重庆市大渡口区2025-2026学年八年级下学期期末质量检测 数学试题（含解析）

这是一份重庆市大渡口区2025-2026学年八年级下学期期末质量检测 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 式子有意义的条件是（）
A. B. C. D.
3. 在直角坐标系中，点向左平移3个单位长度后的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E是中点，且，则平行四边形的周长为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
7. 李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，中的与轴重合，，将绕原点顺时针旋转后得到，将绕原点顺时针旋转得到，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平行四边形ABCD中，的角平分线交BC于点E，过点B作于点F，连接EF，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. 2D.
10. 已知关于的整式，，其中为常数，则下列说法：
①若，则；
②若方程的解为，则；
③若对于任意的，的值均为整数，则所有符合要求的整数的值有8个．
其中正确的有（ ）个
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11. 因式分解：_________．
12. 一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____________．
13. 如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为______．
14. 解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____．
15. 在中，，，点为上一动点，将沿边翻折，使与边重合，点落在上的处，若，则_____________．
16. 规定一个四位数（，，，均为整数，且），若，，则称这个数是“义渡数”，将一个“义渡数”千位和百位上的数字组合成一个两位数，十位和个位上的数字组合成一个两位数，设，则_____________；若能被7整除，则满足要求的的最大值与最小值的差为_____________．
三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 解不等式（组）：
（1）（2）
18. 在学习平行四边形的判定后，小明发现在平行四边形的基础上继续添加某些条件，可以构造出一些新的平行四边形．于是他用圆规和直尺在上截取，连接，作的平分线与交于点（保留作图痕迹），这时他发现四边形是平行四边形．完成下列证明过程．
证明：四边形是平行四边形，
，， ① ，
．
平分，
② ，
，
③ ，
，
，
，
即 ④ ，
又，
四边形是平行四边形．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 先化简，再求值：，在，，中选取适当的一个作为x的值代入求分式的值．
20. 如图，在中，点的坐标为，点的坐标为．
（1）将先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到，画出，点的坐标是_____________；
（2）将绕点逆时针旋转后得到，画出，点的坐标是_____________；
（3）求的面积．
21. 某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，购买A品牌消毒液花费了2500元，购买B品牌消毒液花费了2000元，且购买A品牌消毒液数量是购买B品牌消毒液数量的2倍．已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花30元．
（1）购买一瓶A品牌、一瓶B品牌消毒液各需多少元？
（2）该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了，B品牌消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过3200元，那么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？
22. 如图，已知四边形是平行四边形，连接，作于点E，于点F．
（1）证明：；
（2）已知，，四边形周长为54，求的长．
23. 如图，在四边形中，，，过点A作于点E，，动点P从点B出发，沿运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，的面积为．
（1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
（3）若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）
24. 已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，函数的图象与轴、轴分别交于点、，且两个函数图象交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若点在射线上，使得的面积为，过线段中点，作直线轴，点为轴上一动点，作直线于点，连接、，求的最小值；
（3）若为直线上的动点，，写出点的坐标并选择一种情况写出解答过程．
25. 在中，，，点D为直线上一动点，连接．
（1）若平分，，求的长度；
（2）如图2，当点D在延长线上时，以为边在左侧作等边，点F是的中点，连接交于点G．若，求证：；
（3）将绕点C顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，将沿翻折得到，连接，直接写出的角度．
数学
满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，故本选项符合题意．
2. 式子有意义的条件是（）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查分式有意义的条件，掌握知识点是解题的关键．
