重庆市奉节县2025-2026学年八年级下学期期末质量监测 数学试题（含解析）

这是一份重庆市奉节县2025-2026学年八年级下学期期末质量监测 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，一次函数（）与正比例函数（）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A. 关于的方程的解是
B. 关于的不等式的解集是
C. 当时，函数的值比函数的值大
D. 关于x，y的方程组的解是
7. 若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. 1B. 3C. 1或D.
8. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，此时点B的对应点E恰好在的延长线上．若A，B，D三点共线，且，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，在四边形中，，，，边上一点E，满足，连接．现将沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知整式，其中n为自然数，，，…，均为整数，且整式M的最高次项的系数为正整数．若．下列说法：①满足条件的所有整式M中有且仅有3个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 分解因式：___________．
12. 若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是______边形．
13. 如图，数轴上表示的是一个一元一次不等式的解集．若该不等式有3个负整数解，则a的取值范围是___________．
14. 如图，在中，点D是边的中点，，交于点E，连接．平分，交于点F，连接．若，，则的周长为___________．
15. 如图，有两个完全重合的和，把绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在的边上，连接，交于点Q．若，，，则点B到的距离为___________；的长度为___________．
16. 对任意一个三位正整数m，若m的各个数位上的数字都不为零，将m的百位数字放到末两位数字的后面，得到一个新的三位数，记．若为整数，则称m为“五行数”．例如：，，则是整数，所以214是“五行数”；，，则不是整数，所以113不是“五行数”．计算_________；s是一个“五行数”，也是一个偶数，且s的百位数字比十位数字大5，求符合条件的s的最大值与最小值的差是_________．
三、解答题：（本大题9个小题，第17题和18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 解不等式组，并写出所有的非负整数解．
18. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在（1）的条件下，若平分．求证：．
证明：为的垂直平分线，
，
① ，
，
② ，
平分，
③ ，
在和中，
④ ，
为的垂直平分线，
，
．
19. 某校举办了一场摄影知识讲座，讲座结束后对八、九年级全体学生进行了满分为100分的摄影知识测评．为了解测评情况，学校在八、九年级分别随机抽取了10名学生的成绩（单位：分）进行整理、分析（成绩用x表示，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息：10名八年级学生的成绩为：65，79，84，87，87，88，92，95，96，97；10名九年级学生的成绩中C等级包含的所有数据为：86，88，89．
抽取的学生测评成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_________，_________，_________；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪个年级学生对摄影知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有800名学生，九年级有860名学生，请估计该校八、九年级参加此次测评的成绩为D等级的学生人数共是多少？
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，在四边形中，垂直平分，交于点，连接并延长，交于点，且，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
22. 如图，在中，，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，沿折线运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动时间为x秒，点到直线的距离与点到点的距离之和记为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
23. 某地举办半程马拉松比赛，设计了A型和B型两款纪念品．其中A型纪念品的单价比B型纪念品的单价多20元；用1500元购买A型纪念品的数量是用400元购买B型纪念品的数量的3倍．
（1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？
（2）若计划购买A，B两种型号纪念品共70个，要求购进A型纪念品的数量不少于B型纪念品的数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案．
24. 如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为．

（1）求直线的表达式；
（2）点是线段上一点，过原点的直线将四边形的面积分为的两部分，请求出点的坐标；
（3）点在直线上第二象限内一点，在中有一个内角是，请直接写出点的坐标．
25. 已知，在中，点是边上一点，连接、，且，点是上一动点，连接．
（1）如图1，若点是的中点，，求平行四边形的面积；
（2）如图2，当时，连接，求证：；
（3）如图3，以为直角边作等腰，，连接，，，在点的运动过程中，请直接写出周长的最小值．
数学
满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解：B选项图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； A、C、D选项图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意．
2. 下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题主要考查了最简分式的判断，根据最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式即为最简分式．逐一分析各选项，判断是否存在可约分的公因式．
解答过程：解：选项A：，分子为1，分母为一次多项式，两者无公因式，无法约分，是最简分式．
选项B：，分子4与分母的公因数为4，约分后为，不是最简分式．
选项C：，分母可分解为，与分子有公因式，约分后为，不是最简分式．
选项D：，分子可提取公因式，分解为，与分母有公因式，约分后为，不是最简分式．
故选∶A
3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，逐一判断选项是否符合“将多项式分解为几个整式乘积的形式”，据此进行分析，即可作答．
解答过程：解：A、右边为，包含加法运算，未写成乘积形式，不是因式分解；
B、左边是 的乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，而非因式分解；
C、左边为多项式 ，右边写成，即两个的乘积，符合因式分解的定义；
D、左边是单项式，因式分解的对象应为多项式，故不符合要求；
故选：C
4. 如图，在中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：解：在中，，，
，
，
．
5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据坐标的平移规律解答即可．
解答过程：解：将点向右平移4个单位长度后的对应点的坐标是，即，
故选：B．
6. 如图，一次函数（）与正比例函数（）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ）
A. 关于的方程的解是
B. 关于的不等式的解集是
C. 当时，函数的值比函数的值大
D. 关于x，y的方程组的解是
答案：B
解析：
思路：运用图象法确定方程的解，不等式的解集和二元一次方程组的解，逐一进行判断即可．
解答过程：解：∵ 一次函数与正比例函数的图象相交于点，
∴关于 的方程 的解是 ，故选项 A 判断正确，不符合题意；
∵当 时，函数的图象在函数的图象上方或重合，
∴关于的不等式的解集是，故选项 B 判断错误，符合题意；
∵当 时，函数的图象在函数的图象上方，且，
∴当时，函数的值比函数的值大，故选项 C 判断正确，不符合题意；
∵方程组可变形为，
∴该方程组的解即为两函数图象交点的坐标，即，故选项 D 判断正确，不符合题意．
7. 若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. 1B. 3C. 1或D.
