【数学】重庆市大渡口区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版）

这是一份【数学】重庆市大渡口区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2. 下列式子是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A. ，不是，不符合题意；
B. ，不是，不符合题意；
C. ，是，符合题意；
D. ，不是，不符合题意；
故选：C．
3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
D．符合定义，故选项正确，符合题意．
故选：D．
4. 一个凸多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】设这个多边形的边数为n，
则（n-2）180°=540°，
解得n=5，
故选A.
5. 将点A（2，-1）向右平移2个单位得到A'，则A'的坐标为（ ）
A. （4， -1）B. （2，1）C. （2，-3）D. （0，-1）
【答案】A
【解析】将点向右平移2个单位长度，
得到的点的坐标是，
即：，
故选：A．
6. 如果，那么下列结论中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
故A不符合题意；
∴，
故B不符合题意；
∴，
故C不符合题意；
∴，成立，
故D符合题意；
故选：D．
7. 如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴当，四边形是平行四边形，
当时，四边形是平行四边形，故A，B选项不符合题意；
当时，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意；
当时，，四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
8. 如图，在中，，将绕点A逆时旋转α（）得到（点B与点D对应），线段交线段于点O，当时，旋转角α为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由旋转的性质得，，
∵，
∴，
故，
故选：C．
9. 如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，，若，则的长为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点E作于点Q，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（负值舍去）
∴，
故选：B．
10. 已知整式，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（ ）
①若，则；
②若，且时，则满足条件的整式M有且只有10个；
③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64．
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】B
【解析】根据题意，得，其中n，，，，，…，均为自然数．
①：由，得，，故，正确；
②：当且时，当或或或或
或或或或或共有10种组合，对应10个不同的整式，正确；
③：若为互不相同的自然数，且时，根据题意，最小自然数序列的和为，当时，和为；当时，最小和为，
故的最大值为63，③错误；
综上，正确的说法为①和②，共2个，
故选：B．
二、填空题
11. 等腰三角形的顶角的度数是，则底角的度数是________度．
【答案】
【解析】等腰三角形的顶角的度数是，由等腰三角形的性质可得：底角为；
故答案为：．
12. 若，，则_________．
【答案】2
【解析】∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
13. 如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】由图象得，当时，，
不等式的解集为．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，的面积为，点D是上一点（点D不与点B，C重合），点E是点D关于的对称点，点F是点D关于的对称点，连接、、、、、，则四边形面积的最大值为________．
【答案】
【解析】∵点E是点D关于的对称点，点F是点D关于的对称点，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴，
要使四边形面积有最大值，则要有最小值，即有最小值，
∵点D是上一点（点D不与点B，C重合），
∴当时，最小，此时：，∴，
∴，
故答案为：.
15. 如图，在平行四边形中，，，是边的中点，连接，将四边形沿翻折，，的对应点分别是，落在平行四边形所在的平面内，的延长线交于点，则的长为________．
【答案】
【解析】如图，连接、、，延长交于点，
∵将四边形沿翻折，，的对应点分别是，，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在平行四边形中，，，
∴是等边三角形，，
∴，
∵是边的中点，
∴，，
∴，
∴，，
设，
在中，，，，
∵，
∴，
解得：，
即的长为．
故答案为：．
16. 一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“美好数”．将“美好数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“美好数”的千位数字的倍求和，记作．则最大的“美好数”与最小的“美好数”之和为_____．有两个四位正整数（，）均为“美好数”，若能被整除且能被整除，则满足条件的P值的平均数为________．
【答案】①. ②.
