广西壮族自治区桂林市2025-2026学年八年级下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份广西壮族自治区桂林市2025-2026学年八年级下学期期末考试 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 四边形外角和的度数是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 下列各点在正比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
5. 现有21名运动员的百米比赛成绩，将它们按从高到低的顺序排列后分组，计算得各组组内离差平方和如下表，结合表格可得最合理的分组方式是（ ）
A. 分组一B. 分组二C. 分组三D. 分组四
6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 将直线向下平移5个单位长度后所得直线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
8. 小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量（单位：度），结果如下：9，11，7，10，8．根据这些数据，估计她家6月份的用电量为（ ）
A. 180度B. 210度C. 240度D. 270度
9. 若点和点都在直线上，则和的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在菱形中，垂直平分，垂足为，，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 某校开展科技小实验、学生用某种材料制作了一块承重板，研究该承重板在实验范围内可承受的最大压力（单位：）与受力面积（单位：）之间的关系．实验数据表明，在测得的受力面积范围内，与近似满足函数关系．下列说法正确的是（ ）
A. 当受力面积为时，可承受的最大压力为
B. 当受力面积每增加时，可承受的最大压力增加
C. 当可承受的最大压力为时，对应的受力面积为
D. 当受力面积增加时，可承受的最大压力增加量大于
12. 在平面直角坐标系中，将若干个全等的等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，…，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上）
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点B的坐标是____________．
14. 某校进行体操比赛，甲、乙、丙三个班各选15名学生参加比赛．若三个班的参赛学生的平均身高都是，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是__________．
15. 直线与轴的交点坐标为__________．
16. 如图，在矩形中，将，分别沿对角线翻折，点的对应点为，点的对应点为，与交于点，与交于点．若，，则四边形的周长为__________．
三、解答题（本大题共7题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）
17. 如图，在中，对角线，相交于点，点是的中点，，求的长．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将向上平移5个单位得到，画出；
（2）请画出关于轴对称的；
（3）请写出，的坐标．
19. 为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛．竞赛结束后，数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出表格中，，，的值；
（2）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为200人和260人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．
20. 如图，在中，，点是上的任意一点（不与点，点重合），，，分别交，于点，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求与的周长之和．
21. 随着暑假临近，小明和小华打算假期一起去游泳．他们通过对离家最近的一家游泳馆的调查，发现该游泳馆推出了甲、乙两种消费方式．如图，直线甲、乙分别表示两种消费方式中所需费用（元）与消费次数（次）之间的关系，其中为非负整数．请根据图象信息完成下列问题：
（1）分别求出甲、乙两种消费方式所需费用（元）关于消费次数（次）的函数表达式；
（2）当消费15次时，选择哪种消费方式更合算？请通过计算说明理由．
22. 【问题情境】数学兴趣小组从一种地板图案中抽象并变化得到如图（1）（2）（3）所示的几何模型：在正方形中，点在边上，点在边上，点是对角线上不与点重合的一动点，分别连接、，且．
【初步感知】
（1）如图（1），当点是，的交点时，证明：；
【尝试探究】
（2）如图（2），当时，过点作于点，作于点，求的值；
【深化探究】
（3）如图（3），请直接写出线段，，之间的数量关系．
23. 如图，在平面直角坐标系中，有两条直线分别为：与：，直线与轴交于点，与轴交于点，点为坐标原点．
（1）直接写出点和点的坐标；