答案：C
解析：
思路：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解的意义，计算即可求出m的值.
解答过程：解：去分母得：，
整理得，，
当时，即时，方程无解，
当时，，即x=3时，方程无解，
此时，解得，
所以，或，
故选：C.
方法提示：本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，理解分式方程无解的意义，是解题的关键．
8. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，此时点B的对应点E恰好在的延长线上．若A，B，D三点共线，且，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由旋转得到，，根据等边对等角得到，从而根据三角形的内角和定理求出，再由旋转得到，最后由邻补角互补即可求解．
解答过程：解：由旋转可得，，
∴，
∴，
∴，
由旋转可得，
∴．
9. 如图，在四边形中，，，，边上一点E，满足，连接．现将沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：过D作于F，证明四边形是平行四边形，可得，，即可得，求出，，故，设点E到边的距离为h，即可得，解得．
解答过程：解：过D作于F，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，
∴，
设点E到边的距离为h，由可知点到边的距离为h，
∴，
∴，
解得，
∴点E到边的距离为．
10. 已知整式，其中n为自然数，，，…，均为整数，且整式M的最高次项的系数为正整数．若．下列说法：①满足条件的所有整式M中有且仅有3个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
答案：D
解析：
思路：先根据等式条件确定的所有可能取值，再按的不同取值分类枚举所有满足条件的整式，最后逐一验证三个说法的正确性．
解答过程：解：∵ ，且为正整数，为自然数，
∴ ，得，时等式不成立．
当时，得，，共1个，是单项式；
当时，，得，，
所有情况共7种：，其中仅是单项式．
当时，，得，，
所有情况共5种：，其中仅是单项式．
① 满足条件的单项式为，共3个，①正确；
② 时，所有整式的和为，②正确；
③ 满足条件的整式总数为个，③正确；
三个说法均正确，正确个数为3．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 分解因式：___________．
答案：
解析：
解答过程：解： ．
12. 若一个正多边形的内角都是，则这个正多边形是______边形．
答案：八
解析：
思路：根据正多边形内角和公式进行计算即可得解．
解答过程：解：设这个正多边形是n边形．
∴正多边形的内角和为，
∵一个正多边形的内角都是，
∴，解得，
即这个多边形是八边形．
13. 如图，数轴上表示的是一个一元一次不等式的解集．若该不等式有3个负整数解，则a的取值范围是___________．
答案：
解析：
思路：根据数轴可得，再由不等式有三个负整数解得到这三个负整数解是，据此可得答案．
解答过程：解：由数轴可得，，
该不等式恰有三个负整数解，这三个负整数解是，
∴．
14. 如图，在中，点D是边的中点，，交于点E，连接．平分，交于点F，连接．若，，则的周长为___________．
答案：14
解析：
思路：根据等腰三角形的“三线合一”得到，结合点D是的中点，得到，根据垂直平分线的性质得到，即可求出的周长．
解答过程：解：∵，平分，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∵点D是边的中点，，
∴，
∴．
15. 如图，有两个完全重合的和，把绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在的边上，连接，交于点Q．若，，，则点B到的距离为___________；的长度为___________．
答案： ①. ②. ##
解析：
思路：过 作于，于 ，过 作于，根据平行四边形和旋转的性质得出，，通过证明 求出的长，即点到的距离. 再通过证明得到 ，结合勾股定理求出的长．
解答过程：解：过 作于，于 ，过 作于，如图，
由旋转的性质可知，，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和 中，
，
∴，
∴，
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即
∴，
∴，即点B到的距离为；
在 中，，，
∴，
在 中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，．
16. 对任意一个三位正整数m，若m的各个数位上的数字都不为零，将m的百位数字放到末两位数字的后面，得到一个新的三位数，记．若为整数，则称m为“五行数”．例如：，，则是整数，所以214是“五行数”；，，则不是整数，所以113不是“五行数”．计算_________；s是一个“五行数”，也是一个偶数，且s的百位数字比十位数字大5，求符合条件的s的最大值与最小值的差是_________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：先按照定义计算，再设出s各数位的数字，结合s是偶数、百位比十位大5、各数位不为零的条件，列出表达式，根据五行数”要求为整数，找出所有符合条件的s，最后计算最大值与最小值的差即可．
解答过程：解：当时，将百位数字放到末两位后，得，
∴；
设s的十位数字为，百位数字为，个位数字为，
根据题意得s各数位数字不为零，且s是偶数，因此，是不为零的偶数，即，
，，
∴，
又为整数，1005能被5整除，因此能被5整除，
化简得是5的倍数，
依次讨论得：当时，是5的倍数，得，此时；
当时，是5的倍数，得，此时；
