广西壮族自治区南宁市第十四中学2025-2026学年八年级下学期期末测试 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区南宁市第十四中学2025-2026学年八年级下学期期末测试 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列式子是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在中，点分别是的中点，，则的长是（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
3. 下列四个函数中是一次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，三个正方形的面积分别为，，，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 甲、乙、丙、丁四位同学各进行了3次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则立定跳远成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6. 将二次函数的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B. C. D.
7. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图所示，已知，点A，D，B对应的刻度数依次为0，4，8，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在学校组织举办的“科技为翼、赴青春之约”的科学知识竞赛中，八年级学生成绩的箱线图如图所示，则八年级学生成绩的下四分位数是（ ）
A. 46分B. 62分C. 80分D. 88分
9. 参加会议的人两两彼此握手，一共握了次手，那么与参加会议人数之间的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，四边形是菱形，，则菱形的面积为（ ）
A. B. 18C. D. 24
11. 若是一次函数（为常数，且）图象上不同的两点，且时，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 要使有意义，则x的取值范围是______．
14. 图1是一款正八边形的装饰画，抽象出的几何示意图如图2所示，则的度数为__________°．
15. 关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______．
16. 如图，将一个矩形纸片三次折叠：第一次沿折线折叠，使角落在边的点；第二次展开后沿折线折叠，使角落在折痕的点；第三次沿折线折叠，使角恰好落在折痕的点．已知折叠后，纸片无拉伸，则______．
三、解答题（共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 化简、解方程：
（1）；
（2）．
18. 如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米．
（1）求梯子的底端距墙角多少米？
（2）如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长．
19. 某车企对本企业生产的甲、乙两款新能源电车的用户满意度进行了调查，并从中各随机抽取6份测评结果，对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①对甲、乙两款电车用户满意度的评分数据：
甲款：，，，，，，乙款：，，，，，，
②对甲，乙两款电车用户满意度的评分统计表如下．根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_________，_________；
（2）根据以上数据，你认为哪款电车的满意度更好，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）此次测评中，有360人对甲款电车进行评分，390人对乙款电车进行评分，如果评分数据不低于90分被认定为“优秀”，请估计此次测评中对甲、乙两款电车的满意度评分为“优秀”的共有多少人．
20. 如图，在中，，垂足为点为线段上一点，连接．用表示线段的长度，的面积为．
（1）请求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；
（3）结合函数图象，请写出函数的一条性质．
21. 定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如：已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“最值码”为．
（1）已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”；
（2）已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”（用含的式子表示）；
（3）若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值．
22. 无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为．
（1）点的坐标为_________，点的坐标为_________；
（2）求抛物线的表达式；
（3）如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值．
23. 我们可以用对称的眼光研究一些几何问题．
（1）如图1，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G：
①求证：；
②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请在图3画出四边形，并证明四边形是矩形．
（2）如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边，上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）．若，，则正方形面积的最小值为 ．
数学
分值：120分）
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列式子是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案．
解答过程：解：由二次根式的定义可知，四个式子中只有是二次根式．
2. 如图，在中，点分别是的中点，，则的长是（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
答案：C
解析：
思路：根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直接计算即可．
解答过程：解：∵在中，点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴ ．
3. 下列四个函数中是一次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数．
解答过程：解：A、中，自变量的次数为，不符合一次函数定义；
