陕西省西安市蓝田县2025-2026学年八年级下学期期末综合素质评价 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市蓝田县2025-2026学年八年级下学期期末综合素质评价 数学试题（含解析），共25页。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 以下四种不同的传统纹样中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若分式的值为0，则的值为（ ）
A. 5B. 7C. D.
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则的周长（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
4. 下列式子中，因式分解正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 如图，在中，，点E在边上，连接，过点E作于点D，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A. 13B. 1C. 3D. 4
8. 如图，在中，过点A作，点D在边上，连接并延长交于点E，连接，以、为邻边作，若的面积为8，则的面积为（ ）
A. 16B. 6C. 12D. 8
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 因式分解：__________．
10. 请写一个解集为的不等式为：__________．（只写一个）
11. 一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是_____．
12. 如图，在平行四边形中，延长到点E，连接，使．若，则的度数为___________
13. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是__________________．
14. 如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为_____．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15. 因式分解：．
16. 解不等式组：
17. 解方程：．
18. 如图，某中学有、、三栋教学楼，教学楼、在校内的主干道上，教学楼在校内支路的末端．为了方便教学和管理，现计划在道路上修建一栋办公楼，使办公楼到、两栋教学楼的距离相等，请用尺规作图法在图中作出办公楼的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
19. 如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：．
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点、、．
（1）若经过平移后得到，已知点C的对应点的坐标为，画出；（点A、B的对应点分别为点、）
（2）将绕原点O顺时针旋转得到，画出．（点A、B、C的对应点分别为点、、）
22. 如图，在中，已知，在边上，连接，过点作，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
23. 某校为了准备跳绳比赛，计划在某文体书店购买A、B两种跳绳，已知A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元，且B种跳绳比A种跳绳多购买20条．现该文体书店对A、B两种跳绳开展促销活动，活动方案如下（顾客只能选择其中一种方案）：
方案一：购买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳；
方案二：购买A种和B种跳绳都打八折．
设该校选择方案一购买跳绳所花费用为（元），选择方案二购买跳绳所花费用为（元），购买A种跳绳的条数为（条）．
（1）请分别求出、与x之间的函数关系式；
（2）当x在什么范围时，选择方案一所花费用小于选择方案二所花费用．
24. 如图，在中，AD平分，过点B作AD的垂线，垂足为点D，，交AB于点E，．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：．
25. 骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为元个和元个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵元．某日，甲头盔的销售额为元，乙头盔的销售额为元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的倍．
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）若商店准备用不超过元的资金再购进这两种头盔共个，最多能购进甲种头盔多少个？
26. 按要求解答下列问题：
（1）【问题探究】
如图1，将绕点旋转得到，点在边上，连接．求证：平分；
（2）【问题解决】
如图2，城市休闲广场中心摆放了一块平行四边形景观钢板，设计师将这块平行四边形钢板以顶点为旋转中心，旋转一定角度得到新的平行四边形钢板，用作配套装饰雕塑，旋转后顶点恰好落在原钢板的边上，连接，连接交于点，现场勘测测得，的边米，米，求装饰区域的面积．
数学
总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 以下四种不同的传统纹样中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
解答过程：解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
2. 若分式的值为0，则的值为（ ）
A. 5B. 7C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查分式值为0的条件，分式值为0需同时满足两个要求，分子等于0，分母不等于0，分母为0时分式无意义，据此计算即可．
解答过程：解：∵分式的值为0，
∴，，
解，得，
当时，，符合要求，
∴的值为．
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则的周长（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
答案：D
解析：
思路：利用三角形中位线定理计算即可；
解答过程：∵点D、E分别是边AB、BC的中点，
∴，，，
∴，，，
