第04讲 用因式分解法求解一元二次方程（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案

这是一份第04讲 用因式分解法求解一元二次方程（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版含答案，共19页。学案主要包含了易错提醒，技巧归纳，变式1-1，变式1-2，变式2-1，变式2-2，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程
题型2 用十字相乘法求解一元二次方程
题型3 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题
题型4 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题
题型5 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题
题型6 换元法解一元二次方程
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01 用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
【易错提醒】
必须先化为一般形式并移项使右边为0，再分解因式。注意：不能两边同时除以含未知数的式子，否则会失根。
即时即练1．用因式分解法解方程：
(1) (2)
2．用十字相乘法解方程
(1)
(2)
知识点02 常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【易错提醒】
提公因式时注意符号与漏项；平方差公式看清谁减谁；完全平方公式勿忘中间项；十字相乘要验证交叉和。分解务必彻底。
即时即练1．用恰当的方法解下列方程．
(1)
(2)
2．用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
(2)
题型1 用因式分解法（除十字相乘法）解一元二次方程
【例1】解方程：．
【例2】解方程：．
【技巧归纳】
1. 移项整理：方程一边化为0。
2. 分解因式：提公因式、平方差、完全平方公式分解。
3. 令各因式为零：得两个一元一次方程求解，注意不能两边同除以含未知数的项。
【变式1-1】解方程：．
【变式1-2】解方程：
【变式4】用因式分解法解方程：．
题型2 用十字相乘法求解一元二次方程
【例3】用十字相乘法解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【例4】阅读材料：由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．
示例：分解因式：．
(1)尝试：分解因式(______)(______)；
(2)应用：请用上述方法解方程．
(3)拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为_____．
【技巧归纳】
1. 拆首尾：将二次项、常数项分解因数，交叉相乘再相加得一次项系数。
2. 横写因式：写成(x+p)(x+q)=0形式。
3. 快速检验：p+q=b，p∙ q=c。注意符号调整。
【变式2-1】阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：
试用上述这种十字相乘法解下列方程
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2-2】阅读与理解：
（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答
解：①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）；
③横向写出两因式：．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法．
（2）例：解方程．
解：，
或，
，；
请用上述方法解答下列问题．
（3）①因式分解：______；
②解方程：；
③已知，求的值．
题型3 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题
【例5】下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务一：
小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________；
小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________．
任务二：写出该方程的正确求解过程．
【例6】下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务：
解方程：．
解：，……第一步
，……第二步
，……第三步
或，……第四步
解得：，……第五步
任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：请正确地解该方程．
【技巧归纳】
1. 找错误点：检查移项是否漏变号，因式分解是否彻底，有无两边同除含未知因式导致丢根。
2. 逆向还原：从错误结果倒推过程，对比正解定位步骤。
3. 验证根：代入原方程确认遗漏或增根。
【变式3-1】下面是小明同学解一道一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：．
解：方程两边同除以，得．第一步
移项，合并同类项，得．第二步
系数化为1，得．第三步
任务：
①小明的解法从第___________步开始出现错误；
②此题的正确结果是___________；
③用因式分解法解方程：．
【变式3-2】按要求解答下列问题：
小华与小芳两位同学解方程的过程如下框：
任务：
(1)小华的解法是错误的，原因是 ．
(2)小芳的解法是 （填“正确”或“错误”）．如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解．
题型4 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题
【例7】菱形的一条对角线长为 ，边长为一元二次方程 的一个根，则菱形的另一条对角线长为 ．
【例8】如果一边长是5，另两边分别是一元二次方程的两个实数根，那么是 三角形．
【技巧归纳】
1. 列几何关系：用边长、面积、勾股定理等建立方程，化简为一元二次方程。
2. 因式分解求根：对方程因式分解，得解。
3. 检验取舍：剔除不满足几何条件（如边长非负、三角形三边关系）的根。
【变式4-1】如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 ．
【变式4-2】若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为 ．
题型5 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题