B、，符合的形式，其中，，满足，符合一次函数定义；
C、不是整式形式，不符合一次函数定义；
D、不是整式形式，不符合一次函数定义．
4. 如图，三个正方形的面积分别为，，，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据勾股定理的逆定理，得出围成的三角形为直角三角形，根据三角形内角和定理求出的度数即可．
解答过程：解：如图，
三个正方形的面积分别为，，，
，即，
为直角三角形，
，
．
5. 甲、乙、丙、丁四位同学各进行了3次立定跳远测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则立定跳远成绩最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
答案：D
解析：
思路：方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，只需比较四个方差的大小即可判定结果．
解答过程：解：∵，，，， 且，
∴最小，
∴丁的立定跳远成绩波动最小，成绩最稳定．
6. 将二次函数的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．根据函数图象平移的法则解答即可．
解答过程：解：将二次函数的图象向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是．
故选：A．
7. 一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图所示，已知，点A，D，B对应的刻度数依次为0，4，8，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质．
由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
解答过程：解：由图可知，点D为边的中点，
∵在中，，
,
故选：B．
8. 在学校组织举办的“科技为翼、赴青春之约”的科学知识竞赛中，八年级学生成绩的箱线图如图所示，则八年级学生成绩的下四分位数是（ ）
A. 46分B. 62分C. 80分D. 88分
答案：B
解析：
思路：本题主要考查箱线图及四分位数，熟练掌握箱线图及四分位数是解题的关键；因此此题可根据箱线图的相关概念进行求解即可．
解答过程：解：由箱线图可知：八年级学生成绩的下四分位数是62分；
故选B．
9. 参加会议的人两两彼此握手，一共握了次手，那么与参加会议人数之间的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：共有人参加会议，每个人需要和除自己以外的个人握手，每一次握手会被两人各重复计算一次，据此计算出实际握手次数即可得到答案．
解答过程：解：∵共有人参加会议，每个人需要和除自己以外的个人握手，且每一次握手会被两人各重复计算一次，
∴实际握手次数为，即．
10. 如图，四边形是菱形，，则菱形的面积为（ ）
A. B. 18C. D. 24
答案：A
解析：
思路：本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形，由菱形的性质得出，，在中，由含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，得出，由菱形的面积公式即可得出结果．
解答过程：解：如图，令交于O，
∵四边形是菱形，
∴，，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
故选：A．
11. 若是一次函数（为常数，且）图象上不同的两点，且时，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据题意可知，随的增大而增大，则一次项系数大于0，据此建立不等式求解即可．
解答过程：解：∵ 当时，，
∴ 在一次函数中，随的增大而增大，
∴，
解得．
12. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键．
根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解．
解答过程：解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 要使有意义，则x的取值范围是______．
答案：
解析：
思路：根据二次根式的定义，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列出一元一次不等式求解即可．
解答过程：解：根据二次根式的定义，二次根式的被开方数为非负数，
因此可得，
解得．
14. 图1是一款正八边形的装饰画，抽象出的几何示意图如图2所示，则的度数为__________°．
答案：45
解析：
思路：正八边形的外角和为，根据多边形的外角和进行计算即可．
解答过程：正八边形的一个外角为．
15. 关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______．
答案：1
解析：
思路：根据根与系数的关系得到两根之和的等式，代入已知根即可求解另一个根．
解答过程：解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，
根据根与系数的关系可得：，
将代入等式得：，
解得：．
16. 如图，将一个矩形纸片三次折叠：第一次沿折线折叠，使角落在边的点；第二次展开后沿折线折叠，使角落在折痕的点；第三次沿折线折叠，使角恰好落在折痕的点．已知折叠后，纸片无拉伸，则______．
答案：
解析：
思路：根据折叠的性质，推出四边形为正方形，是等腰直角三角形，求出的长，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可．
解答过程：解：∵矩形纸片，
∴，
∵折叠，
∴，，，，
∴，四边形为正方形，，
∴，，，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
三、解答题（共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 化简、解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2），
解析：
思路：（1）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可；
（2）利用因式分解法，即可求解．
（1）解：，
．
（2）解：，
，
，，
，．
18. 如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米．
（1）求梯子的底端距墙角多少米？
（2）如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长．
答案：（1）0.7米
（2）0.8米
解析：
思路：（1）在中，根据勾股定理直接求解即可；
（2）在中，根据勾股定理，然后根据求解即可．
（1）解：在中，，，，
∴，
答：梯子的底端到墙角的距离为0.7米；
（2）解：根据题意，得，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：的长为0.8米．
19. 某车企对本企业生产的甲、乙两款新能源电车的用户满意度进行了调查，并从中各随机抽取6份测评结果，对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①对甲、乙两款电车用户满意度的评分数据：