【解析】要想使“美好数”最大，则千位是最大的一位数，
又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和，
∴千位不能为，即千位最大是，最小是，
∴最大的“美好数”是，最小的“美好数”是，
∴最大的“美好数”与最小的“美好数”之和为：；
∵，，
∴，，
∵个位数字等于十位数字与千位数字之和，
∴，，
∴，
，
∴
，
，
∵能被整除且能被整除，
∴能被整除，能被整除，
∵，
∴，
∴，
∴能被整除，
∵，，
当，时，能被整除，但，不符合题意，
当，时，能被整除，但，不符合题意，
当，时，能被整除，此时，
当，时，能被整除，此时，
∴满足条件的P值的平均数为：．
故答案为：；．
三、解答题
17. （1）因式分解：；
（2）化简：．
解：（1）
；
（2）
．
18. （1）解不等式组；
（2）解方程：．
解：（1），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为：；
（2），
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：时，分母不为0，符合题意，
则分式方程的解为．
19. 在学习了平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是平行四边形，对角线交于点E，，交于点F．
（1）用无刻度直尺和圆规作在下方作，使得，且射线交的延长线于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，即．
又∵ ①，
∴为的中位线，
∴ ②．
∵， ③，
∴，
∴ ④．
又，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（1）解：由题意，作图如下：
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，即，
又∵①，
∴为的中位线，
∴②，
∵，③，
∴，
∴④，
又，
∴，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：；；；．
20. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
∵，
∴原式．
21. 如图，方格中每个小正方形的边长是1，各顶点坐标为，，．
（1）在方格中画出关于y轴对称的图形；
（2）在方格中画出绕原点O逆时针旋转后的图形，并直接写出的坐标；
（3）若点D在y轴，且，则点D的坐标为________．
解：（1）如图，即为所求；
（2）如图：即为所求，
；
（3）如图，点D即为所求，
，
点D位于的垂直平分线上，
．
22. 如图，在中，，，点，分别是，的中点，点是的中点，的延长线交的延长线于点，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的长．
（1）证明：∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
即，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴的长为．
23. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价低5000元，用16万元购买A型机器人模型和用20万元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共80台，购买B型机器人模型不少于A型机器人模型2倍，商家给出A型机器人在售价的基础上减免2000元，B型机器人在售价的基础上打八折，学校如何购买才能使得总费用最少，最少费用是多少？
解：（1）5000元万元，
设型机器人模型每套的售价为万元，则型机器人模型每套的售价为万元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种健身器材每套的售价为2万元，种健身器材每套的售价为万元；
（2）2000元万元，
设学校购买型健身器材套，则购买型健身器材套，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为26，
设费用为万元，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
此时，，
的最小值万元，
答：学校购买型健身器材26套，型健身器材54套才能使总费用最少，最少费用为万元．
24 阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）______．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
①______．
②______．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
解：（1）
，
故答案为：；
（2）①
；
②
；
（3）这个三角形为等边三角形．
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴这个三角形是等边三角形．
25. 在中，，，D是直线上一点，E是线段的中点．
（1）如图1，若点D在边上，且，，求的长；
（2）如图2，若F为直线左侧一点，D为的中点，将绕点D按顺时针方向旋转得到（G在直线的右侧），连接、，若，求证：；
（3）如图3，连接，点P是的中点，连接，将绕点P逆时针旋转得到，连接，点M是射线上一点，，的面积是，直接写出的最小值．
（1）解：取的中点F，连接，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点E，F分别为线段，的中点，
∴，且，，
∴，，
∴；
（2）证明：如图，连接，过点作交的延长线于点，延长交于点，连接，
∵D为的中点，E是的中点，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即；
（3）解：以点为原点，、所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系，
设，则，，
∵，
∴，即，
①当点在点的左侧或与点重合，设点的坐标为，则，
∵点P是的中点，
∴，
作轴于点，作于点，则，
∴，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当时，点与点重合，点与点重合，此时，
当时，点在点的左上方，此时，
∴当点在点的左侧或与点重合时，的最小值为；
②当点在点的右侧，设点的坐标为，则，
∵点P是的中点，
∴，
作轴于点，作于点，
同理①中的方法可得，，
∴，
∵点M是射线上一点，，
∴，
∴
，
∵，∴，
∴当时，有最小值，
∴的最小值为；
∴综合①②可得，的最小值为．