当时，是5的倍数，得，此时；
当时，是5的倍数，得，此时；
所有符合条件的s中，最小值是612，最大值是948，差为．
三、解答题：（本大题9个小题，第17题和18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 解不等式组，并写出所有的非负整数解．
答案：，非负整数解为，，，
解析：
解答过程：解：，
由①得，
由②得，
∴不等式组的解集为，其中非负整数解为，，，．
18. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在（1）的条件下，若平分．求证：．
证明：为的垂直平分线，
，
① ，
，
② ，
平分，
③ ，
在和中，
④ ，
为的垂直平分线，
，
．
答案：（1） （2）；；；，
解析：
思路：（1）根据题意作出图形即可；
（2）证明，即可解答．
（1）略
（2）略
19. 某校举办了一场摄影知识讲座，讲座结束后对八、九年级全体学生进行了满分为100分的摄影知识测评．为了解测评情况，学校在八、九年级分别随机抽取了10名学生的成绩（单位：分）进行整理、分析（成绩用x表示，共分为四个等级：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息：10名八年级学生的成绩为：65，79，84，87，87，88，92，95，96，97；10名九年级学生的成绩中C等级包含的所有数据为：86，88，89．
抽取的学生测评成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_________，_________，_________；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪个年级学生对摄影知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有800名学生，九年级有860名学生，请估计该校八、九年级参加此次测评的成绩为D等级的学生人数共是多少？
答案：（1）；；
（2）九年级学生对摄影知识掌握更好，理由：八、九年级学生成绩的平均分相同，但九年级学生成绩的中位数大于八年级学生成绩的中位数，所以九年级对摄影知识掌握更好
（3）人
解析：
思路：（1）计算出九年级学生的成绩中C等级的占比，即可求得的值；根据中位数和众数的定义即可求得；
（2）根据平均数和中位数，对学生对摄影知识掌握进行判断即可；
（3）利用样本估计总体即可解答．
（1）解：九年级学生的成绩中C等级的占比为，
，即；
10名八年级学生的成绩中分出现的次数最多，所以众数；
九年级A等级和B等级总人数为人，所以第五名的成绩和第六名的成绩为C组中的88，89，则中位数；
（2）略
（3）解：（人），
答：该校八、九年级参加此次测评的成绩为D等级的学生人数共是人．
20. 先化简，再求值：，其中．
答案：化简结果为，值为
解析：
思路：先分别化简整式部分和分式部分，先计算括号内的异分母分式减法，再将除法转化为乘法计算分式部分，合并后得到化简结果，再根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则求出的值，代入化简后的式子计算即可．
解答过程：解：
；
∵，
∴原式．
21. 如图，在四边形中，垂直平分，交于点，连接并延长，交于点，且，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
答案：（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解析：
思路：（1）由垂直平分线的性质可得，结合可得，则，结合即可证明四边形是平行四边形；
（2）容易判断、都是等边三角形，则，，，由含角的直角三角形的性质可得，因此，由勾股定理可得，．由平行四边形的性质可得，，分别计算和的面积，求和即可．
（1）略
（2）解：∵，，，
∴、都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴
．
22. 如图，在中，，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，沿折线运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动时间为x秒，点到直线的距离与点到点的距离之和记为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
答案：（1）
（2）函数图象如图所示：
性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大（不唯一）；
（3）结合函数图象，当时，．
解析：
思路：（1）分点在上和点在上两种情况进行讨论，分别求出点到直线的距离和点到点的距离，相加即可；
（2）通过描点，连线可画出图形，即可得出性质；
（3）直接根据图象时，得出的取值范围．
（1）解：当点在上时，即，
，
，
，
，
；
当点在上，即时，
过点作于点，
，
，
，
，
，
关于的函数表达式；
（2）图略
性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大（不唯一）；
（3）结合函数图象，当时，．
23. 某地举办半程马拉松比赛，设计了A型和B型两款纪念品．其中A型纪念品的单价比B型纪念品的单价多20元；用1500元购买A型纪念品的数量是用400元购买B型纪念品的数量的3倍．
（1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？
（2）若计划购买A，B两种型号纪念品共70个，要求购进A型纪念品的数量不少于B型纪念品的数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案．
答案：（1）A型纪念品单价为100元，B型纪念品单价为80元.