甲款：，，，，，，乙款：，，，，，，
②对甲，乙两款电车用户满意度的评分统计表如下．根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中_________，_________；
（2）根据以上数据，你认为哪款电车的满意度更好，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）此次测评中，有360人对甲款电车进行评分，390人对乙款电车进行评分，如果评分数据不低于90分被认定为“优秀”，请估计此次测评中对甲、乙两款电车的满意度评分为“优秀”的共有多少人．
答案：（1），
（2）乙款新能源电车的满意度更好，理由：两款新能源电车的满意度评分的平均数相同，但乙款新能源电车的满意度评分的中位数和众数均高于甲款新能源电车，且方差小于甲款新能源电车，所以乙款新能源电车的满意度更好．
（3）人
解析：
思路：（1）分别根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）根据平均数、中位数、众数和方差的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体即可解答．
（1）解：由题意可知，在甲款电车用户满意度的评分数据中，出现的次数最多，故众数；
将乙款电车用户满意度的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数．
（2）略
（3）解：由题意得，（人）．
答：估计此次测评中对甲、乙两款电车的满意度评分为“优秀”的共有人．
20. 如图，在中，，垂足为点为线段上一点，连接．用表示线段的长度，的面积为．
（1）请求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；
（3）结合函数图象，请写出函数的一条性质．
答案：（1）
（2） （3）当时，随着的增大而减小
解析：
思路：（1）根据等腰三角形的性质以及勾股定理可知，进而根据面积公式即可求解；
（2）列表描点连线即可求解；
（3）根据图形即可写出性质；
（1）解：在中，，
∴,
∴,
∵
，
∴的面积为：，
则得出关于的函数表达式为：，
（2）略
（3）解：当时，随着的增大而减小．
21. 定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如：已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“最值码”为．
（1）已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”；
（2）已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”（用含的式子表示）；
（3）若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据“最值码”的定义，将方程中的的值代入进行计算．
（2）根据“最值码”的定义，将方程中的的值代入，然后化简式子．
（3）先分别求出两个方程的“最值码”，再根据“最值码”相等得到和的关系，最后代入代数式求值．
（1）解：对于方程，其中，
所以该方程的“最值码”为．
（2）解：对于方程，其中，
所以该方程的“最值码”为．
（3）解：对于方程，其中，
所以该方程的“最值码”为，
由（2）知方程的“最值码”为，
两个方程的“最值码”相等，
，
，即，
，
所以代数式的值为．
22. 无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为．
（1）点的坐标为_________，点的坐标为_________；
（2）求抛物线的表达式；
（3）如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值．
答案：（1）;
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据直线的表达式可知点的坐标，根据无人机的水平距离可知点的坐标；
（2）将点的坐标代入即可求解；
（3）根据平移的性质可知平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解范围．
（1）解：∵直线的表达式为，A的高度为：千米，
则得，
解得：，
∴
无人机的速度为20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，
则水平距离为：（千米）
则点的横坐标为：，
则点；
（2）解：∵抛物线经过点,
则将点代入抛物线的表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（3）解：由题可知点,
由（2）可知抛物线的顶点坐标为：,
则平移后得顶点坐标为，
点平移后的坐标为：
则新抛物线的表达式为：，
∴抛物线的轨迹在点的上方，
将点的坐标代入可得，
解得：
则的最大值为：．
23. 我们可以用对称的眼光研究一些几何问题．
（1）如图1，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G：
①求证：；
②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请在图3画出四边形，并证明四边形是矩形．
（2）如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边，上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）．若，，则正方形面积的最小值为 ．
答案：（1）①证明见解析；②画图见解析，证明见解析
（2）解析：
思路：（1）①根据平行四边形的性质，易证，再根据“”可证，即可求证；②先证，再证，即可求证；
（2）连接，，利用“”得，从而，，即E，O，G三点共线，正方形对角线过点O，分析可得当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以O为圆心，的长为半径画圆，交垂线于F，H两点，连接，，，，根据勾股定理、等面积法和正方形的性质，求出，，，，最后计算面积即可．
（1）①证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
（），
；
②解：画出四边形，如图所示：
由①知，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，即，
四边形是矩形；
（2）解：在图2中，连接，，
四边形是菱形，
，，
，
，
（），
，，
E，O，G三点共线，正方形对角线过点O，
当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小，
即当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以O为圆心，的长为半径画圆，交垂线于F，H两点，连接，，，，
则此时正方形的面积最小，如图所示：
在菱形中，，，，
，，，
，
，
，
正方形面积的最小值为．
故答案为：．
方法提示：本题考查四边形综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键．新能源电车
平均数
中位数
众数
方差
甲款
86
85
乙款
86
88
新能源电车
平均数
中位数
众数
方差
甲款
86
85
乙款
86
88