，则∠BEP-∠DFP∠GPH=2，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由∠A+∠AHP=180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵∠A+∠AHP=180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP=∠EPH，∠DFP=∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP=∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠EPG，即∠BEP+∠DFP=2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH=∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP=∠HPG＋∠PHG,∠DFP=∠FPH,∠FPH+∠GPH=∠FPG,∠FPG=∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG=∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP-∠FPG
=∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-∠FPG
=∠A+∠FPG+∠PHG-∠FPG
=∠A+∠PHG，
∵AB∥PH，
∴∠A+∠PHG=180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG=180°，
故④正确；
∵∠BEP-∠DFP
=∠EPH-∠FPH
=∠EPG+∠GPH-∠FPH
=∠FPG+∠GPH-∠FPH
=∠GPH+∠GPH
=2∠GPH，
∴∠BEP-∠DFP∠GPH=2为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
【典题2】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠BAC=a，求∠BPC的度数；（用含a的式子表示）
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q与∠BPC之间满足的数量关系______；
(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，若∠Q=32∠E，求∠A的度数．
【答案】(1)∠BPC=90°+12a
(2)∠Q+∠BPC=180°
(3)72°
【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理，外角和性质，多边形内角和等．
（1）根据∠BAC=a可得∠ABC+∠ACB=180°-a，再利用角平分线定义可得∠PBC+∠PCB=12(180°-a)=90°-12a，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案；
（2）根据角平分线定义得出∠PBQ=∠PCQ=90°，再由四边形内角和定理可得结论；
（3）先求出∠E=36°，后得到∠QBC+∠QCB=126°，∠MBC+∠NCB=252°，∠ABC+∠ACB=108°，继而得到本题答案．
【详解】（1）解：∵∠BAC=a，
∴∠ABC+∠ACB=180°-a，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠ABP=∠CBP,∠ACP=∠BCP，
∴∠PBC+∠PCB=12(180°-a)=90°-12a，
∴∠BPC=180-(90°-12a)=90°+12a；
（2）解：∵作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠MBQ=∠CBQ,∠BCQ=∠NCQ，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠ABP=∠CBP,∠ACP=∠BCP，
∴∠PBQ=∠PCQ=90°，
∵四边形BPCQ内角和为360°，
∴∠Q+∠BPC=360°-90°-90°=180°，
故答案为：∠Q+∠BPC=180°；
（3）解：∵∠EBQ=90°，∠Q=32∠E，
∴32∠E+∠E=90°，解得：∠E=36°，
∴∠Q=54°，
∴∠QBC+∠QCB=126°，
∴∠MBC+∠NCB=252°，
∴∠ABC+∠ACB=108°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=72°．
变式练习
1（20-21七年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为( )
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】C
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，设∠C=y，∠ABC=3y，用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．
【详解】解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE=∠BAE，∠1=∠2，
设∠CAE=∠BAE=x，∠C=y，∠ABC=3y，
由外角的性质得：
∠1=∠BAE+∠G=x+20°，∠2=12∠ABD=12 (2x+y)=x+12y，
∴x+20°=x+12y，解得y=40°，
∴∠1=∠2=12 (180°-∠ABC)=12×(180°-120°)=30°，
∴∠DFB=60°．
故选：C．
2（2023·河北张家口·三模）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为x°，内圈的夹角为y°，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是n=5，乙的结果是n=3或4，则（ ）

A．甲的结果正确B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D
【分析】正六边形的一个内角为120°，根据外角的定义有，x+y=360°-2×120°=120°，得y=n-2×180°n，再讨论即可得n的值．
【详解】解：∵正六边形的一个内角为6-2×180°6=120°，