∴的周长；
故选：D．
方法提示：本题主要考查了三角形中位线定理，准确计算是解题的关键．
4. 下列式子中，因式分解正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：
解答过程：对于选项A，符合平方差形式，正确分解为，不等于，故A错误；
对于选项B，提公因式不完整，正确分解应为，故B错误；
对于选项C，因式分解要求最终结果为几个整式的乘积，该式结果仍为和的形式，不符合要求，故C错误；
对于选项D，由完全平方公式可得，因式分解正确，故D正确．
5. 如图，在中，，点E在边上，连接，过点E作于点D，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：证明，即可求解．
解答过程：解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6. 如图，一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：数形结合，一次函数处于直线下方部分的自变量的取值范围即为不等式的解集，据此作答即可．
解答过程：解：如图，
关于的不等式的解集可以理解为：一次函数的图象处于直线下方部分的自变量的取值范围，
即该解集是．
7. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A. 13B. 1C. 3D. 4
答案：C
解析：
思路：本题考查分式方程增根的概念，增根是使分式方程分母为0的未知数的值，先将分式方程化为整式方程，再根据增根得到x的值，代入即可求出k．
解答过程：原方程为 ，变形得 ，
方程两边同乘去分母，得，
整理得 ，
∵ 分式方程有增根，
∴ ，即，
将代入，
得．
8. 如图，在中，过点A作，点D在边上，连接并延长交于点E，连接，以、为邻边作，若的面积为8，则的面积为（ ）
A. 16B. 6C. 12D. 8
答案：A
解析：
思路：根据平行可知、等底同高，即有，进而可证明，再结合平行四边形的性质即可求解．
解答过程：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为8，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 因式分解：__________．
答案：
解析：
解答过程：解：=；
故答案为
10. 请写一个解集为的不等式为：__________．（只写一个）
答案：
解析：
解答过程：解：对不等式移项，可得，满足题目要求．
故答案为（答案不唯一）．
11. 一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是_____．
答案：18
解析：
思路：多边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的每一个内角都等于160°，得内角和为160°n，由此得出多边形的边数．
解答过程：解：设多边形为n边形，由题意，得
（n﹣2）•180°＝160°n，
解得n＝18，
故答案为：18．
方法提示：本题主要考查多边形的内角和以及顶点数和内角个数之间的关系，找到等量关系是解决问题的关键.
12. 如图，在平行四边形中，延长到点E，连接，使．若，则的度数为___________
答案：##40度
解析：
思路：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质求解即可得．
解答过程：解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是__________________．
答案：
解析：
思路：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同，即可列出方程.
解答过程：解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据题意可得方程：；
故答案为：.
14. 如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为_____．
答案：
解析：
思路：设的中点为点，连接，，证明，得，当时，取最小值，求得此时的，便是的最小值．
解答过程：解：设的中点为点，连接，，如图，
，，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
当时，取最小值为，
长的最小值为，
故答案为：．
方法提示：本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短性质，关键是构造全等三角形把的最小值转化为的最小值进行解答．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15. 因式分解：．
答案：
解析：
思路：本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
解答过程：解：
16. 解不等式组：
答案：．
解析：
思路：本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
解答过程：解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为．
17. 解方程：．
答案：
解析：
思路：根据解分式方程的解法步骤求解，最后检验即可．
解答过程：解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得
检验：当时，
∴原分式方程的解为．
方法提示：本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的解法步骤是解答的关键，注意：解分式方程最后要检验，避免出现增根．
18. 如图，某中学有、、三栋教学楼，教学楼、在校内的主干道上，教学楼在校内支路的末端．为了方便教学和管理，现计划在道路上修建一栋办公楼，使办公楼到、两栋教学楼的距离相等，请用尺规作图法在图中作出办公楼的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
答案：下图即为所求作：
解析：
思路：要使到、两点的距离相等，则点为线段的中垂线和直线的交点即可．
解答过程：略
19. 如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：．
答案：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴．
解析：
思路：由等角对等边得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出．
解答过程：证明：略；
20. 先化简，再求值：，其中．
答案：,
解析：
思路：先将括号内的分式通分，同时可将除法转换为乘法，再将括号内进行同分母分式减法运算，然后计算分式的乘法，化成最简形式，最后代入求值即可．
解答过程：解：
，
当时，原式．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点、、．
（1）若经过平移后得到，已知点C的对应点的坐标为，画出；（点A、B的对应点分别为点、）
（2）将绕原点O顺时针旋转得到，画出．（点A、B、C的对应点分别为点、、）
答案：（1）下图即为所求作：
， （2）下图，即为所求作：
解析：
思路：（1）先根据点C 和对应点的坐标，确定平移的方式，然后根据平移的性质解答即可；
（2）根据旋转的性质解答即可．
（1）解：∵点的对应点的坐标为，
∴向右平移5个单位，向上平移2个单位，
则点对应的点、点对应的点．
（2）解：∵点、、绕原点O顺时针旋转，
∴点、、．
22. 如图，在中，已知，在边上，连接，过点作，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
答案：（1）证明：，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解析：
思路：（1）根据内错角相等，两直线平行，可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立；
（2）利用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形对边相等可得的长度．
（1）略
（2）解：，，，
，
四边形是平行四边形，
．
23. 某校为了准备跳绳比赛，计划在某文体书店购买A、B两种跳绳，已知A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元，且B种跳绳比A种跳绳多购买20条．现该文体书店对A、B两种跳绳开展促销活动，活动方案如下（顾客只能选择其中一种方案）：
方案一：购买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳；
方案二：购买A种和B种跳绳都打八折．
设该校选择方案一购买跳绳所花费用为（元），选择方案二购买跳绳所花费用为（元），购买A种跳绳的条数为（条）．
（1）请分别求出、与x之间的函数关系式；
（2）当x在什么范围时，选择方案一所花费用小于选择方案二所花费用．
答案：（1）（为正整数），（为正整数）
（2）当且为正整数时，选择方案一所花费用小于选择方案二所花费用.
解析：
思路：（1）先根据数量关系得到B种跳绳的购买数为，再根据两种促销方案的规则分别列出总费用与的函数关系式；
（2）根据费用的大小关系列出一元一次不等式，求解不等式得到的范围．
（1）解：由题意可知，购买A种跳绳条，则购买B种跳绳条，为正整数，
方案一：购买一条A赠送一条B，
共赠送条B跳绳，需要付费的B跳绳数量为条．
总费用，即（为正整数）．
方案二：两种跳绳都打八折，总费用为原价总和的．
，即（为正整数）．
（2）解：根据题意得，，即，
解得．
当且为正整数时，选择方案一所花费用小于选择方案二所花费用．
24. 如图，在中，AD平分，过点B作AD的垂线，垂足为点D，，交AB于点E，．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）求证：．
答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：
（1）证明：如图，∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵，CD∥AB，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：由（1）得
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
方法提示：本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
25. 骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为元个和元个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵元．某日，甲头盔的销售额为元，乙头盔的销售额为元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的倍．
（1）求甲、乙两种头盔的销售单价；
（2）若商店准备用不超过元的资金再购进这两种头盔共个，最多能购进甲种头盔多少个？
答案：（1）甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元
（2）最多能购进甲种头盔个
解析：
思路：（1）设甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元
解之得：
经检验，是原方程的解．
∴，
答：甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元．
（2）解：设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，根据题意，得
解得：，
∴最多能购进甲种头盔个．
方法提示：本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键．
26. 按要求解答下列问题：
（1）【问题探究】
如图1，将绕点旋转得到，点在边上，连接．求证：平分；
（2）【问题解决】
如图2，城市休闲广场中心摆放了一块平行四边形景观钢板，设计师将这块平行四边形钢板以顶点为旋转中心，旋转一定角度得到新的平行四边形钢板，用作配套装饰雕塑，旋转后顶点恰好落在原钢板的边上，连接，连接交于点，现场勘测测得，的边米，米，求装饰区域的面积．
答案：（1）证明：在中，，
∴，
由旋转知，
∴，
∴，
∴平分；
（2）平方米．
解析：
思路：（1）由平行、旋转及等腰三角形的性质得，即可证明结论；
（2）过点B作，交于点N，连接，作于点I，由已知及旋转可得是等边三角形，结合平行四边形的性质得，，，再证明四边形是平行四边形，，则，
在中求得，即可求解．
（1）证明：略；
（2）解：如图，过点B作，交于点N，连接，作于点I，
由（1）知，
∴，
由旋转有，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
由旋转得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴（平方米）．
答：装饰区域的面积为平方米．