分式有意义的条件是分母不为零，即可解答．
解答过程：解：∵分式有意义，
∴，
解得．
故选：A．
3. 在直角坐标系中，点向左平移3个单位长度后的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：坐标平移的变化规律：左右平移时点的纵坐标不变，横坐标左移减，右移加，根据规律计算即可得到结果．
解答过程：解：∵点向左平移3个单位长度后，纵坐标不变，仍为，横坐标为，
∴平移后点的坐标为．
4. 如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：C
解析：
思路：结合已知与平行四边形判定定理依次判断即可．
解答过程：解：A、两组对边分别平行，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意；
D、一组对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意．
5. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案．
解答过程：解：已知，逐一判断选项：
A选项，∵不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，
∴两边同乘，可得，该不等式一定成立，符合题意；
B选项，∵不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，
∴两边同减，可得，原不等式不成立，不符合题意；
C选项，∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，
∴两边同乘，可得，原不等式不成立，不符合题意；
D选项，∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，
∴两边同加，可得，原不等式不成立，不符合题意．
6. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E是中点，且，则平行四边形的周长为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
答案：C
解析：
思路：根据平行四边形的性质可得为中点，结合为中点，利用三角形中位线定理可得，由及已知条件求出的值，进而求得周长．
解答过程：解：四边形是平行四边形，
，
是中点，
，是的中位线，
，
，
，
，
平行四边形的周长．
7. 李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：本题根据“数量=总价÷单价”，分别表示出笔记本和绘画本的购买数量，再根据“笔记本数量比绘画本多2本”的等量关系列方程即可．
解答过程：解：∵设购买一本笔记本需元，绘画本单价是笔记本单价的倍，
∴绘画本的单价为元．
∵用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本，
∴笔记本数量为本，绘画本数量为本．
∵笔记本比绘画本多本，
∴可列方程为．
8. 如图，中的与轴重合，，将绕原点顺时针旋转后得到，将绕原点顺时针旋转得到，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先确定初始点的坐标，根据旋转性质求出的坐标；由每次旋转计算出旋转一周的次数，得到坐标循环周期；用总旋转次数除以周期，根据余数确定对应的坐标位置，从而选出正确选项．
解答过程：解：∵中，，与轴重合，
∴初始点的坐标为．
∵将绕原点顺时针旋转得到，，将绕原点顺时针再旋转（累计旋转）得到，，
∴的坐标为．
∵每次旋转，旋转一周需要的次数为：，即周期为，
∵，
∴旋转次后，点的位置与旋转次后的位置相同，坐标为．
故选：A．
9. 如图，在平行四边形ABCD中，的角平分线交BC于点E，过点B作于点F，连接EF，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. 2D.
答案：A
解析：
思路：根据平行四边形的性质以及平行线的性质，得出，结合已知得出，根据三角形内角和定理求得，进而根据即可求解．
解答过程：解：∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵，
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
10. 已知关于的整式，，其中为常数，则下列说法：
①若，则；
②若方程的解为，则；
③若对于任意的，的值均为整数，则所有符合要求的整数的值有8个．
其中正确的有（ ）个
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：C
解析：
思路：对三个说法逐一计算验证，结合整式乘法、分式方程性质、分式化简与因数概念判断正误，统计正确说法的个数即可．
解答过程：解：①计算，
，
，，
解得，，故①正确．
②对分式方程，
两边同乘（）得：
，
整理得，
∴，
把代入，得
，
解得，
检验：当，时，，分母为0，是增根，不是原方程的解，故②错误．
③∵，，
，
对任意，分式的值为整数，为整数，
是的整数因数，的因数为，共8个，对应8个符合要求的整数，故③正确．
综上，正确的说法共2个．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11. 因式分解：_________．
答案：
解析：
思路：先提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至因式不能再分解．
解答过程：解：．
12. 一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____________．
答案：12
解析：
思路：根据多边形内角和公式，列方程求解即可得到边数．
解答过程：解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和定理可得：
，
等式两边同时除以得：，
解得：．
13. 如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为______．