【例9】定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由；
(2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值．
【例10】定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由．
(2)已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？
【技巧归纳】
1. 读懂定义：将新运算转化为常见代数式（如a※b = a2 - b2）。
2. 列方程：按定义列出方程，化简为标准一元二次方程。
3. 因式分解求解：用合适方法分解，解出未知数，注意检验定义域。
【变式5-1】定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①；
②．
(2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值．
【变式5-2】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”；
(2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值．
题型6 换元法解一元二次方程
【例11】阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，．
根据上述材料，解下列方程：
(1)；
(2)．
【例12】安阳某初中数学小组在学完一元二次方程章节的内容后，对一道试题展开了交流，请你仔细阅读，并完成任务．
任务：
(1)已知x、y满足，求的值．
(2)若a、b满足，求的值．
【技巧归纳】
1. 找重复结构：将相同代数式设为新元t，如(x2+x)、1x 。
2. 化整式方程：解t的一元二次方程，求出t值。
3. 回代求解：将t代回原式解出x，并检验（注意分母不为0、根号非负）。
【变式6-1】我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：．
解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：，
因式分解得：，解得，，
当时，，解得；当时，，解得；
综上，原方程的解为，．
请参考例题，解下列方程：
(1)；
(2)．
【变式6-2】【阅读材料】
解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以．
所以原方程有四个根：．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
【问题】
(1)在解方程时，若设，则原方程可转化为___________
(2)若，则___________
(3)参照上面解题的思想方法解方程：．
一、单选题
1．一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．，D．，
2．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．15B．13C．11或8D．11和13
3．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（ ）
A．B．，
C．，D．，
4．关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（）
A．B．
C．D．
5．如果两个代数式a，b满足，且c是有理数，那么我们称a与b是关于c的“友好代数式”．若与是关于16的“友好代数式”（m，n是有理数），则的值为（ ）
A．或4B．或4C．D．或
二、填空题
6．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________．
7．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为______．
8．已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____．
9．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______．
10．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________．
三、解答题
11．解下列方程：
(1)；
(2)．
12．解方程
(1)；
(2)．
13．习题课上老师给了一道解方程的题目：．小马和小明的解法如下：
(1)他们的解法都是错误的，小马从第______步开始错误，小明从第______步开始错误；
(2)写出方程正确的解答过程．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程一定有两个实数根；
(2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为1，当是等腰三角形时，求的值．
15．对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，．
(1)求关于x的一元二次方程的解；
(2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围．
16．已知m为实数，关于x的两个方程分别为和．
(1)求证：方程一定有两个不相等的实数根；
(2)当方程有实数根时，求m的取值范围；
(3)当方程和有公共的实数根时，求m的值．
关键词
学习目标导航
因式分解法、降次、积为零、提取公因式、公式法。
1. 理解因式分解法的原理（若AB=0，则A=0或B=0），体会降次思想。
2. 能根据方程特点，选择提取公因式法、平方差公式或完全平方公式分解因式。
3. 熟练运用因式分解法解一元二次方程，并规范书写求解步骤。
4. 对比四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根据方程特征灵活选择简便方法。
学习重点：运用因式分解法（提公因式、平方差、完全平方）解一元二次方程。
学习难点：根据方程特征灵活选择合适的因式分解方法，以及对含括号或需要变形的方程正确分解。
（1）分解因式
①竖分二次项与常数项：
②交叉相乘，验中项：

③横向写出两因式：
（2）根据乘法原理，若，则或
，则方程可以这样求解：
方程左边因式分解得
或
小刚同学：
解：．第一步
．第二步
解得．第三步
小颖同学：
解：．第一步
．第二步
．第三步
或．第四步
解得或第五步
小华：
解：两边同时除以，得，∴．
小芳：
解：，，
或，
解得：，．
试题：已知，求的值．
小明：对于这道试题，我想到了一种“换元法”：设，
则原方程可变形为．
即；解得，，或．
小亮：你的这种方法非常有趣，而且它也是数学学习中常用的一种思想方法．
小马的解法
原方程可化为：…第一步，
∴…第二步，
∴，…第三步．
小明的解法
原方程可化为：…第一步，
两边都除以…第二步，
∴…第三步．