（2）共有3种满足条件的购买方案，分别为：方案1：购买A型42个，B型28个；方案2：购买A型43个，B型27个；方案3：购买A型44个，B型26个.
解析：
思路：（1）设B型纪念品单价为x元，利用“A型比B型单价多20元”表示出A型单价，再根据“1500元购买A型的数量是400元购买B型数量的3倍”的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果；
（2）设购买A型纪念品m个，根据“A型数量不少于B型数量的1.5倍”和“总费用不超过6480元”列出不等式组，求出m的整数取值，即可得到所有购买方案．
（1）解：设B型纪念品的单价为元，则A型纪念品的单价为元. 根据题意得
，
解得，
检验：当时，，因此是原方程的解．
则．
答：A型纪念品单价为100元，B型纪念品单价为80元；
（2）解：设购买A型纪念品个，则购买B型纪念品个. 根据题意得
，
解得，
因为m为正整数，所以m可取42，43，44；对应的值分别为28，27，26；
答：共有3种满足条件的购买方案，分别为：①购买A型纪念品42个，B型纪念品28个；②购买A型纪念品43个，B型纪念品27个；③购买A型纪念品44个，B型纪念品26个.
24. 如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为．

（1）求直线的表达式；
（2）点是线段上一点，过原点的直线将四边形的面积分为的两部分，请求出点的坐标；
（3）点在直线上第二象限内一点，在中有一个内角是，请直接写出点的坐标．
答案：（1）直线的表达式为；
（2）点坐标为；
（3）点的坐标为或．
解析：
思路：本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数的性质、三角形的面积，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
（1）由求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求解；
（2）先求得四边形的面积，设点坐标为，分两种情况讨论，利用三角形的面积公式列式计算即可求解；
（3）令，解得，设直线交轴于点，则，在中有一个内角是，这个角不可能是，分两种情况画出图形，若，过点作交延长线于点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，求出点的坐标为，直线的表达式为，即可得点的坐标为；若，延长交轴于，由，知轴，可得．
（1）解：一次函数与坐标轴交于，两点，
点、的坐标分别为、，
设的表达式为，
把，代入得：，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：∵点、的坐标分别为、，
∴，
∵点坐标为，
∴四边形的面积，

∵直线将四边形的面积分为的两部分，
设点坐标为，
∴或，
即或，
解得（不合题意，舍去），；
∴点坐标为；
（3）解：令，解得，
设直线交轴于点，则，
在中有一个内角是，这个角不可能是，
①当，过点作交延长线于点，过点作轴的平行线，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，如图①，

，
为等腰直角三角形，即，，
，，
，
，
，
，，
点的坐标为，
由点、得直线的表达式为，
解，得，
点的坐标为；
若，延长交轴于，如图②：

由点、可知，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∴轴，
在中，令得，
；
综上，点的坐标为或．
25. 已知，在中，点是边上一点，连接、，且，点是上一动点，连接．
（1）如图1，若点是的中点，，求平行四边形的面积；
（2）如图2，当时，连接，求证：；
（3）如图3，以为直角边作等腰，，连接，，，在点的运动过程中，请直接写出周长的最小值．
答案：（1）
（2）证明：如图，延长、交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴．
（3）解析：
思路：（1）利用勾股定理可计算出，则，；
（2）由，可得，结合平行四边形的性质可得，从而证明，则，．容易判断是等腰直角三角形，则，进而可证明，则，变形可得；
（3）作于点，过点作的垂线，在垂线上截取线段，延长至点，使得，连接、、，容易判断是等腰直角三角形，则，进而得到，因此．容易证明，则，进而证明，则．由可得，当、、三点共线时，的周长取得最小值，使用勾股定理计算出即可．
（1）解：∵点是的中点，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）略
（3）解：如图，作于点，过点作的垂线，在垂线上截取线段，延长至点，使得，连接、、，
由（2）可得，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，且，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周长为，
∴当、、三点共线时，的周长取得最小值，
在中，，
∴的周长的最小值为．
平均数
中位数
众数
八年级
87
87.5
a
九年级
87
b
95
平均数
中位数
众数
八年级
87
87.5
a
九年级
87
b
95