答案：##
解析：
思路：根据线段垂直平分线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解．
解答过程：解：点在的中垂线上，
，
，，，
在中，由勾股定理得，
点在上，
．
14. 解关于的分式方程，若该分式方程产生增根，则的值为_____．
答案：
解析：
思路：先确定分式方程的分母，令分母为零得到增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程计算即可求出的值．
解答过程：分式方程的分母为和，
令分母为零，得增根，
方程两边同乘最简公分母去分母，得：，
将增根代入整式方程，得：，
解得．
15. 在中，，，点为上一动点，将沿边翻折，使与边重合，点落在上的处，若，则_____________．
答案：
解析：
思路：先推导出是等腰直角三角形，且，得到，再根据平行四边形的性质，得到，，，由翻折，得，，推导出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质进行求解即可．
解答过程：解：∵，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
在中，
，，，
由翻折，得
，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
16. 规定一个四位数（，，，均为整数，且），若，，则称这个数是“义渡数”，将一个“义渡数”千位和百位上的数字组合成一个两位数，十位和个位上的数字组合成一个两位数，设，则_____________；若能被7整除，则满足要求的的最大值与最小值的差为_____________．
答案： ①. ②. 8322
解析：
思路：根据义渡数的定义，得到，推导出，由能被整除，得到是的倍数，由四位数最大，得到，可求出，，，得到最大数，由四位数最小，得到，可求出，，，得到最小数，进而得到最大与最小值的差为8322，即可解答．
解答过程：解：∵，
∴
∴，
∵四位数是义渡数
∴
∴
∵
∴，
∵能被整除
∴是的倍数，
∴是的倍数，即是的倍数，
∵要四位数最大
∴，
∵是的倍数，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴最大，
∵要四位数最小，
∴，
∵是的倍数，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴最小，
∵，
∴最大与最小值的差为8322．
三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 解不等式（组）：
（1）（2）
答案：（1）
（2）解析：
（1）解：去括号得，
移项合并得；
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
18. 在学习平行四边形的判定后，小明发现在平行四边形的基础上继续添加某些条件，可以构造出一些新的平行四边形．于是他用圆规和直尺在上截取，连接，作的平分线与交于点（保留作图痕迹），这时他发现四边形是平行四边形．完成下列证明过程．
证明：四边形是平行四边形，
，， ① ，
．
平分，
② ，
，
③ ，
，
，
，
即 ④ ，
又，
四边形是平行四边形．
答案：（1）；（2）①，②，③，④．
解析：
思路：由题意，先根据尺规作图的方法作角平分线，再由平行四边形的判定和性质、角平分线的定义填空即可．
解答过程：略
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 先化简，再求值：，在，，中选取适当的一个作为x的值代入求分式的值．
答案：，当时，原式．
解析：
思路：先根据分式混合运算法则化简，得出最简结果，再根据分式有意义的条件得出，代入求值即可．
解答过程：解：
=
=
=，
∵有意义，
∴，，
∴，，
∴在，，中只能取，
当时，原式．
20. 如图，在中，点的坐标为，点的坐标为．
（1）将先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到，画出，点的坐标是_____________；
（2）将绕点逆时针旋转后得到，画出，点的坐标是_____________；
（3）求的面积．
答案：（1）解：如图所示，即为所求；
点的坐标是；
（2）解：如图所示，即为所求；
点的坐标是；
（3）10
解析：
思路：（1）根据平移的性质进行作图即可；
（2）根据旋转的性质进行作图即可；
（3）根据割补法求三角形的面积即可．
（1）略
（2）略
（3）解：如图
．
21. 某校开学初在超市购进A、B两种品牌的消毒液，购买A品牌消毒液花费了2500元，购买B品牌消毒液花费了2000元，且购买A品牌消毒液数量是购买B品牌消毒液数量的2倍．已知购买一瓶B品牌消毒液比购买一瓶A品牌消毒液多花30元．
（1）购买一瓶A品牌、一瓶B品牌消毒液各需多少元？
（2）该校为了防疫，决定再次购进A、B两种品牌的消毒液共50瓶，恰逢超市对这两种品牌消毒液的售价进行调整，A品牌消毒液售价比第一次购买时提高了，B品牌消毒液按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买的总费用不超过3200元，那么，最多可以购买多少瓶B品牌消毒液？
答案：（1）购买一瓶A品牌消毒液需50元，一瓶B品牌消毒液需80元
（2）最多可以购买27瓶B品牌消毒液
解析：
思路：（1）设购买一瓶A品牌消毒液需x元，则购买一瓶B品牌消毒液需元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购买m瓶B品牌消毒液，则购买瓶A品牌消毒液，根据题意列不等式求解即可．
（1）解：设购买一瓶A品牌消毒液需x元，则购买一瓶B品牌消毒液需元，
依题意，得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：购买一瓶A品牌消毒液需50元，一瓶B品牌消毒液需80元．
（2）解：设购买m瓶B品牌消毒液，则购买瓶A品牌消毒液，
依题意，得：，
解得．
又∵m为非负整数，
∴m的最大值为27．
答：最多可以购买27瓶B品牌消毒液．
22. 如图，已知四边形是平行四边形，连接，作于点E，于点F．