（2）如图（1），以为一条边在的下方作一个面积为的矩形，若直线与所作的矩形有公共点，求的取值范围；
（3）如图（2），当时，在，上是否分别存在点和点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
数学
（考试用时120分钟，满分120分）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与原图形完全重合，那么这个图形是中心对称图形，结合题目中的图形逐个判断即可解答；
解答过程：解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
2. 四边形外角和的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解：∵任意多边形的外角和都是，
∴四边形外角和的度数是．
3. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：B
解析：
思路：根据各象限内点的坐标符号特征判断即可，四个象限内点的坐标符号规律为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
解答过程：解：∵点的坐标为，可得，，
∴点的坐标符号符合第二象限点的特征，
∴点在第二象限．
4. 下列各点在正比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：将各点横坐标代入函数解析式，计算得到的与点的纵坐标对比，相等则点在图象上，反之不在．
解答过程：解：对正比例函数，依次代入检验：
选项A，当时，，计算结果与点的纵坐标相等，因此该点在函数图象上；
选项B，当时，，因此该点不在函数图象上；
选项C，当时，，因此该点不在函数图象上；
选项D，当时，，因此该点不在函数图象上．
5. 现有21名运动员的百米比赛成绩，将它们按从高到低的顺序排列后分组，计算得各组组内离差平方和如下表，结合表格可得最合理的分组方式是（ ）
A. 分组一B. 分组二C. 分组三D. 分组四
答案：C
解析：
思路：组内离差平方和越小，说明组内数据差异越小，分组越合理，只需比较各组组内离差平方和的大小即可得到结果．
解答过程：解：根据分组合理性的判断规则，组内离差平方和最小的分组最合理，
∵四个分组的组内离差平方和分别为，，，，，
∴分组三的组内离差平方和最小，
因此分组三是最合理的分组．
6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用平行四边形的性质对各选项依次进行判断即可．
解答过程：解：选项A，平行四边形对边相等，，∴结论成立；
选项B，平行四边形对边相互平行，，∴结论成立；
选项C，平行四边形的对边相互平行，同旁内角互补，，∴结论成立；
选项D，平行四边形对角相等，，∴结论不成立．
7. 将直线向下平移5个单位长度后所得直线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解：直线向下平移个单位长度后所得直线的表达式是．
8. 小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量（单位：度），结果如下：9，11，7，10，8．根据这些数据，估计她家6月份的用电量为（ ）
A. 180度B. 210度C. 240度D. 270度
答案：D
解析：
思路：本题考查平均数的定义和用样本去估计总体．先求出所抽查的这5天的平均用电量，从而估计他家6月份日用电量，“平均数等于所有数据的和除以数据的个数”．
解答过程：解：∵这5天的日用电量的平均数为（度），
∴估计他家6月份日用电量为9度，
∴估计她家6月份的用电量为：（度），故D正确．
故选：D．
9. 若点和点都在直线上，则和的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据一次项系数判断函数的增减变化，再结合两点横坐标比较函数值大小；
解答过程：解：∵直线解析式为，其一次项系数，
∴随的增大而减小，
又∵点的横坐标（点的横坐标），
∴．
10. 如图，在菱形中，垂直平分，垂足为，，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据菱形的性质和线段垂直平分线的性质，得到是等边三角形，利用勾股定理，在中，解得的长，即可得到菱形的面积．
解答过程：解：在菱形中，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在中，，
∴菱形的面积．
11. 某校开展科技小实验、学生用某种材料制作了一块承重板，研究该承重板在实验范围内可承受的最大压力（单位：）与受力面积（单位：）之间的关系．实验数据表明，在测得的受力面积范围内，与近似满足函数关系．下列说法正确的是（ ）
A. 当受力面积为时，可承受的最大压力为
B. 当受力面积每增加时，可承受的最大压力增加
C. 当可承受的最大压力为时，对应的受力面积为
D. 当受力面积增加时，可承受的最大压力增加量大于
答案：B
解析：
解答过程：解：A．当时，，故A不正确；
B．，故B正确；
C．当时，，解得，故C不正确；
D．，故D不正确．
12. 在平面直角坐标系中，将若干个全等的等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，…，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题中规律和等腰直角三角形的性质得出点的规律，即可解答；
解答过程：解：根据题目给出的、、，…，
∴，