∴x+y=360°-2×120°=120°，
∵y°为正n边形的一个内角为度数，
∴y=n-2×180°n，
当n=3时，y=60°，则x=60°，
当n=4时，y=90°，则x=30°，
当n=5时，y=108°，则x=12°，
当n=6时，y=120°，则x=0°，
则n的值为3或4或5或6．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和．解题的关键是根据周角的定义推得x+y=120°．
3（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，易证明：∠EDF=∠A+∠B+∠C．应用这个结论解决问题：
(1)如图②，在“五角星”形中，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5．
分析：在图形A1A3DA4中，根据（1）可得∠A2DA5=∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_______．
(2)如图③，在“七角星”形中，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A7．
(3)如图④，在“八角星”形中，可以求得∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8=_______．
【答案】(1)180°
(2)180°
(3)360°
【分析】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．
（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．
（3）根据三角形外角的性质把8个角转化到一个四边形中可得答案．
【详解】（1）解：如图，
由三角形外角的性质可得，∠1=∠A3+∠A5，∠2=∠A2+∠A4，∵∠1+∠2+∠A1=180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=180°．
（2）解：如图，
由三角形外角的性质可得∠8=∠A2+∠A6，∠10=∠A7+∠A4，∠11=∠A1+∠A5，∠9=∠A3+∠10=∠A3+∠A4+∠A7，
∵∠8+∠9+∠11=180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7=180°．
（3）解：如图，
由三角形外角的性质可得，∠9=∠A1+∠A4，∠10=∠A3+∠A8，∠11=∠A2+∠A7，∠12=∠11+∠A5=∠A2+∠A7+∠A5，
∵∠9+∠10+∠12+∠A6=360°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8=360°．
4（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于E、F两点．过F作射线FG交AB于点G，且∠EFG=∠EGF，射线FG上有一动点P，过P作PQ⊥FG，交直线EF于点Q，作∠PQE的角平分线，交射线FG于点M．
(1)如图1，求证：FG平分∠EFD．
(2)如图2，当∠BEF=100°时，求∠PMQ的度数．
(3)当点P在运动过程中，试探究∠PMQ与∠BEF的数量关系，请直接写出你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)65°
(3)∠BEF+4∠PMQ=360°或4∠PMQ=∠BEF，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质定理、角平分线、直角三角形两锐角互余等知识点，熟练运用平行线的性质并进行等量代换是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得出∠DFG=∠EGF，再结合∠EFG=∠EGF以及角平分线的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质及直角三角形的性质求解即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义分点Q在线段EF的延长线上和点Q在线段EF上两种情况分别根据平行线的性质及直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图1：∵AB∥CD，
∴∠DFG=∠EGF，
∵∠EFG=∠EGF，
∴∠EFG=∠DFG，即FG平分∠EFD．
（2）解：如图2：∵AB∥CD，∠BEF=100°，
∴∠EFD=180°-∠BEF=80°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG=12∠EFG=40°，
∵PQ⊥FG，
∴∠FQP=90°-∠EFG=50°，
∵QM是∠PQE的角平分线，
∴∠MQP=12∠PQF=25°，
∵PQ⊥FG，
∴∠QMP=90°-∠MQP=65°．
（3）解：∠BEF+4∠PMQ=360°或4∠PMQ=∠BEF，理由如下：
如图2：当点Q在线段EF的延长线上时，
∵AB∥CD，，
∴∠EFD=180°-∠BEF，
∵FG平分∠EFD，
∴∠EFG=12∠EFG=90°-12∠BEF，
∵PQ⊥FG，
∴∠FQP=90°-∠EFG=12∠BEF，
∵QM是∠PQE的角平分线，
∴∠MQP=12∠PQF=14∠BEF，
∵PQ⊥FG，
∴∠QMP=90°-∠MQP=90°-14∠BEF，即∠BEF+4∠PMQ=360°；
如图，当点Q在线段EF上，
∵AB∥CD，
∴∠DFG=∠EGF，
∵PQ⊥FG，
∴∠BEF+∠EQP+∠EGF=360°-90°=270°，
∵QM平分∠PQE，
∴∠EQM=12∠EQP=∠EFG+∠FMQ=∠DFG+∠FMQ，
即∠EQP=2∠DFG+2∠FMQ，
∴∠BEF+2∠DFG+2∠FMQ+∠DFG=∠BEF+3∠DFG+2∠FMQ=270°，
又∵AB∥CD，
∴∠BEF+2∠DFG=180°，
∴2∠DFG=180°-∠BEF，
∴3∠DFG=32180°-∠BEF，
∴∠BEF+32180°-∠BEF+2∠FMQ=270°，整理得：4∠FMQ=∠BEF，
∴4∠PMQ=∠BEF．
综上，∠PMQ与∠BEF的数量关系为∠BEF+4∠PMQ=360°或4∠PMQ=∠BEF．

【A组---基础题】
1（2025·青海西宁·一模）若正多边形的一个外角是30°，则它的内角和是（ ）
A．360°B．180°C．150°D．1800°
【答案】D
