江西省吉安市2024-2025学年八年级下学期第一次阶段练习 数学试题（含解析）

这是一份江西省吉安市2024-2025学年八年级下学期第一次阶段练习 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）
A．9B．12C．15D．12或15
3．若，则在下列式子中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列命题中，逆命题是真命题的为（ ）
A．直角都相等
B．若，，则
C．全等三角形的面积相等
D．直角三角形的两个锐角互余
5．如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点．则下列结论正确的是（ ）
A．点平分B．平分C．平分D．
6．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式和不等式的解集相同
C．不等式组的解集是
D．方程组的解是
二、填空题（本大题共6小题）
7．不等式2x＜6的非负整数解有 个．
8．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 ．

9．根据条件“与和的倍是非正数，的倍与的差小于”列出的不等式组是 ．
10．如图，已知为的三边垂直平分线的交点，如果，则 ．
11．如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝8，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ为直角三角形，则t的值是 ．
三、解答题（本大题共11小题）
13．解不等式：
(1)；
(2)关于的不等式的解集如图所示，求的值．
14．如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：．
15．已知关于，的二元一次方程组．若方程组的解满足求的取值范围．
16．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．

(1)在图①中，画的高线．
(2)在图②中，画的中线．
(3)在图③中，画的角平分线．
17．如图，在中，的垂直平分线分别交于点．，求的面积．
18．河南旅游资源丰富，其中龙门石窟是中国三大石窟之一，拥有97000余尊佛像；清明上河园是以《清明上河图》为蓝本而建造的大型宋代文化实景主题公园．某文旅店拟推出龙门石窟（用A表示）和清明上河园（用B表示）明信片组合套装．已知买2张A明信片和1张B明信片共需花费14元，3张B明信片的价格比2张A明信片的价格多2元．
(1)分别求A、B两种明信片的单价；
(2)现有40人的旅行团需要定制40套相同套装，要求每套明信片包含A、B两种共15张，且A明信片的数量不少于6张．设购买所有的明信片所需费用为元，每套明信片中有张B明信片，求与之间的函数关系式，并求出最少购买费用．
19．如图，在△ABC中，DE，MN是边AB，AC的垂直平分线，垂足分别为点D，M，分别交BC于点E，N，且DE和MN交于点F.
(1)若∠B＝20°，求∠BAE的度数；
(2)若∠EAN＝40°，求∠F的度数；
(3)若AB＝8，AC＝3，求△AEN的周长的范围．
20．小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地走去，如图所示，，分别表示小东、小明离B地的距离（）与所用时间（）的关系．
(1)试求的函数表达式；
(2)在什么时间范围内，两人至少相距？
21．阅读下列材料：
小丽想求代数式的最小值是多少，通过观察式子的特点，她发现x2﹣6x很接近完全平方式，如果能加上9，它就可以变成，而为了使式子变形前后保持相等，还必须减去9，这种凑成完全平方式的方法数学上叫做添项法．该题的具体解题过程是：
解：．
∵，
∴，
即的最小值为4．
请借鉴小丽的方法解答下列各题．
(1)求代数式的最小值是多少？
(2)求证：不论x，y为何有理数，的值恒为正数；
(3)代数式有最大值，这个最大值是____．
22．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
(1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等腰直角三角形一定_______（填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边的长分别是，试判断该三角形是否为可爱三角形，并说明理由；
(2)若是可爱三角形，，，求的长．
23．综合探究
问题情境：是等边三角形，点是AC上一点，点在的延长线上，且，连接，．
猜想证明∶
（1）如图1，当点D是的中点时，______；（填“”，“”或“”）
（2）若点为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程：
证明：如图2，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程）
问题解决：
（3）如图3，当点是边上任意一点时，取的中点，连接．求的度数．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据不等式的定义逐一判断即可．
【详解】解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个，
故选C．
2．【答案】C
【分析】分两种情况解答即可求解．
【详解】解：若腰长为6，等腰三角形的三边长为：，
，能构成三角形，此时该等腰三角形的周长是；
若腰长为3，等腰三角形的三边长为：，
，不能构成三角形，
综上所述，该等腰三角形的周长是15．
故选C．
3．【答案】D
【详解】解：、∵，
∴，该选项错误，不合题意；
、∵，
∴，该选项错误，不合题意；
、∵，
∴，该选项错误，不合题意；
、∵，
∴，
∴，该选项正确，符合题意；
故选．
4．【答案】D
【分析】分别写出各命题的逆命题，再判断即可．
【详解】解：A、逆命题为：相等的两个角是直角，为假命题，不符合题意；
B、逆命题为：若，则，．取，显然为假命题，不符合题意；
C、逆命题为：面积相等的三角形一定全等．显然为假命题，不符合题意；
D、逆命题为：若锐角互余的三角形，一定是直角三角形．是真命题，符合题意．
故选D．
5．【答案】B
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，然后根据角平分线的性质和判定即可求解．
【详解】解：过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵外角的平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴点在平分线上，
∴平分，
故选．
6．【答案】D
【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为，
∴方程的解是，故A选项结论正确，不符合题意；
∴不等式的解集为，不等式的解集为，
∴不等式和不等式的解集相同，故B选项结论正确，不符合题意；
将点P的坐标代入直线与直线可得直线与直线
∴直线与x轴交于点，
∴不等式组的解集是，故C选项结论正确，不符合题意；
由题意可知方程组，即方程组的解是，
无法求出方程组的解，故D选项结论错误，符合题意．
故选D．
7．【答案】3
【分析】求出不等式的解集，即可求解．
【详解】解：2x＜6
解得：x＜3，
∴该不等式的非负整数解为0，1，2，共3个．
8．【答案】
【分析】过D点作于H，由作图得平分，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】解：过D点作于H，如图所示：