∵图中三角形为全等的等腰直角三角形，
∴，，
∴的横坐标为2，纵坐标为，​的横坐标为4，纵坐标为，的横坐标为6，纵坐标为，…，
结合图形排列规律可得：所有点的横坐标都等于下标；下标为奇数的点都在轴上，纵坐标为；下标为偶数的点（为正奇数）的纵坐标都等于，点（为正偶数）的纵坐标都等于，
对于​：，得，是奇数，因此纵坐标为，
∴​的坐标是．
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上）
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点B的坐标是____________．
答案：
解析：
思路：本题考查关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，直接求解即可．
解答过程：解：点关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为，
因此点的坐标为．
故答案为：．
14. 某校进行体操比赛，甲、乙、丙三个班各选15名学生参加比赛．若三个班的参赛学生的平均身高都是，方差分别是，，，则参赛学生身高比较整齐的班级是__________．
答案：甲
解析：
思路：方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，比较三个班的方差大小即可得到结果；
解答过程：解：，，，
，
∴甲班参赛学生身高的方差最小，因此参赛学生身高比较整齐的班级是甲班．
15. 直线与轴的交点坐标为__________．
答案：
解析：
解答过程：解：在中，令，得，
解得，
直线与轴的交点坐标为．
16. 如图，在矩形中，将，分别沿对角线翻折，点的对应点为，点的对应点为，与交于点，与交于点．若，，则四边形的周长为__________．
答案：8
解析：
思路：根据矩形的性质和翻折的性质证明四边形是菱形，设，则，在中，由勾股定理列方程求出，即可求出菱形的周长；
解答过程：解：在矩形中，，，，
∴，
由翻折的性质可知：，，
∴，，，
∴，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为，
设，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
展开化简：，
解得：，
∴菱形的周长为．
三、解答题（本大题共7题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）
17. 如图，在中，对角线，相交于点，点是的中点，，求的长．
答案：8
解析：
思路：由平行四边形的性质可知，点是的中点，而点是的中点，由此得到是的中位线，即可得到的长．
解答过程：解：∵四边形是平行四边形，
∴，即点是的中点，
又∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将向上平移5个单位得到，画出；
（2）请画出关于轴对称的；
（3）请写出，的坐标．
答案：（1）如图所示，即为所求作，
； （2）如图所示，即为所求作，
； （3），
解析：
思路：（1）先将点，，向上平移5个单位得到点，，，顺次连接点，，，得到；
（2）先将点，，关于轴对称得到点，，，顺次连接点，，，得到；
（3）观察图象，依次写出，的坐标即可．
（1）略
（2）略
（3）解：三个顶点的坐标分别为，，，
向上平移5个单位得到，
由图象可知，，，，
关于轴对称得到，
由图象可知，，，．
19. 为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛．竞赛结束后，数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出表格中，，，的值；
（2）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为200人和260人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．
答案：（1），，，；
（2）316人．
解析：
思路：（1）利用众数、中位数、下四分位数、上四分位数的定义进行求解；
（2）用样本估计总体即可求解．
（1）解：八年级参赛学生的成绩中出现的次数最多，
∴，
将七年级参赛学生的成绩由小到大依次排列：87，88，90，90，95，95，95，96，98，98，
下四分位数为前5名成绩的中位数，上四分位数为后5名成绩的中位数，
∴，，
将八年级参赛学生的成绩由小到大依次排列：82，83，84，89，96，97，97，98，99，100，
中位数为第5名与第6名成绩的平均数，
∴；
（2）解：七年级达到“优秀”等级的有8人，八年级达到“优秀”等级的有6人，
（人）
答：估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为316人．
20. 如图，在中，，点是上的任意一点（不与点，点重合），，，分别交，于点，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求与的周长之和．
答案：（1）解：四边形是矩形．理由：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）30．
解析：
思路：（1）先证明四边形是平行四边形，根据可知四边形是矩形；
（2）根据勾股定理求出，根据矩形的性质得到，，可知与的周长之和．
（1）略；
