河北省保定市保定师范附属学校2024-2025学年八年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份河北省保定市保定师范附属学校2024-2025学年八年级下学期期中 数学试题（含解析），共16页。
2．答卷时，将答案用黑色水笔直接写在答题卡相应位置上．
3．本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟．
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选D．
2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上表示的方法是正确解答的前提．在数轴上将解集表示出来即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴在数轴上表示为：
．
故选：C．
3. 在台风“摩馤”灾后的电力抢修重建中，为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A. B. 垂线段最短
C. 等腰三角形“三线合一”性质D. 垂直平分
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质；
故选：C．
4. 下列各数中，能使不等式2x+1＜3成立的是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式，找出在不等式解集中的解即可．
【详解】解：解不等式2x+1＜3可得，
选项中只有0满足，
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的解，解决本题的关键是利用不等式的基本性质求不等式的解集．
5. 下列条件中，能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据直角三角形的判定可判断选项A和B，C选项中根据三角形的内角和定理以及三个角的比例关系可求出为，根据勾股定理的逆定理可判断选项D，即可得出答案．
【详解】解：A、由无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，，
，无法得到为直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，，
最大角，
是直角三角形，故本选项符合题意；
D、，，，，
，
不是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
6. 如图，龙龙用长方体积木垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一块三角板（，），点在上，点、恰好与木墙的顶端重合，，，则两堵木墙之间的距离的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由题意得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质及线段的和差关系即可求出的长．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故选：．
7. 若干名学生住宿舍，如果每间住4人，那么还有19人无房可住，如果每间住6人，那么还有一间不空不满，试求学生人数和宿舍间数．设学生人数为人，宿舍间数为间，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，找到题中的相等关系和不等关系，列出不等式组是解题的关键．设学生人数为人，宿舍间数为间，根据题意可得学生的总人数为，根据如果每间住6人，那么还有一间不空不满，可列出关于x的不等式．
【详解】解：设学生人数为人，宿舍间数为间，
根据题意可得，学生的总人数为，
如果每间住6人，那么还有一间不空不满，
则，
整理得，
故选：B．
8. 如图，在中，，依据尺规作图痕迹，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：；
结论Ⅱ：．
A. Ⅰ，Ⅱ都对B. Ⅰ对，Ⅱ错C. Ⅰ错，Ⅱ对D. Ⅰ，Ⅱ都错
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查角平分线和垂线段的画法，全等三角形的判定与性质，根据尺规作图痕迹可知，为的角平分线，为的垂线，可得，可判断结论Ⅱ，再由，，可得结论Ⅰ正确．
【详解】解：由尺规作图痕迹可知，
为的角平分线，为的垂线，
∴，，
在和中，
∴
∴，
∵
∴
故结论Ⅱ正确；
∵，
∴，
∴
故结论Ⅰ正确，
故选：A．
9. 一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A. 我爱数学B. 我爱祖国C. 爱数学D. 爱祖国
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式分解因式，题意给出了因式对应含义，需要对多项式进行因式分解，然后一一对应查找替代即可呈现密码信息．
【详解】解：∵
，
分别对应4个汉字：爱，我，数，学．
则呈现的密码信息可能是：我爱数学．
故选：A．
10. 如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 5.5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质；过点P作于点D，则，由等腰三角形的性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：过点P作于点D，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故选：D．
11. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A. 方程的解是
B. 不等式组的解集是
C. 不等式和不等式的解集相同
D. 方程组的解是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．根据直线与直线的交点P的坐标为，结合图象即可解答．
【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为，
∴方程的解是，故A选项正确，不符合题意；
当时，，
∴不等式的解集是，故B选项错误，符合题意；
∵由图象可得，不等式的解集为，不等式的解集为，
∴不等式和不等式的解集相同，故C选项正确，不符合题意；
由题意可知方程组，即方程组的解是，故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
12. 如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；连接，过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，，故①正确；
∵，，，
∴，
∴ ，故②正确；
连接，过分别作于，于，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点在的角平分线上，
∴平分，故③正确；
如图，在上截取，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上，正确的结论有①②③④，
故选：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定， 三角形的内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】解：将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，
则点的坐标为，即．
故答案为：．
14. 如图，若点在边长为等边三角形边上移动，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．作，由等边三角形的性质，得到，结合，根据等腰三角形三线合一的性质，得到的长度，在中，应用勾股定理，求出的长，根据垂线段最短，即可求解．
【详解】解：过点作，交于点，
等边三角形，
，
，
，
在中，．
，点在边上移动，
，
当点与点重合时，取得最小值，
故答案为：．
15. 如果不等式组的解集为，那么的取值范围是为_______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的解集情况，熟练掌握不等式组的解集取值方法是解题的关键．
根据不等式组解集情况分析求解即可．
【详解】解：∵不等式组的解集为，
∴；
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，…，斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，则依此规律，点的纵坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了规律型问题探究点的坐标，含的直角三角形三边的关系和勾股定理，通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解决本题的关键．根据含的直角三角形三边的关系和勾股定理得，，，于是可得到规律，据此即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得，，，
∴，
，
∵，
∴点与位置相同，在y轴的负半轴上，
∴点的纵坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．）
17. 因式分解
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）2500
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式7，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）运用提公因式法分解因式即可；