由作法得平分，
∵，
∴
∵，
∴，
∴的面积．
9．【答案】
【分析】根据题意列出不等式组即可．
【详解】解：根据与和的倍是非正数得：，
根据的倍与的差小于得：，
因此可以列不等式组为．
10．【答案】
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和外角的性质计算，得到答案．
【详解】解：连接并延长，
为三边垂直平分线的交点，
，
，，
，
，，
，
11．【答案】
【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．
解：∵一元一次不等式组的解集为，
，
解得．
12．【答案】或或
【分析】先利用直角三角形的性质可得，再根据点的运动路径和速度求出的取值范围为，然后分和两种情况，分别利用直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：在中，，
，
点从点运动到点所需时间为（秒），最后返回到点所需时间为（秒）；点从点运动到点所需时间为（秒），
当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，当时，为直角三角形，
①当时，
，
在中，，即，
解得，符合题设；
②当时，
，
在中，，即，
解得，不符题设，舍去；
（2）如图，当时，为直角三角形，
①当时，
，
在中，，即，
解得，符合题设；
②当时，
，
在中，，即，
解得，符合题设；
综上，的值是或或
13．【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法求解即可；
（2）由，得，由数轴得，即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
由数轴可知，，
∴，
∴．
14．【答案】见解析
【分析】由推出，利用进行判定．
【详解】证明：，
，即，
，
与都为直角三角形，
在和中，
，
．
15．【答案】
【分析】先根据方程组得出，，再根据列出关于m的不等式组，最后求解即可．
【详解】解：
①＋②得： 即
②－①得：
∴
解得：
∴的取值范围为
16．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形的高的定义，结合正方形或矩形相邻两条边垂直的性质，即可求得答案．
（2）根据全等三角形的判定及性质，可求得的边的中点．
（3）根据相似三角形的判定及性质，结合角平分线的定义即可求得答案．
【详解】（1）如图所示，根据图形可知，结合三角形的高的定义，可知即为的高线．