【分析】本题主要考查了正多边形的内角和公式、外角和性质等知识点．根据多边形内外角和为360°求得多边形的边数，然后运用多边形的内角和公式即可解答．
【详解】解：依题意可得：多边形的边数=360°÷30°=12，
∴这个正多边形的内角和=12-2×180°=1800°，
故选：D．
2（2025·四川达州·一模）如图，a∥b，∠1=135°，∠3=28°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．73°C．70°D．68°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，由对顶角相等得出∠4的度数，再由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠5，再根据三角形外角的性质即可求出∠2的度数．
【详解】解：如图，
∵∠3与∠4为对顶角，
∴∠3=∠4=28°，
∵a∥b，
∴∠1+∠5=180°，
∵∠1=135°，
∴∠5=180°-∠1=180°-135°=45°．
∴∠2=∠4+∠5=28°+45°=73°，
故选：B．
3（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ）
A．15B．12C．10D．8
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键．
根据题意可得正五边形的每个内角的度数为180°×5-25=108°，由此可得每个正五边形所对圆心角为36°，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∴正五边形的每个内角的度数为180°×5-25=108°，即∠ADC=∠BCD=108°，
∴∠ODC=∠OCD=180°-108=72°，
∴∠COD=180°-∠ODC-∠OCD=180°-72°-72°=36°，即每个正五边形所对圆心角为36°，
∵360°36°=10，
∴共需要正五边形的个数是10个，
故选：C ．
4（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的度数为（ ）
A．80°B．100°C．50°D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了三角形与折叠问题、三角形内角和定理，由折叠的性质可得∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，进而可得∠ADE+∠AED=130°，
再利用三角形内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质及三角形内角和为180°是解题的关键．
【详解】解：△DEF是由△ABC沿DE折叠得到，
∴∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，
∴∠1+2∠ADE=180°，∠2+2∠AED=180°，
∵∠1+∠2=100°，
∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED=2×180°，即：∠ADE+∠AED=130°，
∴∠A=180°-∠ADE+∠AED=180°-130°=50°，
故选C．
5（2025·山西运城·二模）如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC=68°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数（ ）
A．92°B．110°C．112°D．120°
【答案】C
【分析】本题考查的是四边形的内角和定理，平行线的性质，先求解∠ADC=360°-2×90°-68°=112°，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：∵∠ABC=68°，BC⊥CD，AD⊥AB，
∴∠A=∠BCD=90°，
∴∠ADC=360°-2×90°-68°=112°，
∵AD∥CE，
∴∠DCE=∠ADC=112°；
故选：C
6（2025·山东济宁·一模）如图，正六边形ABCDEF中，直线m，n分别经过边BC，CD上一点；且m∥n．则∠2-∠1的值是（ ）
A．80°B．60°C．50°D．30°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质、多边形外角和、三角形外角的性质，延长BC交直线m于点H，根据多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角度数都相等，可以求出∠DCH=60°，根据平行线的性质可得∠NHC=∠1，根据三角形外角的性质可得∠2-∠1=∠DCH=60°．
【详解】解：如图所示，延长BC交直线m于点H，
∵m∥n，
∴∠NHC=∠1，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠DCH=16×360°=60°，
在△NHC中，∠2=∠DCH+∠NHC，
∴∠2=∠DCH+∠1，
∴∠2-∠1=∠DCH=60°．
故选：B．
7（24-25八年级上·四川德阳·期中）关于多边形有以下描述：（ ）
①六边形内角和为720°；
②十二边形每个外角度数均为30°；
③n边形从一个顶点最多可引出n-2条对角线；
④多边形内角和等于外角和，这个多边形是四边形．
⑤一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，原来这个多边形的边数是6．
根据描述判断，其中描述正确的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】此题考查了多边形内角和和外角和综合，多边形对角线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
①根据多边形内角和公式6-2×180°=720°，可判断①；
②根据360°12=30°，可判断②；
③n边形从一个顶点最多可引出n-3条对角线，可判断③；
④设多边形边数为m，根据多边形内角和等于外角和即可求出边数，可判断④；
⑤设多边形边数为n，由n-2×180°=900°，求解可得多边形的边数为7，故一个多边形切去一个角后，形成一个七边形时，原来这个多边形的边数是6或7或8，可判断⑤．
【详解】解：①当多边形边数为六时，
∵6-2×180°=720°，
∴六边形内角和为720°，
∴①正确；
②多边形外角和360°，但无法确定每个外角的度数
∴②错误；
③∵n边形从一个顶点最多可引出n-3条对角线，