（3）利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
．
18. 解不等式（组）
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元一次不等式的解法即可得；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键．
19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为，，，．
（1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
（2）直接写出以，，，为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，直接写出两个符合题意的点E坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或或或
【解析】
【分析】本题考查了作图—旋转变换、利用网格求面积、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可得解；
（2）利用割补法列式计算即可得解；
（3）根据角平分线的定义并结合图形即可得解．
【小问1详解】
解：如图：即为所求，
；
【小问2详解】
解：以，，，为顶点的四边形的面积为；
【小问3详解】
解：由图可得：点E坐标为或或或．
20. 阅读下列材料：
问题：已知，且，，试确定的取值范围．
解：∵，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴
∴，
即，
得，
∴的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知，且，，
试确定的取值范围；
试确定的取值范围
（2）已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值．
【答案】（1）(1)；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的性质和解二元一次方程组，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的关键．
（）根据阅读材料所给解题过程，直接套用解答即可求得的取值；
由得，进而求得，即，即可求得的取值范围；
（）根据题意求得，，然后利用不等式的性质求解的取值范围，从而得到关于，的方程组求解；
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由得，
∴，
即，
∴，
∴的取值范围是；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的取值范围是，
∴，
解得：．
21. 如图，，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）若的三边垂直平分线的交点在该三角形的内部，直接写出的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）50°；（3）40°＜α＜90°
【解析】
【分析】（1）根据ASA证明：△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；
（3）直角三角形的三边垂直平分线的交点是斜边上的中点，钝角三角形的三边垂直平分线的交点在三角形的外部，只有锐角三角形的三边垂直平分线的交点在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
【详解】（1）证明：∵P是AB的中点，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，
∵，
∴△APM≌△BPN（ASA）；
（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，
∴MN=2PN，
∵MN=2BN，
∴BN=PN，
∴α=∠B=50°；
（3）解：∵的三边垂直平分线的交点在该三角形的内部，
∴△BPN是锐角三角形，
∵∠B=50°，
∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形三边垂直平分线的交点的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错．
22. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
（2）请用分组分解法将因式分解；
【应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．
【答案】（1）
（2）
（3），9
【解析】
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
，
∴根据题意得，，
∴原式．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
23. 根据提供的材料解决问题．
（1）求购买肉包的总价y（单位：元）与购买肉包个数x（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围．
（2）在材料二中，现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗，并且获得康乃馨．求他最多能买肉包的个数．
（3）家住距离早餐店的某客户想要在此包子铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案．
【答案】（1）
（2）5个 （3）在买包子的钱最少的前提下，他所能买的最多的豆浆碗数为碗，此时该客户的购买方案为：肉包20个，菜包0个，碗豆浆．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）将函数分为两段：当且为整数时；当且为整数时，利用待定系数法分别求解即可；
（2）根据顾客要求以及套餐中的包子和豆浆数量，确定三种购买方式，再得到最多的肉包数量即可；
（3）设购买豆浆碗，根据三种方案分别列不等式求解，选择豆浆碗数最多的方式即可．
【小问1详解】
解：当且为整数时，设，
则，解得：，
；
当且为整数时，设，
则，解得：，
；
即函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意可知，顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗，并且获得康乃馨：
①若顾客购买两份套餐A，花费元，包子个，豆浆2碗，符合题意，此时肉包个；
②若顾客先购买一份套餐A，花费元，包子个，豆浆1碗，
再购买肉包3个豆浆1碗，花费元，符合题意，此时肉包个；
③若顾客先购买一份套餐B，花费元，包子个，豆浆2碗，
再购买肉包4个，花费元，符合题意，此时肉包个；
综上可知，他最多能买肉包的个数是5个．
【小问3详解】
解：由题意可知，需要运费元，
该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．
设购买豆浆碗，
若按方案一购买：需购买肉包20个，菜包0个，
则，
解得：，
的最大值为，即最多购买豆浆碗数碗；
若按方案二购买：需购买肉包20个，赠送菜包个，
则，
解得：，
的最大值为，即最多购买豆浆碗数碗；
若按方案三购买：选择套餐A份，则肉包个，菜包个，
，
解得：，
则最多购买豆浆碗数碗；
选择套餐B份，则肉包个，菜包个，
，
解得：，
则最多购买豆浆碗数碗；
同理可得，选择套餐A、B共份，购买的豆浆数量不会超过碗，
综上可知，在买包子的钱最少的前提下，他所能买的最多的豆浆碗数为碗，此时该客户的购买方案为：肉包20个，菜包0个，碗豆浆．
24. 综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，．
特例分析：
（1）如图2，当旋转到时，求旋转角α的度数为 ；
探究规律：
（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：
（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线交于点P，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①或；②
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类．
（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果；
（2）可证明，从而得出结论；
（3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果；
②根据旋转的性质进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：，
，
即：，
由旋转知，；
在和中，
，
，
；
（3）解：①如图1，
当时，，
，，
，
，
如图2，
当时，，
，
如图3，
当时，，
，
此时和重合，这种情形不存在．
综上所述：或．
②如图：
当时，
，
，
由旋转知，，
∴是等边三角形，
，
，
旋转角为．
材料一
保定某包子铺经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数．
材料二
母亲节店铺推出购套餐送康乃馨活动：规定任意购买套餐一份即可获得康乃馨一朵．
店铺推出套餐A和套餐B，如下：
套餐A：2菜包肉包豆浆，6元 套餐B：1菜包肉包豆浆，7元
材料三
为了吸引顾客，扩大市场，店铺决定开办线上外卖（运费在以内4元，超过后每收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下：
方案一：全场九折（不包括运费）
方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包
②每买3个菜包赠送1碗豆浆
方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个