（1）证明：；
（2）已知，，四边形周长为54，求的长．
答案：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
于点E，于点F，
，
在和中，
，
，
∴．
（2）17
解析：
思路：（1）利用平行四边形的性质得出，再证明得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出，再根据已知条件结合勾股定理设，列出方程求得最终结果．
（1）略
（2）解：，
，
，，，
，，
，
，
设，
，
解得：，
即的长为17．
23. 如图，在四边形中，，，过点A作于点E，，动点P从点B出发，沿运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，的面积为．
（1）请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围；
（2）请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
（3）若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）
答案：（1）
（2）绘制图象如下：
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）
（3）当时的取值范围为：或
解析：
思路：（1）当点在上运动时，由，即可求解；当点在上运动时，同理可解；
（2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解；
（3）观察函数图象即可求解；
（1）解：，，
则，
即，
则四边形为矩形，
在中，，，则，
则矩形为边长为4的正方形，
当点在上运动时，
过点作于点，
则，
当点在上运动时，
同理可得：，
即；
（2）当时，，当时，，当时，；
从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）；
（3）从图象看，当时的取值范围为：或．
方法提示：本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，其中（1），要注意分类求解，避免遗漏．
24. 已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，函数的图象与轴、轴分别交于点、，且两个函数图象交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若点在射线上，使得的面积为，过线段中点，作直线轴，点为轴上一动点，作直线于点，连接、，求的最小值；
（3）若为直线上的动点，，写出点的坐标并选择一种情况写出解答过程．
答案：（1）
（2）12 （3）解：① 当点在点的右侧时，如图
过点作于点，过点作轴于点，过点作的延长线于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
，
，
，
解得
设直线的解析式为，
将、分别代入，得
解得
直线的解析式为，
联立，
解得
；
② 当点在点的左侧时，如图
过点作于点，过点作轴于点，过点作的延长线于点，
由①同理可得 ，
，．
由①同理可得：，，，．
解得
．
由①同理可得，直线的解析式为，
联立，
解得，
，
综上所述，或．
解析：
思路：（1）先求出，再将代入，求出，即可解答；
（2）先求出，，，得到，，根据三角形的面积公式，求出，设，由求出，得到，过点作，且，连接推导出四边形是平行四边形，得到，继而推导出当点，，三点共线时，取得最小值，为，即也取得最小值，进而求出，即可求出也取得最小值为．
（3）①当点在点的右侧时，过点作于点，过点作轴于点，过点作的延长线于点，推导出，得到，，，求出，进而求出直线的解析式为，联立，求出即可；② 当点在点的左侧时，同①的解题思路进行求解即可．
（1）解：将代入，得
，
∴，
将代入，得
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：当时，，
，
当时，
解得，
，
当时，，
解得，
∴，
，，
，
设，则
，
，
，
过点作，且，如图，连接
四边形是平行四边形，
，，
、，点是的中点，
，
轴，，
，轴，
，即
，
当点，，三点共线时，如图
，此时取得最小值，为，即也取得最小值，
，
的最小值为10，
此时也取得最小值，为．
（3）略
25. 在中，，，点D为直线上一动点，连接．
（1）若平分，，求的长度；
（2）如图2，当点D在延长线上时，以为边在左侧作等边，点F是的中点，连接交于点G．若，求证：；
（3）将绕点C顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，将沿翻折得到，连接，直接写出的角度．
答案：（1）
（2）证明：如图，延长至点M，使得，连接，在上取点N，使得，
∵F是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（3）解析：
思路：（1）过点D作交于点H，利用解含30度直角三角形，等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果；
（2）延长至点M，使得，连接，在上取点N，使得，证明，是等边三角形，，最后通过等量代换利用等腰三角形的性质即可证得结论；
（3）先确定出点的运动轨迹，并求出与直线的夹角，再根据已知条件利用翻折的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的定义即可求得最终结果．
（1）解：如图，过点D作交于点H，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，．
（2）略
（3）解：∵点D为直线上的动点，
当点D与点B重合时，即将绕点C顺时针旋转得，
∴，，
当点D与点A重合时，即将绕点C顺时针旋转得，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴点的轨迹为直线，与的夹角为，
如图，当时，取得最小值，
连接，将沿翻折得，连接，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．