∴③错误；
④设多边形边数为m，
∴m-2×180°=360°，
解得m=4，
∴多边形的边数为4
∴④正确；
⑤设多边形边数为n，
∴n-2×180°=900°，
解得n=7，
∴多边形的边数为7，
∴一个多边形切去一个角后，形成一个七边形时，原来这个多边形的边数是6或7或8．
∴⑤错误；
综上所述，其中描述的描述正确的个数有①④．
故选：B．
8（23-24八年级上·广西河池·期中）已知一个多边形的边数为n．
(1)若该多边形的内角和的12比外角和多90°，求n的值；
(2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为144°，求n的值．
【答案】(1)7
(2)10
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质，
（1）根据多边形内角和公式与外角和列式计算即可解答；
（2）根据正多边形的性质及多边形内角和公式解答即可；
解题的关键是掌握：①n边形的内角和为n-2⋅180°（n≥3且n为正整数），外角和为360°；②正边形的每条边相等、每个内角相等、每个外角相等．
【详解】（1）解：依题意，得：
12n-2⋅180°-360°=90°，
解得：n=7，
即n的值为7；
（2）（2）依题意，得：
144°n=n-2⋅180°，
解得：n=10，
即n的值为10．
9（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题．
(1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？
(2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度．
(3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，F为公共顶点，试求∠EFG的度数．
【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和；
(2)这个正多边形的一个内角是135°；
(3)∠EFG=30°
【分析】本题考查了多边形的内角和定理．
（1）①由题意知，多边形的内角和为180°n-2，是180°的整数倍，用1100°÷180°，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，180°n-2=1080°，计算求解即可；
（2）根据这个正多边形的一个内角是1080°8，计算求解即可；
（3）根据多边形的内角和，分别得出∠GFC=∠FCD=135°，∠EFB=∠ABF=120°，再根据三角形的内角和算出∠BFC，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为180°n-2，是180°的整数倍，
1100°÷180°=6…20°，
∴这个“多加的锐角”是20°，
故答案为：20；
由题意知，180°n-2=1080°，
解得，n=8，
∴小东求的是8边形内角和；
（2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是10808=135°，
∴这个正多边形的一个内角是135°；
（3）解：由多边形的内角和可得，
∠GFC=∠FCD=(8-2)×180°8=135°，
∴∠FCB=180°-∠FCD=180°-135°=45°，
∵∠EFB=∠ABF=(6-2)×180°6=120°，
∴∠FBC=180°-∠ABF=60°，
由三角形的内角和得：
∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-60°-45°=75°，
∴∠EFG=360°-∠EFB-∠GFC-∠BFC
=360°-120°-135°-75°
=30°．

【B组---提高题】
1（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，MN∥PQ，AB∥CD，CE平分∠DCN交PQ于点E，点F是射线AB上任一点，连结CF、DF，若∠BFD=∠BDF，∠ECF-∠DFC=60°，则∠DFC的大小为（ ）
A．60°B．15°C．60°或15°D．15°或70°
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：①当点F在线段AB上时，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠DCE=∠FDC，则可得CE∥DF，进而可得∠ECF+∠DFC=180°，再结合∠ECF-∠DFC=60°即可求出∠DFC的度数．②当点F在线段AB的延长线上时，延长线段AB交CE于G点，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠CDG+∠DCE=90°，再根据三角形内角和定理可得∠CGD=90°，∠ECF+∠DFC=90°，再结合∠ECF-∠DFC=60°即可求出的度数．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①如图，当点F在线段AB上时，
∵MN∥PQ，
∴∠DCN=∠PDC，
∵CE平分∠DCN
∴∠DCE=12∠DCN，
∵AB∥CD，
∴∠BFD=∠FDC，
∵∠BFD=∠BDF，
∴∠FDC=∠BDF=12∠PDC，
∴∠DCE=∠FDC，
∴CE∥DF，
∴∠ECF+∠DFC=180°，
∵∠ECF-∠DFC=60°，
解得∠DFC=60°；
②如图，当点F在线段AB的延长线上时，延长线段AB交CE于G点，
∵AB∥CD，
∴∠BFD=∠CDG，
又∵∠BFD=∠BDF，∠BDF=∠GDE，
∴∠CDG=∠GDE=12∠CDE，
∵CE平分∠DCN，
∴∠DCE=12∠DCN，
∵MN∥PQ，
∴∠CDE+∠DCN=180°，
∴∠CDG+∠DCE=12∠CDE+12∠DCN=90°，
∴△CDG中，∠CGD=180°-∠CDG-∠DCE=90°，
∴△CFG中，∠ECF+∠DFC=90°，
又∵∠ECF-∠DFC=60°，
解得∠DFC=15°．
故选：C．
2（24-25七年级下·四川绵阳·期中）（1）如图1，在△ABC中，已知∠A=50°，点E在线段BC的延长线上，∠ABC和∠ACE的角平分线交于点D，则∠D= ；
（2）如图2，∠ADC=α,∠BCD=β，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB等于多少（用α，β表示）？
（3）如图3，∠ADC=α,∠BCD=β，且α+β