（2）解：在中，，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴与的周长之和
．
21. 随着暑假临近，小明和小华打算假期一起去游泳．他们通过对离家最近的一家游泳馆的调查，发现该游泳馆推出了甲、乙两种消费方式．如图，直线甲、乙分别表示两种消费方式中所需费用（元）与消费次数（次）之间的关系，其中为非负整数．请根据图象信息完成下列问题：
（1）分别求出甲、乙两种消费方式所需费用（元）关于消费次数（次）的函数表达式；
（2）当消费15次时，选择哪种消费方式更合算？请通过计算说明理由．
答案：（1）甲种消费方式所需费用关于消费次数的函数表达式为，乙种消费方式所需费用关于消费次数的函数表达式为；
（2）选择乙种消费方式更合算，
当时，（元），（元），
∵，
∴选择乙种消费方式更合算．
解析：
思路：（1）运用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）求出当时，和的值，比较即可；
（1）解：设甲种消费方式所需费用关于消费次数的函数表达式为，
∵函数图象经过点，
∴，
解得，
∴甲种消费方式所需费用关于消费次数的函数表达式为，
设乙种消费方式所需费用关于消费次数的函数表达式为，
∵函数图象经过点和，
∴，
解得，
∴乙种消费方式所需费用关于消费次数的函数表达式为．
（2）略
22. 【问题情境】数学兴趣小组从一种地板图案中抽象并变化得到如图（1）（2）（3）所示的几何模型：在正方形中，点在边上，点在边上，点是对角线上不与点重合的一动点，分别连接、，且．
【初步感知】
（1）如图（1），当点是，的交点时，证明：；
【尝试探究】
（2）如图（2），当时，过点作于点，作于点，求的值；
【深化探究】
（3）如图（3），请直接写出线段，，之间的数量关系．
答案：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）12； （3）．
解析：
思路：（1）根据正方形的性质证明，即可证出；
（2）根据正方形的性质证明四边形 OHCG 是正方形，得出，，根据勾股定理和已知条件求出，证明，得出， 即可得，
（3）由（2）的推导同理可得：， 结合，即可得；
（1）略
（2）解：∵四边形是正方形，，，，，
，四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
，，
∴，
∵​，
∴，
，
，
∴，
又∵，，
，
∴，
∴，
即．
（3）解：
证明：如图3，过点作于点，作于点，
由（2）的推导同理可得：，
在正方形中，，即，
∴，
∴．
23. 如图，在平面直角坐标系中，有两条直线分别为：与：，直线与轴交于点，与轴交于点，点为坐标原点．
（1）直接写出点和点的坐标；
（2）如图（1），以为一条边在的下方作一个面积为的矩形，若直线与所作的矩形有公共点，求的取值范围；
（3）如图（2），当时，在，上是否分别存在点和点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1），
（2） （3），或，或，．
解析：
思路：（1）分别将，代入，求出点、的坐标即可；
（2）在的右下方作矩形，设直线交轴于点，容易判断和都是等腰直角三角形，由勾股定理可计算出，结合矩形的面积可得，因此，从而得到点．根据题意，要在直线与直线之间，因此；
（3）分三类讨论，当为菱形的对角线时，连接交于点，容易判断是等腰直角三角形，则，从而求出点和点的坐标；当为菱形的对角线时，延长交轴于点，容易判断是等腰直角三角形，则，从而求出点和点的坐标；当为菱形的对角线时，设交轴于点，同样的方法计算即可．
（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为；
（2）解：如图，在的右下方作矩形，设直线交轴于点，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理可得，，
∵矩形的面积为24，
∴，
又∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理可得，，
∴点的坐标为，
∵直线与矩形有公共点，
∴直线要在直线与直线之间，
∴；
（3）解：假设存在点和点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，
①当为菱形的对角线时，如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
由（2）可知，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为；
②当为菱形的对角线时，如图，延长交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为；
③当为菱形的对角线时，设交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为；
综上所述，假设成立，，或，或，．分组方式
组内离差平方和
分组一：前9后12
0.1019
分组二：前10后11
0.0985
分组三：前11后10
0.0898
分组四：前12后9
0.1242
类别
平均分
众数
下四分位数
中位数
上四分位数
七年级
93.2
95
95
八年级
92.5
84
98
分组方式
组内离差平方和
分组一：前9后12
0.1019
分组二：前10后11
0.0985
分组三：前11后10
0.0898
分组四：前12后9
0.1242
类别
平均分
众数
下四分位数
中位数
上四分位数
七年级
93.2
95
95
八年级
92.5
84
98