（2）图所示．

在和中
∴．
∴为的中线．

（3）如图所示，根据勾股定理可求得，，．

∵，
∴．
∴．
∴为的角平分线．

17．【答案】的面积为．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角的性质求出再根据勾股定理求出的长即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】证明：如图，连接，
∵的垂直平分线分别交于点D、E，，
，
，
，
，
，
，
，
．
18．【答案】(1)A明信片的单价为5元，B明信片的单价为4元
(2)与之间的函数关系式为，最少购买费用为元
【分析】（1）设A明信片的单价为x元，B明信片的单价为y元，根据买2张A明信片和1张B明信片共需花费14元，3张B明信片的价格比2张A明信片的价格多2元，建立二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意，每套明信片包含B种m张，则A种张，根据A明信片的数量不少于6张，求出的范围，则化简即可得到与之间的函数关系式，利用一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设A明信片的单价为x元，B明信片的单价为y元，根据题意：
，
解得：，
答：A明信片的单价为5元，B明信片的单价为4元；
（2）解：根据题意：每套明信片包含B种张，则A种张，
则，即，
∴，且为正整数；
由题意：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，有最小值为，
答：与之间的函数关系式为，最少购买费用为元．
19．【答案】（1）20° （2）70° （3）5＜△AEN的周长＜11
【分析】（1）由DE是边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，又由等边对等角，即可求得∠BAE的度数；（2）由DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，AN=CN，又由等边对等角，即可得∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，然后由三角形内角和定理，即可求得∠BAE+∠CAN=70°，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠F的度数；（3）由AE=BE，AN=CN，即可得△AEN周长等于BC的长，又由三角形三边关系即可求得△AEN周长的范围．
【详解】(1)由DE是边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，又由等边对等角，可得∠BAE＝20°.
(2)∵DE，MN是边AB，AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠EAN＝40°，∠B＋∠BAE＋∠EAN＋∠CAN＋∠C＝180°，∴∠BAE＋∠CAN＝70°，∴∠BAC＝∠BAE＋∠CAN＋∠EAN＝110°，∵∠ADF＝∠AMF＝90°，∴∠F＝360°－∠ADF－∠AMF－∠BAC＝360°－90°－90°－110°＝70°.
(3)∵DE，MN是边AB，AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴BC＝BE＋EN＋CN＝AE＋EN＋AN，即△AEN的周长．∵AB＝8，AC＝3，∴5＜BC＜11，∴△AEN周长的范围为5＜△AEN的周长＜11.
20．【答案】(1)，；
(2)在出发后内（包括）及出发后（包括），两人至少相距．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由题意得，或，求解即可．
【详解】（1）解：设，
∵函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴的函数表达式为，
直线经过原点，设，
∵函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴的函数表达式为；
（2）解：由题意得，
或，
解得：或，
答：在出发后内（包括）及出发后（包括），两人至少相距．
21．【答案】(1)2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）参照题干做法，将变形为，即可求解；
（2）将变形为两个平方与常数项之和的形式，利用平方的非负性即可证明；
（3）将变形为，即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
即的最小值为2．
（2）证明：
∵，，
∴，
∴不论x，y为何有理数，的值恒为正数．
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
即，
∴有最大值，这个最大值是．
22．【答案】(1)①不是，②该三角形是可爱三角形，理由见解析；
(2)的长为或．
【分析】（1）①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长，根据“可爱三角形”的定义即可判断；
②直接根据“可爱三角形”的定义即可判断；
（2）分三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长，
，
∴等腰直角三角形一定不是“可爱三角形”，
故答案为：不是；
②由题意得：，
，，
，
∴该三角形是可爱三角形；
（2）解：是直角三角形，，
，即，
∵是可爱三角形，，
∴有三种情况：
，即
，
，
（负值已舍去）；
，即
（负值已舍去）；
，此种情况不成立．
综上，的长为或．
23．【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由“三线合一”的性质及角平分线得出，再由等角对等边即可证明；
（2）如图2，过点作，交于点．证明是等边三角形，可得 ，证明，，可得结论，
（3）延长至，使，连，根据全等三角形的判定得出，，再由其性质结合图形找出各角之间的关系即可得出结果．
【详解】证明：（1）在等边中，，
∴，
∵是的中点，
∴，平分，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2），
理由如下：如图2，过点作，交于点．
是等边三角形
，
是等边三角形，
，
∴，即
，
，
，
，
在和中，
，
，
（3）如图所示，延长至，使，连，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∴， ，，
∴
又∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴．