第04讲 解一元二次方程（因式分解法）-初中人教版八升九数学暑假衔接（教师版+学生版）试卷

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（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【考点剖析】
题型1利用提公因式法
例1.方程：的较小的根是（）
A．B．C．D．
例2.解关于的方程（因式分解方法）：
（1）； （2）．
题型2利用平方差公式
例3.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．
例4.解关于的一元二次方程：．
题型3利用完全平方公式
例5.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；
题型4十字相乘法因式分解
例6.用合适的方法解下列关于的方程：
（1）； （2）；
题型5：选择合适的方法解一元二次方程
例7.解关于的方程（合适的方法 ）：
（1）； （2）．
例8.解关于的方程（合适的方法）：
（1）； （2）．
例9.用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（ ）
A．4B．13C．4或9D．13或18
2．（2022春·八年级单元测试）若是一次函数，则的值等于（）
A．B．C．或D．
3．（2019·广东汕头·校考二模）若关于的一元二次方程有一个根为，则的值（ ）
A．B．或C．D．
4．（2022秋·九年级单元测试）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是( )
A．B．C．或D．或或
5．（2023·贵州遵义·统考二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．5B．5或C．或D．5或
6．（2022春·八年级单元测试）在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（ ）
A．或B．C．或D．
7．（2023年天津市滨海新区中考二模数学试题）方程的两个根是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．（2023春·北京房山·八年级统考期末）方程的解为：___________．
9．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程另一个根是__________．
10．（2023春·浙江·八年级期末）定义新运算“※”，规则： ，如，．若的两根分别为，则______．
11．（2023·江苏苏州·统考三模）关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是_________________．
12．（2023·山东济宁·校联考三模）方程 的根是__．
13．（2023·四川凉山·统考一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为___________
14．（2023·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）如图，等边的边长为6，D是的中点，是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为______．

三、解答题
15．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）解方程：
(1)； (2)．
16．（2023·江苏南京·统考二模）解方程：．
17．（2020秋·广东韶关·九年级校考期末）用适当的方法解方程：．
18．（2023春·北京房山·八年级统考期末）解下列一元二次方程：
(1)（直接开平方法）； (2)（配方法）．
(3)（公式法）； (4)（因式分解法）．
19．（2023·北京西城·统考二模）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
20．（2022春·八年级单元测试）在一堂数学课上，李老师对课本上的一道习题进行了改编，改编后的习题为：一架梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙角距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，此时点将向外移动米，（参考数据：，，）

(1)问梯子的长是多少？
(2)若梯子的长度保持不变，梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你利用学过的知识解答上面的问题．
21．（2023·河北石家庄·统考二模）老师就式子，请同学们自己出问题并解答．
(1)小磊的问题：若代表，代表，计算该式的值；
(2)小敏的问题：若，代表某数的平方，代表该数与1的和的平方，求该数．
22．（2023·河北石家庄·校考一模）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积；
验证：连续整数，，______（填“满足”或“不满足”）这种关系；
连续整数2，3，4，______（填“满足”或“不满足”）这种关系；
延伸：设中间整数为n
（1）列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简；
（2）再写出一组符合“发现”要求的连续整数（直接写结果）．
23．（2023·北京门头沟·二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果此方程的一个根为1，求的值．